牛顿力学讨论课答案

1、1 讨论课讨论课1牛顿力学牛顿力学 2013.2 2 1. 质点沿曲线由质点沿曲线由AB运动，运动， 表示位矢，下表示位矢，下 列各式分别代表什么？并在图中标出。列各式分别代表什么？并在图中标出。 r = 位移的大小位移的大小 =路程路程 =末、初位矢大小之差末、初位矢大小之差 )( )( )( )( )( )( B A B A B A r r r d d d 解解 AB r O OAOB 3 2. 绞车以恒定的速率绞车以恒定的速率v0 收绳，问：收绳，问： （1）绳上各点速度相同吗？）绳上各点速度相同吗？ h x v0 岸岸 船船 绳绳 （2）船速船速 v = v0cos 吗吗？ 答（答（1

2、）：）： v0 岸岸 . . A B P . P . . . A B t+ t t 如图示，如图示，在在 t 内绳上内绳上 P、A、B点的位移不同，点的位移不同， 因而绳上各点速度因而绳上各点速度 必然不同。必然不同。 4 t r t 0 0 limv vv 0 答（答（2）：）： t x t 0 limv cosxr 由图有：由图有： t+ t r x h v0 P . P t x v cos 0 v v 绞车收绳的速率：绞车收绳的速率： 船速：船速： 0 5 3. 一质量为一质量为m的小球按如图悬挂方式平衡。的小球按如图悬挂方式平衡。A 图的上端为绳索，图的上端为绳索，B图的上端为弹簧。现

3、剪断水图的上端为弹簧。现剪断水 平绳索，两种情况下，剪断瞬间小球所受拉力平绳索，两种情况下，剪断瞬间小球所受拉力 各多大？为什么？各多大？为什么？ (A) (B) cos/mgT cosmgT 解解 6 刚性绳索刚性绳索k，剪断瞬间剪断瞬间绳绳 索索形变形变 l虽无限小，但虽无限小，但k l 可取可取 某有限值，保证某有限值，保证小球小球沿圆周切线沿圆周切线 方向运动。瞬间静止，法向加速方向运动。瞬间静止，法向加速 度为零，因此：度为零，因此： cosmgT 弹簧的弹簧的k值有限，值有限，剪断瞬间形剪断瞬间形 变变 l无限小，则无限小，则k l无限小，合无限小，合 力力几乎与剪断前相同，因此：

4、几乎与剪断前相同，因此： cos mg T 弹簧：弹簧： mg T N 绳索：绳索： mg T l 7 4. F vm v = const. 皮带皮带M f 驱动力驱动力 m 砖块砖块 f 下列说法是否正确？下列说法是否正确？ （2）F 的功的功 + f 的功的功 = m 获得的动能获得的动能 （3）F 的功的功 + f 的功的功 = 0 （4）F 的功的功 = m 获得的动能获得的动能 的过程中，应该有：的过程中，应该有：vm=0vm=v砖块砖块m： （1）f 对对 M 的功的功 = f 对对 m 的功的负值的功的负值 8 解解 （1）错。）错。 m 与 与 M 间有相对位移，间有相对位移，

5、f 和和 f 的作的作 用点位移不同。二者之和不为零。用点位移不同。二者之和不为零。 （2）错。）错。 F 与与 f 不是作用在不是作用在 m 上。上。 （3）对。）对。M 匀速，动能不变。可见（匀速，动能不变。可见（2）错。）错。 （4）错。）错。 F 作用在作用在M上。上。 9 5. S 和和 S系都是惯性系系都是惯性系 2） 在在 S 和和 S 系中系中 弹簧振子的机弹簧振子的机 械能是否械能是否守恒？守恒？ S S .const V 在在 S 和和 S 系系中中 摆球摆球m的机械的机械 能是否守恒？能是否守恒？ S O .const V m S 1） v 10 1）S 系：系：机械能守

