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1、精品文档2016 年考研数学模拟试题（数学二）参考答案一、选择题（本题共8 小题，每小题4 分，满分32 分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内）1.设 x0 是多项式 P( x) x4ax3bx2cxd 的最小实根，则（） .（A ） P ( x0 )0 （ B） P ( x0 )0 （C） P ( x0 )0 （ D） P (x0 ) 0解选择 A.由于 lim P( x)，又 x0 是多项式 P(x) 的最小实根，故P (x0 )0 .xx02.limf ( x)f (a)f ( x)在点 xa （）.1则函数设x a3xa（A ）取极大值（ B

2、 ）取极小值（ C）可导（ D）不可导选择 D. 由极限的保号性知，存在U (a) ，当 xU (a) 时，f ( x)f (a)，当 x a解30xa时， f ( x)f (a) ，当 xa 时， f ( x)f (a) ，故 f ( x) 在点 xa 不取极值 .limf ( x)f (a)f ( x)f (a)1，所以 f ( x) 在点 x a 不可导 .xalim332x ax axa( x a)3.设 f ( x, y) 连续，且满足f ( x,y)f ( x, y) ，则f (x, y) dxdy（） .x2y2111x211y2（A） 20 dx0f ( x, y)dy（B）

3、20 dy1 y2 f ( x, y)dx11x211y 2（C） 20 dx1 x2f ( x, y)dy（D） 20 dy0f ( x, y)dx解选择 B. 由题设知11y2f ( x, y)dxdy2f ( x, y)dxdy20dy1y2 f (x, y)dx .x2 y2 1x2 y2 1, y 04.微分方程y2 yx e2x 的特解 y* 形式为（） .(A)y*(axb)e 2x(B)y*ax e2 x(C)y*ax2 e2x(D)y*(ax2bx)e 2 x精品文档精品文档解选择 D. 特征方程 r 22r0 ，特征根 r0, r2 ，2 是特征根，特解y* 形式为y*x(

4、ax b) e2 x .5.设函数 f ( x) 连续，则下列函数中，必为偶函数的是（）.xx2 (t) dt（A ）f (t 2 )dt（ B）f00xxf ( t ) dt（C）t f (t ) f ( t )dt（ D） t f (t )00选择 C. 由于 t f (t )xt f (t) f ( t)dt 为偶函数 .解f ( t) 为奇函数，故06. 设在全平面上有f ( x, y)x条件是（）（A ） x1x2 ， y1y2 .（C） x1x2 ， y1y2 .f ( x, y)解选择A.0xf ( x, y)0f (x, y) 关于y0 ， f ( x, y)0 ，则保证不等式

5、 f ( x1 , y1)f ( x2 , y2 ) 成立的y（B ） x1x2 ， y1y2 .（D ） x1x2 ， y1y2 .f ( x, y) 关于 x 单调减少，y 单调增加，当 x1x2 ， y1y2 时， f ( x1 , y1)f ( x2 , y1 )f ( x2 , y2 ) .7.设 A 和 B 为实对称矩阵，且A 与 B 相似，则下列结论中不正确的是（）.(A) AE与 BE相似(B)A与B合同(C)AEBE(D)AEBE解 选择 D. A 与 B 相似可以推出它们的多项式相似， 它们的特征多项式相等， 故 A ，C 正确，又 A 和 B 为实对称矩阵，且 A 与 B

6、 相似，可以推出 A 与 B 合同，故 B 正确 .8.AAm n ， R( A)r ， b 为 m 维列向量，则有（）.(A) 当 r m 时，方程组 Ax b 有解(B) 当 r n 时，方程组 Ax b 有唯一解(C) 当 m n 时，方程组 Ax b 有唯一解(D) 当 rn 时，方程组Axb 有无穷多解精品文档精品文档解选择 A.当 rm 时， rA,br ( A) ，方程组 Axb 有解 .二、 填空题（本题共6 小题，每小题4 分，满分24 分，把答案填在题中横线上）19.lim(1 x) xe.xx 0解 答案为e.211ln(1x)1x)1(1x) xeexeln(1ex1l

