排列组合中的数学模型-陆丰林启恩纪念中学.doc

1、2006 年 12 月获汕尾市中小学教育教学论文三等奖排列组合中的数学模型广东省陆丰市启恩中学 (516500)林敏燕学习排列组合知识的难点是如何做到不重不漏,找好问题的切入点 ,建立合理的数学模型 .本文笔者就这个问题以今年的高考试题为例,分析各种排列组合中的数学模型,帮助同学们更快更准确地解决排列组合问题 .1 特殊优先数学模型对于存在特殊元素或特殊位置的排列组合问题,我们可以从这些“特殊”入手,先满足特殊元素或特殊位置 ,再去满足其它元素或其它位置,这种模型称为“特殊优先数学模型”.例 1 （06 全国卷 I ）安排7 位工作人员在5 月 1 日到 5 月 7 日值班，每人值班一天，其中

2、甲、乙二人都不能安排在5 月 1 日和 2 日，不同的安排方法共有 _ 种。（用数字作答）解：先安排甲、乙两人在后 5 天值班，有 A52=20 种排法，其余 5 人再进行排列， 有 A55=120种排法，所以共有20120=2400 种安排方法。点评 :特殊优先法是比较容易入手的一种方法,在处理此类问题时一是要注意是排列问题,不是组合问题 ,二是要注意是与分步计数原理结合运用.2 捆绑式数学模型对于某些元素要求相邻排列的问题,可先将相邻元素捆绑并看作一个元素再与其它元素进行排列 ,同时对相邻元素进行自排 ,这种模型称为 “捆绑式数学模型” . 这种模型分为两种 ,一种是相邻元素要全排列, 一

3、种是相邻元素是组合问题 , 不用排列 .例 2（ 05 辽宁卷）用1、 2、 3、 4、 5、6、 7、 8 组成没有重复数字的八位数，要求1 和2相邻，3与 4相邻，5与 6相邻，而7 与 8 不相邻，这样的八位数共有个 .（用数字作答）解 :第一步 :把 1 和 2, 3 与 4, 5 与 6,看成三个不同的元素,进行排列 ,共有 A332348种方法; 第二步 :把 7 和 8 分别插入这三个元素的四个空位中, 共有 A4212 种方法 , 所以这样的八位数共有 576 个 .点评 :本题是捆绑法与插空法相结合来处理问题, 解题时不要忘记捆绑的元素要进行自排.例 3 四个工人去住旅店 ,

4、 旅店只剩下三个房间,要求四人中必须有二个住在一个房间,另两个房间各住一人 ,问共有多少种不同的安排方法?解 :第一步 :把四个工人中的二个捆绑在一起,共有 C426 种方法 ;第二步 : 把四个工人看成三个工人进行排列 ,共有 A3 6 种方法 .所以共有36 种不同的安排方法 .3点评 :由于两个工人在同一个房间没有排列问题, 所以不能自排 .还有一种典型的错误排法,先在四个人中选出三个工人入住三个房间,有 24种方法 ,再把剩下一个人放下四个房间中的任意一个 ,共有 4 种方法 ,故共有 96 种方法 .请同学们思考 ,这种方法为什么是错误的?3 插空式数学模型对于某些元素要求不相邻排列

5、的问题,可先排好没有限制条件的元素, 再将所指定的不相邻的元素插入它们的间隙及两端位置,这种模型称为“插空式数学模型”.1例 4(06 重庆卷 )高三（一）班学要安排毕业晚会的4 各音乐节目，2 个舞蹈节目和1 个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（A ） 1800（ B） 3600（ C） 4320（ D） 5040解：第一步 :先安排非舞蹈节目共有 A55 120种排法 ;第二步 : 把 2 个舞蹈节目插入 5 个非舞蹈节目中 6 个空位中 ,共有 A62 30 种排法 ,故不同排法的种数为 3600，故选 B点评 :本题考查了排列的基本问题,利用插空法时不要忘