6、恒，机械能守恒，只有保守内力作功。只有保守内力作功。 0A A T外外 机械能不守恒机械能不守恒 2）S 系：系：机械能守恒机械能守恒 S 系：墙壁对弹簧的力的作用点有位移，系：墙壁对弹簧的力的作用点有位移， 外力的功和参考系有关，因此机械能是否守外力的功和参考系有关，因此机械能是否守 恒与参考系有关。恒与参考系有关。 外力的功不为零，外力的功不为零，机械能不守恒。机械能不守恒。 S 系系： )(V vvT 不垂直于不垂直于 11 6. 分析下列情况的守恒量：分析下列情况的守恒量： （3）球与连杆）球与连杆 球的碰撞球的碰撞 o o悬点悬点 （2）两质点构成）两质点构成 的弹簧振子的弹簧振子

7、水平面光滑水平面光滑 （1）锥摆）锥摆 o o A 机械能、动量机械能、动量 以及对任一定以及对任一定 点的角动量都点的角动量都 守恒守恒 机械能守恒机械能守恒 机械能是否守恒取机械能是否守恒取 决于碰撞性质决于碰撞性质 对对O角动量守恒角动量守恒 动量不守恒动量不守恒 对对A角动量不角动量不 守恒守恒 一般动量不守恒一般动量不守恒 对对O点角动量守恒点角动量守恒 12 0gmT 动量不守恒动量不守恒 对对A点：点：0, 0 AA gmrTr o mg T rA ro 角动量不守恒角动量不守恒 对对O点：点：0 oo gmrTr 角动量守恒角动量守恒 （1） 0 mgT AA机械能守恒机械能守

8、恒 解解 无外力。机械能、动量以及对任一定点的角无外力。机械能、动量以及对任一定点的角 动量守恒。动量守恒。 水平面光滑水平面光滑 （2） 13 能量是否守恒取决于碰撞性质。能量是否守恒取决于碰撞性质。 对对O点力矩为零，点力矩为零，故对故对O点系统角动量守恒。点系统角动量守恒。 碰撞中过悬点轴对杆可能有横向力，外力不碰撞中过悬点轴对杆可能有横向力，外力不 为零，为零， 动量不守恒。动量不守恒。 （3） o o悬点悬点 14 1、功能关系是否成立？、功能关系是否成立？ 7. 一内壁光滑的环状细管绕竖直轴均匀转动。一内壁光滑的环状细管绕竖直轴均匀转动。 管内小球自顶端无初速滑下。管内小球自顶端无

9、初速滑下。 2 2 1 v mmgR 2、设小球到图示位置时、设小球到图示位置时 速度为速度为v，有人列式如下，有人列式如下 试判断此式的正误，并说明理由。试判断此式的正误，并说明理由。 在圆环参考系中考虑小球的运动：在圆环参考系中考虑小球的运动： v m R 15 圆环系为非惯性系。圆环系为非惯性系。 质点受科氏力和惯性离心力，质点受科氏力和惯性离心力， 必需考虑它们做的功。必需考虑它们做的功。 在圆环系中，小球地球机械能不守恒！在圆环系中，小球地球机械能不守恒！ 1、考虑惯性力做功后，功能关系仍成立。、考虑惯性力做功后，功能关系仍成立。 解答：解答： 科氏力与速度垂直，不做功。科氏力与速度

10、垂直，不做功。 但惯性离心力做功。但惯性离心力做功。 2、所列式错误。、所列式错误。 R v fI , v C f 16 8. 斜抛一物体，考虑空气阻力，并设阻力大斜抛一物体，考虑空气阻力，并设阻力大 小与速率成正比，比例系数为小与速率成正比，比例系数为k. 已知物体质量已知物体质量 为为m，初速度为，初速度为v0 . 求：物体到达最高点时的速度。求：物体到达最高点时的速度。 t mkgm d dv v 解解 受力分析受力分析 0 , 0vv t 直角坐标系直角坐标系 分量形式：分量形式： t mkx x x d dv v : :向向 列方程：列方程： mg kv vy x t mkmgy y

11、 y d dv v : :向向 yx t 00 , 0vv 17 mg mgk k m t y0 ln v 得上升时间：得上升时间： , d d 0 0 x x x x t t m k v v v v t m k x x exp 0 vv 最高点速度：最高点速度： mgk mg y xx 0 0 v vvv 解解y向方程向方程： t mkmg y y d dv v 因最高点因最高点 vy=0， 解解x向方程：向方程： t mk x x d dv v 0 0 0 d d 1 y mgk t m y y t v v v 则：则： mgk m t y y v vdd 18 9. 两根长度分别为两根长