7、imxlimxelimxx0x0x 01x)111ln(1ln(1x)xeelimxxelim2elim 1x 0xx0xx02x210 设 f有二阶连续偏导数，uf (x, xy, xyz) ，则2u.z y解答案为 xf3x2 yf32x2 yzf33 .uxyf3z2uxf3xy ( f 32 xf33xz)xf 32yf322yzf33z yxx11.设微分方程 yy( x ) 的通解为 yx，则( x).xyln Cx解答案为1.将 yx代入微分方程，得(ln Cx)11.x2ln，故 (x)x2ln Cx2 Cx12.数列n.n中最大的项为3解答案为3 .【将数列的问题转化为函数的

8、问题，以便利用导数解决问题】111设 f (x)xx x xex ln x， f ( x)ex ln x 1 ln x0xe ，x2xe 时， f (x)0 ， f (x) 单调增加，故ne 时， f ( n)n2 最大，n 递增，xe 时， f (x)0 ， f (x) 单调减少，故ne 时， f ( n)n3n 递减，3 最大，精品文档精品文档366n3又 3982 ，数列n 的最大项为 3 .xdt0 在区间 (0,1) 内的实根个数为.13.方程 5x 2t80 1dtdt解 答案为 1. 令 f (x)5xx， f (0) 20, f (1)310，2t 80 1t 80 1由零点定

9、理知，此方程在区间(0,1) 内至少有一个实根，又f (x)510 ， f ( x) 单x81调增加，故此方程在区间(0,1) 内有且仅有一个实根 .14.设 n阶矩阵 A 的秩为 n2， 1,2 ,3 是非齐次线性方程组Axb 的三个线性无关的解，则 Axb 的通解为.解 答案为 1 k1 (21 )k2 ( 31 ) ， k1, k2 为任意常数 .1 , 2 , 3 是非齐次线性方程组Axb 的三个线性无关的解，则21,3 1 是 Ax 0的两个解，且它们线性无关，又nr ( A)2，故 21,31 是 Ax0 的基础解系，所以 Ax b 的通解为1k1 (21 )k2 (3 1).三、

10、 解答题（本题共9 小题，满分94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）115.（本题满分(1x) xesin ln(1x)9 分） 求极限 lim1x sin x1.x 0解(11esin ln(1 x)(11e1 ln(1 x)e1 ln(1x) 1x) xx) xexex1lim1xsin x 12limx2limx2elimxx0x 0x0x01 ln(1x) 1ln(1x)x11elimx2elim 1xe2elim2x 0xx 0xx02x16.（本题满分 9分 ） 设 f ( x) 单 调 且 具 有 一 阶 连 续 导 数 ， zf (x( y) 满 足zz( y )0

11、，求可导函数 ( y) .xy解zf ， zf( y) ，代入方程 ( y) zz0 ，得 ( y)f f( y) 0 ，xyxy精品文档精品文档即( y)( y) ，解得( y)C ex ，其中 C 为任意常数 .17. （本题满分 9 分）12y2223计算积分dyy2 (xysin y) dx111解画出二重积分区域D ， D1 是 D 的第一象限部分，由对称性，得12y2x2y2sin 3 y)dx( x2y2sin 3 y)dxdydy1y2(11D2(x2y2)dxdy24 d2cosr 2 dr2D1024 (8cos 322) d2022309318. （本题满分 11 分）求

12、微分方程 ya( y )20(a0) 满足初始条件 yx 00 ， yx 01的特解 .解令 yp, ydp，代入原方程，得dxdpap 20 ，dpadx ，dpadx ，1ax C1 ，dxp2p2p由 x 0, y 0, yp1，得 C11 ，1ax1 ， p1，即 y1，paxax 11故 y1dx1 ln(ax1)C2 ，ax1a1 ln( ax 1)由 x0, y0得 C20 ，所以 y.a19. （本题满分 11 分）设 f ( x) 和 g(x) 在区间 (a, b) 可导，并设在 (a,b)内 f (x)g ( x) f ( x)0 ，证明在 (a,b) 内至多存在一点，使得

