(完整word版)高等代数最重要的基本概念汇总.doc

1、第一章基本概念1.5 数环和数域定义 1设 S 是复数集 C 的一个非空子集 ,如果对于 S 中任意两个数a、 b 来说， a+b,a-b,ab都在 S 内，那么称 S 是一个数环。定义 2设 F 是一个数环。如果（ i ） F 是一个不等于零的数；（ ii ）如果 a、 b F,，并且 b 0 ，aF ，那么就称 F 是一个数域。b定理任何数域都包含有理数域，有理数域是最小的数域。第二章多项式2.1一元多项式的定义和运算定义 1数环 R 上的一个文字的多项式或一元多项式指的是形式表达式1a0a1 x a2 x2L an xn ，是非负整数而 a0 , a1 , a2 ,Lan 都是 R 中的

2、数。项式 1中， a0 叫作零次项或常数项，ai xi 叫作一次项，一般，ai 叫作 i 次项的系数。定义 2若是数环 R 上两个一元多项式fx和 gx 有完全相同的项，或者只差一些系数为零的项，那么就说fx 和 gx 就说是相等fxgx定义 3an xn 叫作多项式 a0a1xa2x2Lan xn ， an0 的最高次项， 非负整数 n 叫作多项式 a0a1 xa2 x2Lan xn ， an0 的次数。定理 2.1.1 设 fx和 gx 是数环 R 上两个多项式，并且fx0 ， g x0 ，那么i当fxgx0时，0fxgxmax0 fx , 0gx;ii0 f x g x0 f x0 g

3、x 。多项式的加法和乘法满足以下运算规则：1）加法交换律：fxg xg xfx ；12） 加法结合律：fxg xh xfxg xh x；3）乘法交换律：fxg xg xfx ；4） 乘法结合律：f x g x h xf x g x h x ；5） 乘法对加法的分配律：f x g x h xf x g xf x h x 。推论 2.1.1f xg x0当且仅当 fx 和 gx 中至少有一个是零多项式推论 2.1.2若 fx gxf xhx，且 f x0 ，那么 g x h x2.2多项式的整除性设 F 是一个数域。fx 是 F 上一元多项式环定义令 fx 和 g x 是数域 F 上多项式环fx

4、的两个多项式。 如果存在fx 的多项式h x ，使 g xfx h x ，我们说，fx 整除（能除尽）g x 。多项式整除的一些基本性质：1） 如果 fxgx， gxh x ，那么 fxhx2） 如果 hxfx， hxg x，那么 hxfxgx3） 如果 hxfx，那么对于 fx 中的任意多项式g x来说， h xf x g x4） 果 h xf ix, i1,2,3,L,t , 那么对于 fx 中任意 gix i 1,2,3,L,t ,h xf x 1 g1 x f x 2 g2 x Lf x i gix5） 次多项式，也就是F 中不等于零的数，整除任意多项式。6） 每一个多项式fx 都能被

5、 cfx 整除，这里c 是 F 中任意一个不等于零的数。7） 如果 fxg x ， g xfx ，那么 fxcg x ，这里 c 是 F 中的一个不等于零的数设 fx ， g x 是两个任意的多项式，并且g x0 。那么fx 可以写成以下形式fxg x q xrx ，这里 r x0 ，或者 r x 的次数小于g x 的次数。2定理 2.2.1设 fx 和 g x 是 fx 的任意两个多项式，并且g x0 。那么在fx 中可以找到多项式q x 和 r x ，使fxg x q xrx（ 3）这里或者r x0 ，或者 rx 的次数小于g x 的次数，满足以上条件的多项式q x 和 rx 只有一对。设

