全国中学生物理竞赛课件19：电阻等效方法ABC汇编

1、 对称法对称法 电流叠加法电流叠加法 Y-变换法变换法 对具有一定对称性的电路对具有一定对称性的电路,通过对等势点的拆、合，对通过对等势点的拆、合，对 称电路的称电路的“折叠折叠”，将电路简化为基本的串并联电路。，将电路简化为基本的串并联电路。 直流电路中各电源单独存在时的电路电流代数叠加后与所直流电路中各电源单独存在时的电路电流代数叠加后与所 有电源同时存在的电路电流分布是一样的，任一直流电路电流有电源同时存在的电路电流分布是一样的，任一直流电路电流 分布，总可归结为只含某一个直流电源的电路电流分布这就分布，总可归结为只含某一个直流电源的电路电流分布这就 是电流的可叠加性对于一些并不具备直观

2、的对称性的电路，是电流的可叠加性对于一些并不具备直观的对称性的电路， 可根据电流的可叠加性，重新设置电流的分布方式，将原本不可根据电流的可叠加性，重新设置电流的分布方式，将原本不 对称问题转化成具有对称性的问题加以解决对称问题转化成具有对称性的问题加以解决 。 利用利用Y型联接电阻与型联接电阻与型联接电阻间等价关系的结论，通型联接电阻间等价关系的结论，通 过电阻过电阻Y型联接与型联接与型联接方式的互换，达到简化电路成单纯型联接方式的互换，达到简化电路成单纯 串联或并联的目的串联或并联的目的 解解: : A B C D EF HG AC B D EG F H 3 3 4 3 AC R R R R

3、R R 则则 AC间等效电阻间等效电阻: 如图所示，如图所示，12个阻值都是个阻值都是R的电阻，组成一立的电阻，组成一立 方体框架，试求方体框架，试求AC间的电阻间的电阻RAC 、AB间的电阻间的电阻RAB与与AG间的电阻间的电阻 RAG A B C D EF HG AB间等效电阻间等效电阻: E G F H AB CD 2 R R 2 2 2.5 2 2 2.5 7 12 AB R R RR R R R R RR R R 则则 A B C D EF HG AG间等效电阻间等效电阻: F H C A B E D G 6 R 3 R 3 R 5 6 AG RR 则则 解解: : A B 0 2

4、r 电源外电路电源外电路等效电阻等效电阻: 00 0 00 2.55 2 40 .577 AB rr Rr rr 通过电源的电流由通过电源的电流由 6.0 A 40/7 1.05A AB I R 如图所示的正方形网格由如图所示的正方形网格由24个电阻个电阻r0=8的电阻的电阻 丝构成，电池电动势丝构成，电池电动势=6.0 V，内电阻不计，求通过电池的电流，内电阻不计，求通过电池的电流 波兰数学家谢尔宾斯基波兰数学家谢尔宾斯基1916年研究了一个有趣的几何图形他年研究了一个有趣的几何图形他 将如图将如图1所示的一块黑色的等边三角形所示的一块黑色的等边三角形ABC的每一个边长平分为二，再把平分点的

5、每一个边长平分为二，再把平分点 连起来，此三角形被分成四个相等的等边三角形，然后将中间的等边三角形挖掉，连起来，此三角形被分成四个相等的等边三角形，然后将中间的等边三角形挖掉， 得到如图得到如图2的图形；接着再将剩下的黑色的三个等边三角形按相同的方法处理，的图形；接着再将剩下的黑色的三个等边三角形按相同的方法处理， 经过第二次分割就得到图经过第二次分割就得到图3的图形经三次分割后，又得到图的图形经三次分割后，又得到图4的图形这是带有的图形这是带有 自相似特征的图形，这样的图形又称为谢尔宾斯基镂垫它的自相似性就是将其自相似特征的图形，这样的图形又称为谢尔宾斯基镂垫它的自相似性就是将其 中一个小单