6、记两端的空位.例 5（ 06 湖北卷） 某工程队有 6 项工程需要单独完成， 其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6 项工程的不同排法种数是。（用数字作答）解：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5 个空中，可得有 A52 20 种不同排法 .点评 :本题利用插空式数学模型, 轻松地解决了问题.4 间接式数学模型对于某些排列组合问题的正面情况较复杂而其反面情况却较简单时,可先考虑无限制条件的排列 ,再减去反面情况的排列的总数, 这种模型称为“间接式数学模型”.例 6（福建卷） 从 4 名男

7、生和3 名女生中选出3 人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1 名女生，则选派方案共有（A）108 种（B）186 种（C）216 种（D）270 种解：从全部方案中减去只选派男生的方案数,合理的选派方案共有A73A43 =186 种 ,选 B.点评 :当问题中出现“至多”或“至少”的语句时,常常要考虑间接式数学模型.例 7（山东卷） 已知集合 A= 5 ,B= 1,2 ,C= 1,3,4，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为(A)33(B) 34(C) 35(D)36解：不考虑限定条件确定的不同点的个数为C21C31A33 36，但集合 B

8、、 C 中有相同元素1，由 5， 1， 1 三个数确定的不同点的个数只有三个，故所求的个数为36 3 33 个，选 A点评 : 当反面情况的类型比较少时, 适合用间接法来处理这类问题 .5 01 型数学模型对于一些排列组合问题, 不同的元素或不同的情况只有两种, 我们可把它们视为 0 和 1,再进行排列 ,这种模型称为“ 01 型数学模型” . 坐座位问题 , 射击问题 , 相同的小球放入盒中的问题 , 方程解的个数问题等等都可以归结为“01 型数学模型” .例 8 将 10 个相同的小球全部放入编号为1,2,3的三个盒子里，使得放入每个盒子里的小球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有

9、多少种?解 :先把6 个小球以 1,2,3 的顺序分别放入编号为1,2,3的三个盒子里 , 再来安排剩下 4个小球 . 依题意 , 剩下 4 个小球可以任意放入三个盒子中, 即要把 4 个小球分成三份 . 把盒子想像放在一起 , 中间有 2 块隔板 , 我们把小球看成0, 隔板看成 1, 即有 4个0和2个 1进行排列 ,相当于是 6 个空位中拿出 2个来放 1, 故共有 C6215 种不同的放球方法 .2点评 : 本题利用01 型数学模型 , 巧妙地解决了一个较为复杂的排列组合问题. 对于物品相同 , 组有编号的一类“把物品放入组中”的排列组合问题, 均可以用这种数学模型来处理 .例 9 某

10、人射击8 枪 ,4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形有多少种 ?解 : 把命中的子弹看成1, 没有命中的子弹看成0,先把 4个 0排好,四个 1个三个 1 捆绑在一起 , 这三个 1 和一个1 相当于两个不同的元素, 然后把这两个不同的元素插入4个0的5个空位中 , 故有 A5220 种不同的情形 .点评 : 本题利用01 型数学模型 ,把一个实际问题映射为一个纯数学问题.6 分类与分步计数数学模型对于一些较为复杂排列组合问题, 可以直接利用分类与分步计数原理进行解决,在分类与分步的计数过程中,要用到上述方法或模型,这种模型称为“分类与分步计数数学模型”.例 10（06 天津卷）用数字0，1

11、， 2， 3，4 组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2 相邻的偶数有个（用数字作答） 解：可以分情况讨论：若末位数字为0，则 1， 2，为一组，且可以交换位置，3， 4，各为 1 个数字，共可以组成 2 A33 12 个五位数； 若末位数字为 2，则 1 与它相邻，其余 3 个数字排列，且 0 不是首位数字，则有 2 A22 4 个五位数； 若末位数字为 4，则 1，2，为一组，且可以交换位置， 3，0，各为 1 个数字，且 0 不是首位数字，则有 2 (2 A22 ) =8个五位数，所以全部合理的五位数共有24 个.点评 :本题考查了排列组合中较为复杂的问题,要求的条件较多,因此分类时一定要做到不重不漏 .例 11（ 06 江苏卷）今有2 个红球、 3 个黄球、 4 个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有种不同的方法（用数字作答）。解: 由题意可知， 因同色球不加以区分， 实际上是一个组合问题