6、数域F 含有数域F 而 fx 和 g x是 fx的两个多项式， 如果在 fx 里 g x不能整除 fx ，那么在Fx 里 gx 也不能整除 fx 。1） 定义 1 假定 hx 是 fx 和 g x的任一公因式，那么由rk 3 xrk 2 x qk 1 xrk 1 x ,2）rk 2 xrk 1 x qk xrk x ,rk 1xr x qk 1 x3） 中的第一个等式，h x也一定能整除 r1x。同理，由第二个等式，h x 也一定能整除 r2 x 。如此逐步推下去，最后得出hx能整除 rk x，这样， rkx 的确是 fx和 g x 的一个最大公因式，这种求最大公因式的方法叫做展转相除法。4）

7、定义2设 以 g xx a 除 f x an xnan 1 xn 1 L a1 xa0 时 ， 所得 的 商q x bn 1xn 1 bn 2 xn 2 L b1x b0 及 余 式r xc0 ， 比 较f xg x q xr x 两 端 同次 幂的 系数 得 bn 1an ， bn 2an 1 abn 1 ， b0 a1ab1 ，c0 a0ab0 ， 这 种 计 算 可 以 排 成 以 下 格 式anan 1an 2La1a0a)abn 1) abn 2L)ab1)ab0bn 1anbn 2bn 3Lb0c05）用这种方法求商和余式（的系数）称为综合除法。6） 2.3多项式的最大公因式7）设

8、 F 是一个数域。fx 是 F 上一元多项式环38）定义 1令设 fx 和 g x 是 fx 的任意两个多项式， 若是 fx 的一个多项式h x同时整除fx 和 g x ，那么 h x 叫作 fx 与 g x 的一个公因式。9）定义 2设 dx 是多项式fx 与 g x 的一个公因式。 若是 d x 能被 fx 与 g x的每一个公因式整除，那么d x 叫作 fx 与 g x 的一个最大公因式。10） 定理 2.3.1fx 的任意两个多项式fx 与 g x 一定有最大公因式。除一个零次因式外， fx 与 g x 的最大公因式是唯一确定的，这就说，若d x 是 fx 与 g x的一个最大公因式，

9、那么数域F 的任何一个不为零的数c 与 dx 的乘积 c d x也是fx 与 g x 的一个最大公因式；而且当fx 与 g x 不完全为零时， 只有这样的乘积才是 fx 与 g x 的最大公因式。11） 从数域 F 过度渡到数域F 时， fx 与 g x 的最大公因式本质上没有改变。12） 定理 2.3.2若 dx 是 fx 的多项式fx 与 g x 的最大公因式， 那么在 fx 里可以求得多项式u x 和 v x ，使以下等式成立：13）（ 2） f x u x g x v x =dx。14） 注意：定理2.3.2 的逆命题不成立。例如，令f xx, g x =x+1，那么以下等式成立： x

10、 x2x+1 x-1 2x22x 1但 2x22 x 1显然不是 f x 与 g x 的最大公因。15） 定义 3如果 fx 的两个多项式除零次多项式外不在有其他的公因式，我们就说，这两个多项式互素。16） 定理 2.3.3fx 的两个多项式fx 与 g x 互素的充要条件是：在fx 中可以求得多项式 u x 和v x ，使17） （ 4）fx u xg x v x =118） 从这个定理我们可以推出关于互素多项式的以下重要事实：19） 若多项式fx 与 g x 都与多项式 h x 互素，那么乘积fx g x 也与 h x 互素。20） 若多项式 h x 整除多项式fx 与 g x 的乘积，

11、而 h x 与 fx 互素，那么 h x 一4定整除 g x 。21） 若 多 项 式 gx 与 h x 都 整 除 多 项 式 fx ， 而 g x 与 h x互 素 ， 那 么 乘 积g x h x 也整除 fx最大公因式的定义可以推广到n n2 个多项式的情形：若是多项式 h x 整除多多项式f1x, f2x,L, f nx 中的每一个，那么h x 叫作这 n个多项式的一个公因式。若是f1x, f 2x,L, fnx的公因式 d x 能被这 n 个多项式的每一个公因式整除，那么dx叫作 f1x, f 2x ,L , fn x 的一个最大公因式。若 d0 x 是多项式f1x, f2x ,L