6、元（例如图中一个小单元（例如图4中的中的BJK）适当放大后，就得到图）适当放大后，就得到图2的图形如果这个的图形如果这个 分割过程继续下去，直至无穷，谢尔宾斯基镂垫中的黑色部分将被不断地镂空分割过程继续下去，直至无穷，谢尔宾斯基镂垫中的黑色部分将被不断地镂空 图图1 图图2 图图3 图图4 数学家对这类几何图形的自相似性进行了研究，创造和发展出了一门称为数学家对这类几何图形的自相似性进行了研究，创造和发展出了一门称为 “分形几何学分形几何学”的新学科近三十多年来，物理学家将分形几何学的研究成果和的新学科近三十多年来，物理学家将分形几何学的研究成果和 方法用于有关的物理领域，取得了有意义的进展方

7、法用于有关的物理领域，取得了有意义的进展 我们现在就在这个背景下研究按谢尔宾斯基镂垫图形的各边构成的电阻网络的我们现在就在这个背景下研究按谢尔宾斯基镂垫图形的各边构成的电阻网络的 等效电阻问题：设如图等效电阻问题：设如图1所示的三角形所示的三角形ABC边长边长L0的电阻均为的电阻均为r；经一次分割得到；经一次分割得到 如图如图2所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻的边长的电阻r 的二分之一；经二次分割得到如图的二分之一；经二次分割得到如图3所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻

8、是原三角形是原三角形ABC的边长的电阻的边长的电阻r的四分之一；三次分割得到如图的四分之一；三次分割得到如图4所示的图形，其所示的图形，其 中每个小三角形边长的电阻是原三角形中每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻的边长的电阻r的八分之一的八分之一 试求经三次分割后，三角形试求经三次分割后，三角形ABC任意两个顶点间的等效电阻任意两个顶点间的等效电阻 试求按此规律作了试求按此规律作了n次分割后，三角形次分割后，三角形ABC任意两个顶点间的等效电阻任意两个顶点间的等效电阻 A B C DE F A BC DE F A BC l0 A BC D E F K G I J 解解: : 对三

9、角形对三角形ABC,任意两点间的电阻任意两点间的电阻 r 0 2 3 Rr A BC 对分割一次后对分割一次后的图形的图形 2 r 1 63 5 9 25 Rrr 5 6 r 对分割二次后对分割二次后的图形的图形 5 12 r 2 5 6 r 2 2 5 6 2 3 Rr 可见可见, ,分割三次后分割三次后的图形的图形 3 3 125 2 2 3 5 634 rrR 25 36 n n Rr 递推到分割递推到分割n次后的图形次后的图形 如图所示的平面电阻丝网络中，每一直如图所示的平面电阻丝网络中，每一直 线段和每一弧线段电阻丝的电阻均为线段和每一弧线段电阻丝的电阻均为r试求试求A、B两点间两点

10、间 的等效电阻的等效电阻 解解: : A B A B B A B A r 3 4 AB Rr A B A B 三个相同的均匀金属圆圈两两相交地连三个相同的均匀金属圆圈两两相交地连 接成如图所示的网络已知每一个金属圆圈的电阻都是接成如图所示的网络已知每一个金属圆圈的电阻都是R， 试求图中试求图中A、B两点间的等效电阻两点间的等效电阻RAB 解解: : 三个金属圈共有六个结点，每四分之三个金属圈共有六个结点，每四分之 一弧长的电阻一弧长的电阻R/4. . 将三维金属圈将三维金属圈“压扁压扁”到到ABAB 所在平面并所在平面并“抻直抻直”弧线成下图弧线成下图 4 R 8 R B A 882 882

11、AB RRR R RRR 5 48 R 4 R 正四面体框架形电阻网络如图所示，其中每一小正四面体框架形电阻网络如图所示，其中每一小 段电阻均为段电阻均为R试求试求RAB和和RCD 解解: : 3 4 AB Rr B A E F 2 R 4 R 2 R 2R AB HI E 乙乙 2 R 2 R D C I G H L 甲甲 甲甲 B A F D C I G H L E D C 丙丙 2 R 2 R 2 R 2 R 3 8 CD Rr 解解: : 解题方向解题方向:由于对称，可将由于对称，可将ABAB中垂线上各电势点拆分，中垂线上各电势点拆分， 原电路变换为图乙，我们看到这是一个具有自相似性的