13、 f ( )0 .证 设 (x)f ( x)e g ( x ) ，则( x)e g( x) ( f (x)f (x)g ( x) .若在 (a, b) 内存在两个不同的点1, 2 ，使得 f ( 1 )f ( 2 )0 ，则由罗尔定理知，至少存在一点介于1, 2 之间，使( )0 ，精品文档精品文档即 e g () ( f ( ) f () g ( )0 ，于是有f()f () g ( )0，与题设矛盾，故在 (a,b) 内至多存在一点，使得 f ( )0 .20.（本题满分11 分）设有抛物线： yabx2 ，试确定常数a, b 的值，使得与直线 yx1 相切；与 x 轴所围图形绕y 轴旋转

14、所得旋转体的体积最大 .解设切点为 ( x0 , y0 ) ， y2bx ，切线斜率 k2bx01x01 , y0a1，2b4b1114(1a) .代入切线方程，得 a2b14bb又旋转体体积 Vaaa y dyaay dy2( a2a3 ) ，x2dy000bb2V2(2 a3a2 )0 ，解得 a0或者 a， V2 (26a) ，3V(0)40,V ( 2)40 ，故 a2时，体积 V 最大，33将 a23，所以 a23代入得 b4， b.33421.（本题满分11 分）一质量为 m 的物体以速度v0 从原点沿 y 轴正方向上升，假设空气阻力与物体的运动速度平方成正比（比例系数 k 0 ）

15、，试求物体上升的高度所满足的微分方程及初始条件，并求物体上升的最大高度 .解根据牛顿第二定律，物体上升的高度yy(t ) 所满足的微分方程为d 2 ydym2mg kdtdt2，初始条件为 y(0)0, y (0)v0 .vdy 代入方程，得 m dvmgkv2 ， dvgkv 2，dtdtdtm记 a2g,b2 k， dva2b2 v2 ，dvdt ，mdta2b2v2积分得 1 arctan bvtC ， t0 时， vv0，故 C1 arctan bv0 ，abaaba精品文档精品文档1arctanbvt1arctan bv0 ，abaaba1bv0令 v 0 ，得上升到最高点的时间为t

16、1abarctanaarctan bvab(t1t ) ， va tan ab(t1 t )abt1t22ya tan ab(t1 t)dt12 ln cos ab(t1 t)12 ln(1b v20 ) .上升的最大高度为010bb2ba22. （本题满分 11 分）TT,TTT设1 1,2,3,1 , 21,1,2, 131,3,a,3 , 43,5,7, 1 ,0,1,1,b .当 a, b 满足什么条件时，可由1,2 ,3, 4 线性表示，且表示式唯一？当 a,b 满足什么条件时，可由1, 2 , 3 , 4 线性表示，且表示式不唯一？并求出的表示式 .解 设 x1 1 x2 2 x3

17、 3x4 4，其增广矩阵1113011130(1,2,3, 42135101111, )2a710a 4103011 31 b0002 b 2当 a4 时， r ( 1,2 ,3 , 4 ,)r ( 1,2 , 3 , 4 )4，方程组有唯一解，即可由1 ,2 ,3 ,4 线性表示，且表示式唯一.11130当 a 4 时， ( 1 , 2 , 3, 4 ,01111) 001，000000b2故当 a4, b2 时， r ( 1, 2 ,3, 4,)r ( 1,2 ,3 ,4 ) 3 ，方程组有无穷多解，即可由1, 2,3 , 4 线性表示，且表示式不唯一，精品文档精品文档10201x112x3(1,2, 3, 401101x21x3, ) 0010，同解方程组为x3，0x300000x40通解为 (1, 1,0,0) Tk ( 2,1,1,0) T，故的表示式为(1 2k) 1( k1