12、度分别为 l1和和 l2的绳竖的绳竖 直悬挂两个质量分别直悬挂两个质量分别m1 , m2 的小球，的小球， 突然打击球突然打击球1，使之获得水平速度，使之获得水平速度 v0 ,求该瞬时两绳中的张力。求该瞬时两绳中的张力。 v0 l1 l2 m1 m2 1、关于、关于m1列方程列方程( (O点点 惯性系惯性系) ) m1作半径为作半径为l1 的圆周运动，的圆周运动，在打击在打击 m1的瞬时，的瞬时，其法向加速度为其法向加速度为a1n ,法法 向力为向力为T1 ;它还受到重力它还受到重力m1g和下和下 面绳的拉力面绳的拉力T2 。 。（ （m2 静止）静止） 解解 对对m1、m2 分别列方程分别列

13、方程 v0 l1 m1 1 T n a1 2 T gm1 o 19 对对m1列竖直方向的方程：列竖直方向的方程： )1( 1 2 0 1121 l mgmTT v 在打击在打击m1的瞬时，的瞬时，m2作半径为作半径为 l2的的 向左圆周运动，瞬时速率也是向左圆周运动，瞬时速率也是v0 。 设其法向加速度为设其法向加速度为 a2n ,法向力为法向力为 T2 v0 l1 m1 1 T n a1 2 T gm1 n a1 l1 l2 m1 m2 v0 gm2 2 T n am 12 n a2 n a1 2、关于、关于m2列方程（以列方程（以m1为参考系，为参考系， 非惯性系非惯性系 ，加速度，加速度

14、a1n向上）向上） 它除受到重力它除受到重力 m2g 外，还受到向外，还受到向 下的惯性心力下的惯性心力 。 n am 12 20 l1 l2 m1 m2 v0 gm2 2 T n am 12 n a2 对对m2列竖直方向的方程：列竖直方向的方程： nn amamgmT 221222 )2( 2 2 0 2 1 2 0 222 l m l mgmT vv 即即 联立（联立（1）（）（2）两式，得张力为）两式，得张力为 2 2 0 1 2 0 22 ll gmT vv 2 2 0 2 1 2 0 211 l m l gmmT vv 检验：特例检验：特例v0=0时是否正确？时是否正确？ 21 22

15、 分析：分析： 机械能守恒？机械能守恒？ 有人说两小孩系统动量守恒，对吗？有人说两小孩系统动量守恒，对吗？ 角动量守恒？角动量守恒？ m1m2 (不爬不爬)(爬爬) 10. 如图示，两个同样重的小如图示，两个同样重的小 孩，各抓着跨过滑轮的绳的一孩，各抓着跨过滑轮的绳的一 端。起初都不动，然后右边的端。起初都不动，然后右边的 小孩用力向上爬绳，左边的小小孩用力向上爬绳，左边的小 孩只抓住绳但不爬动。忽略滑孩只抓住绳但不爬动。忽略滑 轮、绳的质量和轴的摩擦。轮、绳的质量和轴的摩擦。 设他们的起始高度相同，问设他们的起始高度相同，问 哪个小孩先到达滑轮？哪个小孩先到达滑轮？ 23 对对“m1+ m

16、2 ”系统：系统： 把小孩看成质点，以滑轮中心把小孩看成质点，以滑轮中心O点为参考点。点为参考点。 角动量守恒角动量守恒 . gm 1 gm 2 1 T 2 T R O m1m2 0)()( 222111 vmrvmr 外力：外力： 2121 ,TTgmgm 0 2211 v vv vRmRm 1 v 2 v 1 r 2 r 两小孩同时的到达滑轮！两小孩同时的到达滑轮！ 21 v vv v 满足条件：满足条件：0) 12 gRmmM（ 外外 设角动量向内为正设角动量向内为正 24 0) 12 gRmmM（ 外外 角动量定理角动量定理LtM dd 外外 设设 21 mm （爬绳的小孩较轻）（爬绳