12、无原电路变换为图乙，我们看到这是一个具有自相似性的无 限网络，其基本单元如图丙限网络，其基本单元如图丙 B Bn An n A n B Rx RR R R 2R 丙丙 BA 甲甲 A A B AB 乙乙 当当n时，多一个单元，只是使时，多一个单元，只是使Rx按边长同比增大，即按边长同比增大，即 2 22 2 2 2 22 2 x x x x x RR RR RR R RR RR RR 71 3 x RR 71 3 AB aR 试求框架上试求框架上A、B两点间的电阻两点间的电阻RAB此框架是用同种细金此框架是用同种细金 属制作的，单位长度的电阻为属制作的，单位长度的电阻为一连串内接等边三角形的数

13、目可认为趋向无穷，一连串内接等边三角形的数目可认为趋向无穷， 如图所示取如图所示取AB边长为边长为a，以下每个三角形的边长依次减少一半，以下每个三角形的边长依次减少一半 解解: :解题方向 解题方向:将原无限长立体正三棱柱框将原无限长立体正三棱柱框 架沿左、右递缩为三棱台再架沿左、右递缩为三棱台再“压压”在在 AB所在平面，各电阻连接如图所在平面，各电阻连接如图 A B C 2 r r 2 3 r 3 r3 3 r x rx r x 由由 321 6 xr A B 2 21 21 AB rR 如图所示是由电阻丝连接成的无限电阻网络，已如图所示是由电阻丝连接成的无限电阻网络，已 知每一段电阻丝的

14、电阻均为知每一段电阻丝的电阻均为r，试求，试求A、B两点之间的总电阻两点之间的总电阻 A B C 返回返回 解解: : A B A B O O 2 I 8 I A B O 2 4 I5 2 4 I 5 28424 2 2 AB I R I R I R I I 29 24 AB RR 田字形电阻丝网络如图所示，每小段电阻丝的电田字形电阻丝网络如图所示，每小段电阻丝的电 阻均为阻均为R，试求网络中，试求网络中A、B两点间的等效电阻两点间的等效电阻RAB R 2 R 如图所示的一个无限的平面方格导线网，连接两如图所示的一个无限的平面方格导线网，连接两 个结点的导线的电阻为个结点的导线的电阻为r0，如

15、果将，如果将A和和B接入电路，求此导线网的等接入电路，求此导线网的等 效电阻效电阻RAB 解解: : BA 0 44 AB Ir I R I 0 2 AB R r 解解: : b a 00 6336 ab II I I RR I R 0ab RR 有一无限大平面导体网络，它有大小相同的正六有一无限大平面导体网络，它有大小相同的正六 边形网眼组成，如图所示，所有六边形每边的电阻均为边形网眼组成，如图所示，所有六边形每边的电阻均为R0，求间位，求间位 结点结点a、b间的等效电阻间的等效电阻 如图是一个无限大导体网络，它由无数个大小相如图是一个无限大导体网络，它由无数个大小相 同的正三角形网眼构成，

16、小三角形每边的电阻均为同的正三角形网眼构成，小三角形每边的电阻均为r，求把该网络，求把该网络 中相邻的中相邻的A、B两点接入电路中时，两点接入电路中时，AB间的电阻间的电阻RAB 解解: : A B 66 AB I I I RR 3 AB R R 半径为半径为R的薄壁导电球由连在的薄壁导电球由连在A、B两点上的（两点上的（AOBO， O点是球心）两根细导线接到直流电源上，如图通过电源的电流为点是球心）两根细导线接到直流电源上，如图通过电源的电流为I0问在球问在球 面上面上C点处（点处（OCOA，OCOB）电荷朝什么方向运动？若在）电荷朝什么方向运动？若在C点附近球面上作点附近球面上作 两个小标

17、志，使它们相距两个小标志，使它们相距R1000，其连线垂直电荷运动方向问总电流中有多，其连线垂直电荷运动方向问总电流中有多 大部分通过这两标志之连线？大部分通过这两标志之连线？ 解解: : B A B A C i1 i2 C处单位长度上电流处单位长度上电流 0 21 2 2 c I i R C处垂直于电荷运动方向处垂直于电荷运动方向 上一段弧是的电流为上一段弧是的电流为 0 21 2 21000 IR i R 0 2 4000 I 如图所示的电阻网络包括两个立方形，每边电阻均为如图所示的电阻网络包括两个立方形，每边电阻均为 2r，求，求A、B间的电阻间的电阻 解解: : A B B A C C