12、, f n1x的一个最大公因式，那么d0 x 是多项式fn x 的最大公因式也是多项式f1x, f 2x ,L , fn 1x 的最大公因式。若多项式 f x , f2x ,L , fnx除零次多项式外，没有其他的公因式，就是说这一组多1项式互素。2.4 多项式的分解定义 1fx 的任何一个多项式fx ，那么 F 的任何不为零的元素c 都是 fx 的因式，另一方面， c 与 fx 的乘积 c fx 也总是 fx 的因式。 我们把 fx 这样的因式叫作它的平凡因式，定义 2令 fx 是 fx 的一个次数大于零的多项式。若是fx 在 fx 只有平凡因式，fx 说是在数域F 上（或在fx 中）不可约

13、。 若 fx 除平凡因式外， 在 fx 中还有其他因式，fx 就说是在F 上（或在fx 中）可约。如果 fx 的一个 n（ n0）次多项式能够分解成fx 中两个次数小于n 的多项式g x 与 h x 的乘积：（1）fx g x h x，那么 fx 在 F 上可约。若是 fx 在 f x中的任一个形如（1）的分解式总含有一个零次因式，那么f x 在 F5上不可约。不可约多项式的一些重要性质：1） 如果多项式p x 不可约， 那么 F 中任一不为零的元素c 与 px 的乘积 c p x 也不可约。2）设 p x 是一个不可约多项式而fx 是一个任意多项式，那么或者p x 与 fx 互素，或者 p

14、x 整除 fx 。3） 如果多项式fx 与 g x 的乘积能被不可约多项式p x 整除，那么至少有一个因式被 整除。4） 如果多项式f1 x , f 2 x ,L , fs xs2 的乘积能被不可约多项式p x 整除，那么至少有一个因式被p x 整除。定理 2.4.1f x的每一个 n(n0) 次多项式 f x 都可以分解成fx的不可约多项式的乘积。定理 2.4.2令 fx 是 f x 的一个次数大于零的多项式，并且f x p1 x p2 x L pr x q1 x q2 x L qs x此处 ci 与 q j x i1,2,L,r , j 1,2, L , s 都是 fx 的不可约多项式，

15、那么rs ，并且适当调换q jx 的次序后可使 q j xcixpi x ,i 1,2, L , r ,此处 cix 是 F 上的不为零的元素。换句话说，如果不计零次因式的差异，多项式 fx 分解成不可约因式乘积的分解式是唯一的。形如k1k 2ktf x 的典型分解式，每一个f x ap1 xp2 xL pt x 的多项式叫作多项典型分解式都是唯一确定的。2.5重因式定义fx 的多项式fx a0 a1x a2x2L an xn的导数或一阶导数指的是fx 的多项式 f xa12a2 xL nan xn1一阶导数 fx 的导数叫作 fx 的二阶导数， 记作 fx，f x的导数叫作f x 的6三阶导

16、数，记作fx ，等等。fx 的 k 阶导数也记作f kx 。关于和与积的导数公式仍然成立：（1）fxg xf xg x（2）fxg xf x g xg x f x（3）kkfk1f xxf x定理 2.5.1设 px 是多项式f x 的一个 kk1 重因式。那么p x 是 fx 的导数的一个 k-1 重因式。定理 2.5.2多项式fx 没有重因式的充要条件是fx 与它的导数fx 互素。2.6 多项式函数多项式的根设给定了1 R 的一个多项式f x a0 a1 x a2 x2L an xn和一个数 cR,那么在 fx 的表示式里，把x 用 c 来代替，就得到R 的一个数a0a1c a2 c2L