17、的小孩较轻） 1 v 2 v . gm 1 gm 2 1 T 2 T R O m1m2 1 r 2 r 0ddd 2211 RmmLv vv v RmmL)( 2211 v vv v 2211 ddv vv vmm 21 ddv vv v 爬绳的小孩爬绳的小孩（轻轻）先到。先到。 0d L 21 v vv v 若若 ，谁先到达？，谁先到达？ 21 mm 25 若若 m2 m1（爬绳的小孩较重）（爬绳的小孩较重） 0) 12 gRmmM（ 外外 0ddd 2211 RmmLvv 2211 ddvvmm 21 vv 结论：结论：无论谁爬绳，总是轻的小孩先到！无论谁爬绳，总是轻的小孩先到！ 以上结论

18、也可直接由以上结论也可直接由力和加速度的关系力和加速度的关系得到得到 （课后自己完成）。（课后自己完成）。 仍是轻的小孩先到。仍是轻的小孩先到。 前面各关系式中仅不等号反向，即前面各关系式中仅不等号反向，即 26 球球D作用力作用力（A +B ）质心运动；）质心运动； 解解 分析（分析（A+B）的运动）的运动 球球D对质心作用力矩对质心作用力矩（A +B ）绕质心转动。）绕质心转动。 求：碰后（求：碰后（A +B ） 和球和球D 的运动；的运动； 11. 一长度为一长度为 l 的轻质细杆，两端各固结的轻质细杆，两端各固结一一个个 小球，平放在光滑水平面上，开始时静止。另小球，平放在光滑水平面上

19、，开始时静止。另 一小球，以垂直于杆身的初速度一小球，以垂直于杆身的初速度v0与杆端的与杆端的A球球 作弹性碰撞。设三球质量同为作弹性碰撞。设三球质量同为m。 A l B v0 D 碰撞前碰撞前 如果小球与如果小球与A球作球作 完全非弹性碰撞（碰后粘在一起），结果如何？完全非弹性碰撞（碰后粘在一起），结果如何？ 27 设碰撞后：设碰撞后：D球速度为球速度为v. (A+B)质心速度为质心速度为vc， 转动转动角速度为角速度为 . 系统：系统：A+BD ,)2( 0C mmmvvv 1、水平无外力，动量守恒。、水平无外力，动量守恒。 2、弹性碰撞，动能不变。、弹性碰撞，动能不变。 C vvv2 0

20、 42 1 2)2( 2 1 2 1 2 1 22 222 0 l mmmm C vvv 2/2 22222 0 l C vvv A l B v D vc 碰撞后碰撞后 （质心动能）（质心动能） （绕质心转动动能）（绕质心转动动能） 28 碰撞后：碰撞后：D、A球角动量为零球角动量为零, B球角动量为球角动量为 3、选择、选择碰撞前碰撞前A球的位球的位 置作为定点（称为置作为定点（称为O点）点） 碰撞前：碰撞前：(D+A+B)角动量为零角动量为零 C lmlv 2 关于关于O点列角动点列角动 量守恒：量守恒： 0 2 C l mlv ，角动量守恒：，角动量守恒： 2 l C v A l B v

21、 D vc O （也可关于三个球的质心列角动量守恒）（也可关于三个球的质心列角动量守恒） 29 4、式联立解出式联立解出 l C 00 , 2 , 0 vv vv 碰撞后：碰撞后：D球静止，球静止， (A+B)平动转动。平动转动。 如果小球以垂直于杆身的初速度如果小球以垂直于杆身的初速度v0，与杆端，与杆端 的的A球碰撞后粘在一起共同运动，结果为球碰撞后粘在一起共同运动，结果为 l C 2 , 3 00 3 vv v 30 12. 在静止的圆柱体上绕有绳索，绳两端挂在静止的圆柱体上绕有绳索，绳两端挂 大、小两个桶，其质量分别为大、小两个桶，其质量分别为M=1000kg和和 m=10kg。绳与圆

22、柱体之间的静摩擦系数为。绳与圆柱体之间的静摩擦系数为 =0.05，绳的质量可以忽略。试问为使两桶静，绳的质量可以忽略。试问为使两桶静 止不动，绳至少需要绕多少圈？止不动，绳至少需要绕多少圈？ M m 31 将绳分割成小段，将绳分割成小段， 由力平衡条件列微分方程，积分。由力平衡条件列微分方程，积分。 分析一小段绳分析一小段绳 的受力的受力 思路：思路：连续体张力问题。连续体张力问题。 【讨论【讨论】摩擦力的方向？压力？摩擦力的方向？压力？ 摩擦力摩擦力 张力张力 压力压力 张力张力 32 列平衡状态牛顿方程列平衡状态牛顿方程 2 cos 2 cos TfTT切向：切向： Nf 法向：法向： 2