18、 15 I 11 15 I 4 15 I B A 8 15 I 7 15 I C 2 15 I 115107 24 15151515 AB R rII I r 2 AB Rr 2r r 4r 返回返回 A C IA Ic 甲甲 B IBRAB RAC RBC a c Ia Ic O 乙乙 RaRb Rc b Ib A CA B A A BA C B CB A B A BB C C AC B C C AB C UU I RR UU I RR UU I RR 0 a baabb a caacc b cbbcc abc UIRIR UIRIR UIRIR III abcacb a acabbc U

19、RU R I R RR RR R AaBbCc IIIIII ABabACacBCbc UUUUUU bcabac b acabbc U RU R I R RR RR R cabcba c acabbc U RU R I R RR RR R abcacb acabbc U RU R R RR RR R bcabac acabbc U RU R R RR RR R cabcba acabbc U RU R R RR RR R 1 c acabbcAB R R RR RR RR 1 b acabbcAC R R RR RR RR 1 a acabbcBC R R RR RR RR Y变换变换 YY

20、Y ABBC ca AC b RRR RRR Y变换变换 ABACABBCACBC abc RRRRRR RRR ABBCAC RRR 解解: :a b B A dc D C A B 4r AB间等效电阻间等效电阻: c a b O /2r /2r /4r 2r r 1.5r 1.25r O BA C 2 Y6r 24 /5r 4r 4r AB R 24 2 44 5 24 55 2 5 24 2 44 5 24 55 2 5 r 47 80 r 如图所示如图所示,一个原来用一个原来用12根相同的电阻丝构成的根相同的电阻丝构成的 立方体框架，每根电阻丝的电阻均为立方体框架，每根电阻丝的电阻均为

21、r，现将其中一根拆去，求，现将其中一根拆去，求A、 B两点间的电阻两点间的电阻 2 44 acb r rr r r RRR r 22 1. 264 4 51.2 6 55 ACABBC RR r r r r rR r 如图所示如图所示,甲中三端电容网络为甲中三端电容网络为型网络元，乙型网络元，乙 中三端电容网络为型网络元，试导出其间的等效变换公式中三端电容网络为型网络元，试导出其间的等效变换公式 解解: : A C qA qC 甲甲 B qB CAB CAC CBC 乙乙 a c qa qc b qb Cb Ca Cc O AaBbCc qqqqqq ABabACacBCbc UUUUUU A

22、ABABACAC BBAABBCBC CCACACBBC qUCUC qUCUC qUCUC 0 ab ab ab ac ac ac abc qq U CC qq U CC qqq Y变换变换 YYY abbcac ABBCCA C CC CC C C CC Y变换变换 ab BCCAAB c CC CC C C Y abc CCC ABACBABCCBCA CCCCCC 解解: :R A B R/3R/8 R/2R/6 AB R 15 11 R 电阻均为电阻均为R的九个相同的金属丝组成构架的九个相同的金属丝组成构架 如图所示，求构架上如图所示，求构架上A、B两点间电路的电阻两点间电路的电阻

23、如图所示，由九根相同的导线组成的一个三棱如图所示，由九根相同的导线组成的一个三棱 柱框架，每根导线的电阻为柱框架，每根导线的电阻为R，导线之间接触良好，求，导线之间接触良好，求BD之间的电之间的电 阻值阻值 解解: : B D R B R/3 D R/6 2R/3 2R/15 3 1 2 2 3 15 1 2 BD RR 11 15 R 解解: : A B 2 R RR/8R/4 AB R 131 11842 1 24 2 R 47 22 R 如图所示，由电阻丝构成的网络中，每如图所示，由电阻丝构成的网络中，每 一段电阻丝的电阻均为一段电阻丝的电阻均为R，试求，试求RAB 由由7个阻值相同的均为个阻值相同的均为r的电阻组成的网络元如的电阻组成的网络元如 图所示，由这种网络元彼此连接形成的无限网络如图图所示，由这种网络元彼此连接形成的无限网络如图所示，试求所示，试求 P、Q两点之间的等效电阻两点之间的等效电阻 解解: : Rx r r/4r/2 53 42 2 53 42 x x x x x R