函数微分的概念解读

1、1 2.4.1 2.4.1 函数微分的概念函数微分的概念 2.4.2 2.4.2 微分的计算微分的计算 2.4.3 2.4.3 微分形式的不变性微分形式的不变性 2.4.4 2.4.4 微分的应用微分的应用 2 )(xfy x若给定函数在点处可导若给定函数在点处可导, ,根据根据 导数定义有导数定义有 )( lim 0 xf x y x . . 由定理由定理1.21.2知，其中是当知，其中是当 时的无穷小量，上式可写作时的无穷小量，上式可写作 )(xf x y xxxfy)(. (2.4.1). (2.4.1) 0 x 2.4.12.4.1 函数微分的概念函数微分的概念 返回返回 1/16 上

2、一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页 3 (2.4.1)(2.4.1)式表明函数的增量可以表示为两项之式表明函数的增量可以表示为两项之 和第一项和第一项 是的线性函数，第是的线性函数，第 二项，二项， 当当 时是比时是比 高阶的无穷高阶的无穷 小量因此，当小量因此，当 很小时，我们称第一项很小时，我们称第一项 为为 的线性主部，的线性主部， 并叫做函数并叫做函数 的微分的微分 x xa 0 xx x xxf)( xxf)(y)(xf 2.4.12.4.1 函数微分的概念函数微分的概念 返回返回 2/16 上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页 4 定义定义2.32.3设函数

3、在点设函数在点 处有处有 导数，则称为在点导数，则称为在点 处的微分，记作，即处的微分，记作，即 )( 0 x f xxf)( 0 )(xfy )(xfy 0 x 0 x yd xxfy)(d 0 ，(2.4.2)(2.4.2) 此时，称此时，称 在点在点 处是可微的处是可微的. .)(xfy 0 0 x 例如，函数例如，函数 在点处的微分为在点处的微分为 3 xy 2x xxxxxy xx 123)(d 2 2 2 3 2.4.12.4.1 函数微分的概念函数微分的概念 返回返回 3/16 上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页 5 函数在任意点的微分，叫做函数在任意点的微分，叫做

4、 函数的微分，记作函数的微分，记作 )(xfy x xxfy)(d (2.4.3)(2.4.3) 如果将自变量当作自己的函数，如果将自变量当作自己的函数， 则有则有 x xy xxxyx)(dd， 说明自变量的微分就等于它的改变量，说明自变量的微分就等于它的改变量， 于是函数的微分可以写成于是函数的微分可以写成 xdx 2.4.12.4.1 函数微分的概念函数微分的概念 返回返回 4/16 上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页 6 xxfyd)(d，(2.4.4)(2.4.4) 即即 x y xf d d )( ， (2.4.5)(2.4.5) 也就是说，函数的微分与自变量的微也就

5、是说，函数的微分与自变量的微 分之商等于该函数的导数，因此，导数又分之商等于该函数的导数，因此，导数又 叫叫微商微商 xd yd 2.4.12.4.1 函数微分的概念函数微分的概念 返回返回 5/16 上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页 7 解解 22 1)01. 01 (y 11020. 11020. 0 ； xyy) 1 (d 01. 012 02. 0 . . 可见可见yyd. . 2.4.12.4.1 函数微分的概念函数微分的概念 返回返回 6/16 上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页 例例1 1求函数在，求函数在， 时的改变总量及微分时的改变总量及微分 2

6、 xy 1x 01. 0 x 8 2.4.12.4.1 函数微分的概念函数微分的概念 返回返回 7/16 上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页 曲线坐标的改变量曲线坐标的改变量 )()( 00 xfxxfy 0 d xx y NM NMNT 0 tan xxf)( 0 微分的几何意义示意图微分的几何意义示意图 动画演示动画演示 9 函数微分的函数微分的几何意义几何意义就是：在曲线上某就是：在曲线上某 一点处当自变量取得改变量时，曲线一点处当自变量取得改变量时，曲线 在该点处切线纵坐标的改变量在该点处切线纵坐标的改变量 x 2.4.12.4.1 函数微分的概念函数微分的概念 返回返回