17、ancn这个数叫作当 xc 时，f x的值，并且用fc来表示。对于R上的每一个数c，就有R 中唯一确定的数f c 与它对应。就得到R 与 R 的一个影射。这个影射是由多项式f x所确定的，叫作R 上的一个多项式函数。定理 2.6.1设 fxR x , c R ，用 xc 除 f x 所得的余式等于当xc 时 fx 的值fc定义 令 fx 是 R x的一个多项式而c 是 R 中的一个数，若是当xc 时 fx 的值fc0，那么 c 叫作 fx 在数环 R 中的一个根。定理 2.6.2数 c是 fx 的根的充要条件是f x 能被 xc 整除。定理 2.6.3设 xc 是 R x 中一个 n 0次多项

18、式。那么 fx 在 R 中至多有 n 个不同的根。定理 2.6.4设 fx 与g x 是 R x 的两个多项式，它们的次数都不大于n。若是以 R 中n+1 个或更多不同的数来代替x 时，每次所得 f x 与g x的值都相等， 那么7f x =g x。定理 2.6.5R x 的两个多项式f x 与gx 相等，当且仅当她们所定义的R 上多项式函数相等。f xn 1 bix a1 Lx ai 1xai 1 Lx an 1i 1 aia1 Laiai 1aiai 1 La an 1这个公式叫作拉格朗日(Lagrange) 插值公式。2.7复数和实数域上多项式定理 2.7.1（代数基本定理）任何 n n

19、0 次多项式在复数域中至少有一个根。定理 2.7.2任何 n n0 次多项式在复数域中有n 个根（按重根重数计算） 。复数域 C 上任一 n n0 次多项式可以在C x 里分解为一次因式的乘积。负数域上任一次大于 1 的多项式都是可约的。定理 2.7.6若实数多项式fx 有一个非实的复数根，那么的共轭数也是 fx 的根，并且与有同一重数。 换句话说， 实系数多项式的非实的非实的复数根两两成对。定理 2.7.4 实数域上不可约多项式，除一次多项式外，只含非实共轭复数根的二次多项式。定理 2.7.5 每一个次数大于 0 的实系数多项式都可以分解为实系数的一次和二次不可约因式的乘积。2.8有理数域上

20、多项式令 fx 是整数环 Z 上的一个 n0 次多项式。如果存在g x , h x Z x，它们的次数都小于n，使得 fx gx h x ，（ 1）那么 fx 、g x 、h x自然可以看成有理数域Q 上的多项式。 等式（ 1）表明， fx 在Q x 中是可约的。定义若是一个整系数多项式fx 的系数互素，那么fx 叫作一个原本多项式。引理 2.8.1两个原本多项式的乘积仍然是一个原本多项式。定理2.8.1若是一个整系数n0 次多项式fx 在有理数域上可约，那么fx 总可以分解成次数都小于n 的两个整系数多项式的乘积。定理 2.8.2（艾森斯坦（Eisenstein）判别法）设fxa0a1 xa

21、2 x2Lan xn8是一个整系数多项式。若是能够找到一个素数p，使得（i ）最高次项系数an 不能被 p 整除；（ii ）其余各项都能被p 整除；（iii ）常数项 a0 不能被 p2 整除，那么多项式 f x 在有理数域上不可约。有理数域上任意次的不可约多项式都存在。定理 2.8.3 设 fxa0 xna1 xn 1 Lan 是一个整系数多项式。若是有理数u 是 fxu 和 v 是互素的整数，那么v的一个根，这里（ i ） v 整除 fx的最高次项系数a0 ，而 u 整除 fx 的常数项 an ；（ ii ） fxxu q x ，这里 q x是一个整系数多项式。v2.9 多元多项式在这一节

22、里， R 总表示一个数环，且 1R令 x1 , x2 , x3,L, xn 是 n 个文字，形如 ax1k1x2k2 L xn kn 的表示式。其中 aR, k1 ,k2 ,Lkn 是非负整数，叫作R 上 x1, x2 ,L , xn 的一个单项式。数a 叫作这个单项式的系数，如果某一0 ，那么 xi ki可以不写， 约定 ax k1 Lki 1ki1axk1 Lki 1ki1kixx 0 xL x knxxL x kn。1i 1ii 1n1i 1i 1n因 此 ， m mn个 文 字 的 单 项 式 总 可 以 看 成n个 文 字 的 单 项 式 。 特 别 ， 当k1 k2 k3L kn