23、 sin2 TTN 33 0 22 sin 1 2 cos T n2 Nf TTN TfTT 2 sin2 2 cos 2 cos M m T T T T T T m M ln, 0 d d d d T T 157 .14 1 . 0 100ln ln 2 1 m M T T n 设设 得得 34 13. 赤道上有一高度为赤道上有一高度为 h 的楼，一物体由楼顶的楼，一物体由楼顶 自由下落时，由于地球自转的影响，物体将落自由下落时，由于地球自转的影响，物体将落 在楼根的东侧，这一现象称为落体东移。适当在楼根的东侧，这一现象称为落体东移。适当 地取近似，计算物体着地点与楼根的距离。地取近似，计算

24、物体着地点与楼根的距离。 h R O s 35 取近似取近似1：物体下落时水平速度不变物体下落时水平速度不变 物体下落时间（自由落体）：物体下落时间（自由落体）： g h t 2 hRhR )(v 物体着地点与楼根的距离：物体着地点与楼根的距离： 水平速度差：水平速度差： g h hs 2 误差很大。误差很大。 36 取近似取近似2：R很大，物体与地面的速度差近似沿很大，物体与地面的速度差近似沿 水平方向，但随时间变化。水平方向，但随时间变化。 h R O y 0 t=0 yRyR )(v , 2 1 2 gthy ght2 g hh tgth tytx t tt 2 3 2 2 1 0 2

25、00 d ddv 37 近似近似3：取楼高对地球半径之比的一级近似。取楼高对地球半径之比的一级近似。 物体自由下落后，只受地心引力，物体物体自由下落后，只受地心引力，物体 关于关于地心地心 O 点角动量守恒。点角动量守恒。 （2 2）在地球系（非惯性系）中求解）在地球系（非惯性系）中求解 （1 1）在惯性系中求解）在惯性系中求解 38 物体自由下落后，只受地心引物体自由下落后，只受地心引 力，物体关于力，物体关于O点角动量守恒。点角动量守恒。 : 地球（楼）的角速度地球（楼）的角速度 :下落物体的角速度下落物体的角速度 物体落地点的偏角为物体落地点的偏角为 tt t 0 d ght2 ,)(

26、2gyht 0 y h y R O t t 22 )()(hRmyRm （1 1）在惯性系中求解：）在惯性系中求解： 39 )(2 d d 0 2 0 y-hg y yR hR t ht 22 )()(hRmyRm gyht)( 2 2 yR hR )-(2 d d yhg y t )( 2 1 )( 2 1 2 yh RhR hy yR hR ht yh Ry-hg y t 00 )( 2 1 )(2 d d 在在 y=h 附附 近做展开近做展开 40 g h R h g h2 3 22 tt t 0 d g h R h g h g h R h g h2 3 222 3 22 落体东移的距离

27、为落体东移的距离为 g hh Rx 2 3 2 ht yh Ry-hg y t 00 )( 2 1 )(2 d d 41 物体自由下落，除受地心引力，物体自由下落，除受地心引力， 还受科氏力还受科氏力fc作用。因作用。因vxvy，则，则 近似取近似取 fc 沿沿 x 方向方向 （2 2）在地球系（非惯性系）中求解：）在地球系（非惯性系）中求解： 0 y h R O x v fc 物体的运动可看成：物体的运动可看成： gtmmf yc 22 v gtm t m x 2 d d v 2 0 d2gtttg t x v 自由落体自由落体f fc c作用横向加速作用横向加速 g hhtg ttgtx tt x 2 3 2 3 dd 3 0 2 0 v 42 14. 把一根单位长度的质量为把一根单位长度的质量为 的均匀柔软的均匀柔软 的绳子悬吊起来，下端刚好触及地面，绳子的绳子悬吊起来，下端刚好触及地面，绳子 自静止释放自由下落。求：当绳子下落的长自静止释放自由下落。求：当绳子下落的长 度为度为z时，地面受到绳子的压力。你能想到几时，