7、 8/16 上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页 10 例例2 2 求下列函数的微分：求下列函数的微分： (1) (1) ； x xy 23e x y 1 arctan (2)(2) 解解(1)(1)23(ee2e3 222322 xxxxy xxx xxxxyy x d)23(edd 22 所以所以 (2)(2) 2 2 2 1 1 1 1 1 x x x y ， 2 1 d d x x y 2.4.2 2.4.2 微分的计算微分的计算 返回返回 9/16 上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页 11 xxufxyyd)()(dd uufdxxufd)()()(， 无论

8、是自变量还是中间变量，无论是自变量还是中间变量， 的微分总可以用与的乘积来表示的微分总可以用与的乘积来表示 函数微分的这个性质叫做函数微分的这个性质叫做微分形式的不变性微分形式的不变性 u )(ufy ydud)(u f 2.4.3 2.4.3 微分的形式的不变性微分的形式的不变性 返回返回 10/16 上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页 以为中间变量的复合函数以为中间变量的复合函数 y)(xu )(xf的微分的微分 12 利用微分可以进行近似计算利用微分可以进行近似计算. . 这个公式可以直接用来计算函数增量的这个公式可以直接用来计算函数增量的 近似值近似值 由微分的定义知，当

9、很小时，有近由微分的定义知，当很小时，有近 似公式似公式 x xxfyy)(d )()(xfxxfy ， xxfxfxxf)()()(， 2.4.4 2.4.4 微分的应用微分的应用 返回返回 11/16 上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页 13 xxfxfxxf)()()(即即 这个公式则可以用来计算函数在某一点附这个公式则可以用来计算函数在某一点附 近的函数值的近似值近的函数值的近似值 2.4.4 2.4.4 微分的应用微分的应用 返回返回 12/16 上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页 14 解解令，因为相对令，因为相对 于较小，可用上面的近似公式来求值于较小

10、，可用上面的近似公式来求值 100 0 x05. 0 xx 0 x 2.4.4 2.4.4 微分的应用微分的应用 返回返回 13/16 上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页 例例3 3设某国的国民经济消费模型为设某国的国民经济消费模型为 2 1 01. 04 . 010 xxy 其中：为总消费其中：为总消费( (单位：十亿元单位：十亿元) )；为可支；为可支 配收入单位：十亿元配收入单位：十亿元).).当时，问总当时，问总 消费是多少？消费是多少？ yx 05.100 x 15 05. 0) 2 01. 0 4 . 0(1 .50 100 xx 025120.50( (十亿元十亿元

11、) ) 2.4.4 2.4.4 微分的应用微分的应用 返回返回 14/16 上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页 xxfxfxxf)()()( 00 0 )10001. 01004 . 010( 2 1 xxx x 100 2 1 )01. 04 . 010( 16 2.4.4 2.4.4 微分的应用微分的应用 例例4 418301830年代后期，法国生理学家普瓦年代后期，法国生理学家普瓦 泽伊（泽伊（Jean Poiseuille）发现了今天我们仍在用来）发现了今天我们仍在用来 预测必须扩张部分受阻塞的动脉半径多少才能恢预测必须扩张部分受阻塞的动脉半径多少才能恢 复正常的血液流动他的公式为复正常的血液流动他的公式为 4 krV 即流体以固定的压力在单位时间内流过的细管即流体以固定的压力在单位时间内流过的细管 的体积的体积V等于一个常数乘以管半径的四次幂等于一个常数乘以管半径的四次幂 问问：半径半径r增加增加10%10%对对V的影响有多大？的影响有多大？ 返回返回 15/16 上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页 17 解解 因为因为 3 4 d d kr r V 所以，所以，r 的微分和的微分和V的微分之间的关系为的微分之间的关系为 rkrr r V Vd4d d d