23、0 时，我们有 ax10 x20 L xn0aR 。形式表达式a1 x1k11x2k12 Lxnk1na2x1k 21x2k 22 Lxnk2nLas x1ks1x2ks2 L xnksn , ai R ， kij 是非负整数 i1,2,3,L , s; j1,2, L , n，叫作 R 上 n 个文字 x1 , x2 , x3 ,L , xn 的一个多项式，或简称 R 上一个 n 元多项式。我 们 通 常 用 符 号 fx1 , x2 ,L , xn， g x1 , x2 ,L , xn 等 来 表 示 R 上 n 个 文 字x1, x2 , x3 ,L, xn 的多项式。定理 2.9.1数

24、环 R 上的两个 n 元多项式 f x1, x2 ,L, xn与 g x1 , x2 ,L , xn 的乘积是首项等于这两个多项式首项的乘积。特别，两个非零多项式的乘积也不等于零。定理 2.9.2数环 R 上两个不等于零的 n 元多项式的乘积的次数等于这两个多项式次数的和。定 理 2.9.3设 fx1 , x2 ,L, xn是 数 环 R 上 的 一 个 n 元 多 项 式 ， 如 果 对 于 任 意9c1 , c2 ,L cnRn 都有 f c1, c2 ,L cn0 ，那么 f x1 , x2 ,L , xn0推论 2.9.1设 f x1, x2 ,L, xn 与 g x1 , x2 ,L

25、 , xn是数环 R 上 n 元多项式，如果对于任意c1 , c2 ,L cnRn都 有 f c1 ,c2 ,L cn g c1 ,c2 ,L cn， 那么f x1, x2 ,L , xng c1, c2 ,L cn . 换 句 话 说 ， 如 果 由 f x1 , x2 ,L , xn与g x1 , x2 ,L , xn 确定的多项式函数 f 与 g 相等，那么这两个多项式相等。2.10对称多项式定义 1设 f x1, x2 ,L , xn是数环R上的一个n 元多项式，如果对于这n 个文字x1, x2 , x3 ,L , xn 的指标集1,2,L,n施行任意一个置换后， f x1 , x2

26、,L, xn都不改变，那么就称f x1, x2 ,L, xn是 R 上一个 n 元对称多项式。定义 2（ 1） n 1x1x2 Lxn 1x1 x2 Lxn2 xnLx2 x3 L xn , nx1x2 Lxn ，这里k 表示 x1, x2 , x3 ,L, xn 中 k 个所作的一切可能乘积的和，这样的n 个多项式显然都是 n 元对称多项式。 我们称这 n 个多项式1, 2,L ,n 为 n 元对等对称多项式。引理 2.10.1设 fx1 , x2,L, xnai iL ix1i1 x2i2 Lxnin 是数环 R 上一个 n 元对称多项式， 以1 2ni代 替 xi， 1i n ， 得 到

27、 关 于1, 2,L ,n 的 一 个 多 项 式f1, 2,L,nai iL ii1i2in2 ,L, n 0，那么n12 Ln 。如果 f 1,1 2一切系数 ai iLin0 ，即 fx , x ,L , x01 212n定理 2.10.1数环 R上一n 元对称多项式fx1, x2 ,L, xn 都可以表示成初等对称多项式1 ,2 ,L , n 的系数在 R 中的多项式，并且这种表示法是唯一的。推论2.10.1设 fx 是数域F 上的一个一元n 次多项式，它的最高次项系数是1。令1 ,2 ,L , n 是 f x 是 复 数 域 内 的 全 部 根 （ 按 重 根 重 数 计 算 ）。

28、那 么1 ,2 ,L , n 的每一个系数取自F 的对称多项式都是fx 的系数的多项式10（它的系数在F 内）因而是F 的一个数。第三章行列式3.2 排列定义 1n 个数码 1，2， n 的一个排列指的是由这n 个数码组成的一个有序组，叫做数码的排列。定义 2一般的在一个排列里，如果某一个较大的数码排在一个较小的数码前面，就说这两个数码构成一个反序，在一个排列里出现的反序总数的总和叫做这个排列的反序数（逆序数） 。一个排列的逆序数可能是偶数也可能是奇数，有偶数个逆序数的排列叫作一个偶排列；有奇数个逆序数的排列叫作一个奇排列。定义 3如果把这个排列里任意两个数码i与 j 交换一下， 而其余的数码

29、保持不动，那么就得到一个新的排列，对于排列所施行的这样一个变换叫作一个对换，并且用符号i, j来表示。定理 3.2.1设 i1i 2 Lin 和 j1 j2 Lj n 是 n 个数码的任意两个排列，那么总可以通过一系列对换由 i1i 2 Li n 得出 j1 j2 L jn 。定理 3.2.2每一个对换都改变排列的奇偶性。定理 3.2.3n 2 时， n 个数码的奇排列与偶排列的个数相等，各为n 个。23.3 n 阶行列式我们用符号j1 j2 L j n来表示排列j1 j2 L j n 的逆序数。定义 1 用符号a11a12La1na21a22La2 nMMMan1an 2Lann表示的 n

30、阶行列式指的是n 项的代数和，这些项是一切可能取自a11a12La1na21a22La2 nMMMan1an 2Lann的 不 同 的 行 与 不 同 的 列 上 的n个 元 素 的乘 积 。 项 a1 j1 a2 j 2 Lan jn 的 符 号 为j1 j2 Lj nj2 Ljn 是偶排列时， 这一项的符号为正， 当 j1 j2 L jn1，也就是说， 当 j111是奇排列时，这一项的符号为负。定义 2n 阶行列式a11a12La1nDa21a22La2 nMMMan1an 2Lann如果把 D 的行变为列，就得到一个新的行列式a11a21Lan1Da12a22Lan2MMMa1na2nL

31、annD 叫作 D 的转置行列式。引 理 3.3.1从 n阶 行 列 式 的 第 i1 ,i 2 ,L ,i n 行 和 j1 , j 2 ,L , jn列取出的元素作积ai1 j1 ai2j2 Lain jn ，这里 i1, i2 ,L, in 和 j1 , j2 ,L , jn 都是 1，2， n 这 n 个数码的排列，那么这一项在行列式中的符号是sti1i2 L in ,tj1 j2 L j n1, s命题 3.3.1行列式与它的转置行列式相等。命题 3.3.2交换一个行列式的两行（或两列），行列式改变符号。推论 3.3.1如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么这个行列式等于零。命题

32、3.3.3把一个行列式的某一行（列）的所有元素同乘以某一个数k，等于以数 k 乘以这个行列式。推论 3.3.2一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式的符号外边。推论 3.3.3如果一个行列式中有一行（列）的元素全是零，那么这个行列式等于零。推论 3.3.4如果一个行列式有两行（列）的对应元素成比例，那么这个行列式等于零。命 题 3.3.4设行列式D 的 第i 行 的 所 有 元 素 都 可 以 表 示 成 两 项 的 和 ：a11a12La1nMMMD bi 1ci1bi 2ci 2LbincinMMMan1an 2Lann那 么 D等 于 两 个 行 列 式 D1与 D2 的

33、 和 ， 其 中 D1 的 第 i行的元素是bi1 ,bi 2 ,Lbin，D 2 的第 i 行元素是 ci1 , ci 2 ,L , cin ，而 D1与 D2的其他各行都和 D 的一样。命题 3.3.5把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式不变。3.4子式和代数余子式行列式的依行列展开12定义 1在一个 n 阶行列式 D 中任意取定k 行和 k 列。位于这些行列式的相交处的元素所构成的 k 阶行列式叫作行列式D 的一个 k 阶子式。定义 2n n 1阶行列式a11a1 jLa1nMMMDai1aijLainMMMan1anjLann的某一元素 aij

34、的余子式 M ij 指的是在 D 中划去 aij 所在的行和列后所余下的n 1阶子式。定义 3n 阶行列式 D 的元素 aij 的余子式 M ijij附以符号1后 ,叫作元素 aij 的代数余子式。元素 aijAij 来表示： A1i j的代数余子式用符号Mi j。ij定理 3.4.1 若在一个 n 阶行列式a11La1 jLa1 nMMMDai1LaijLainMMMan1LanjLann中，第 i行（或第 j 列）的元素除 aij都是零，那么这个行列式等于aij与它的代数余子式 Aij的乘积：Daij Aij定理 3.4.2 行列式 D 等于它任意一行 （列）的所有元素与它们对应代数余子式

35、的乘积的和。换句话说，行列式有依行或依列展开式：Dai 1 Ai1ai 2 Ai 2 Lain Aini1,2, L , nDa j1 Aj1aj 2 Aj 2Lajn Ajnj1,2,L, n定理 3.4.3行列式a11a12La1nMMMai1ai 2LainD MMMa j1a j 2La jnMMMan1an2Lann13的某一行 (或列 )的元素与另一行 (列 ) 的对应元素的代数余子式的乘积的和等于零。换句话说，ai1Ai1ai 2 Ai 2Lain Ain0 ij，a1s A1ta2 sA2t L ans Ant 0 s t3.5克拉默法则设给定了一个含有n 个未知量n 个方程的

36、线性方程组a11x1a12 x2 La1n xnb1a21x1a22x2L a2n xnb21LLLLan1 x1an2 x2Lann xnbn利用 1 的系数可以构成一个n 阶行列式a11a12a1nDa21a22a2 n ，MMMan1an 2Lann这个行列式叫作方程组1 的行列式。定理 3.5.1（克拉默 Cramer）法则 )一个含有 n 个未知量的 n 个方程的线性方程组1 当它的行列式 D 0 时，有且仅有一个解 x1D1 , x2D2 ,L , xnDn，此处的DDDD j 是把行列式的第 j 列的元素换以方程组的常数项b1, b2 ,L , bn 而得到的 n 阶行列式。第四

37、章线性方程组4.1消元法定义我们对线性方程组施行这三个初等变换：(i) 交换两个方程的位置；(ii) 用一个不等于零的数乘以某个方程；(iii) 用一个数乘以某个方程后加到另一个方程；叫作线性方程组的初等变换。定理 4.1.1初等变换把一个线性方程组变为与它同解的线性方程组。定义 1由 st 个数 cij 排成的一个s 行和 t 列的表14c11c12Lc1nc21c22Lc2 nMMMcn1cn 2Lcnn叫作一个s 行 t 列（或 st ）矩阵。 cij 叫作这个矩阵的元素。定义 2矩阵的行（或列）初等变换指的是对一个矩阵施行的下列变换：（ i）交换矩阵的两行（或列） ；（ ii ）用一个

38、不等于零的数乘以矩阵的某一行（列） ，即用一个不等于零的数乘以矩阵的某一行（列）的每一个元素；（iii ）用某一个数乘以矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘以矩阵的某一行（列）的每一个元素后加到另一行（列）的对应元素上。定理 4.1.2设 A 是一个 m 行 n 列的矩阵：a11a12La1nAa21a22La2nMMMam1am2Lamn通过行初等变换和第一种列初等变换能把A 化为以下形式：1*L*L*01*L*L*rM M MM MMLL行0001*000L00L*M M MM MM000L00L0进而化为以下形式：100L0c1,r1Lc1n010L0c2,r1Lc2nM M MMMM0 0 0L1cr ,r 1Lcrn000L00L0M M MMMM000L00L0这里 r 0, r m,rn,* 表示矩阵的元素，