2017全国卷1理科数学试题详细解析

1、2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国I卷）理科数学解析人李跃华注意事项：1 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。3 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。1.已知集合 A=xxc1, B = x3xc1，则（）2.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白A

2、A 仃 B = lx x ：: 0 /B.AUB二 RC.AUB 工xx 1D. AR B =0【答案】A【解析】A.xx : V , B =1x3x ：:1； -x x ：:0? aD B J.x x ：:0?, AlJ Bx :V ,选A5色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点， 则此点取自黑色部分的概率是（）1A.-4B c 1【答案】【解析】B设正方形边长为2，则圆半径为1则正方形的面积为2 2 =4，圆的面积为n 12二n,图中黑色部分的概率为则此点取自黑色部分的概率为 故选B3.设有下面四个命题（）1Pl:若复数z满足_ . R，贝y z R ；zP2 :若复数P3

3、 :若复数P4 :若复数A.【答案】Pl , P3BZ , Z2满足乙乙2乏R，贝U；z R，贝V z = r .B . Pl , P4C. P2 , P3D .P2 , P4z满足z2三R，则z R ;【解析】4.记Sn为等差数列 / 的前n项和，若a4 a24 ,A.【答案】【解析】1Ca4 a5 = a1 3d d 4d6x5S6 =6qd = 482：2a1 +7d =24 联立求得Qa1 +15d =48S5 =48，则（aj的公差为（）C. 4D . 8=2411a hiP1：设z =a +bi，则矿訐bT尺E R，得到b =0，所以辽R 故R正确;P2：若z2二1，满足z2三R，

4、而z二i，不满足z2三R，故P2不正确；P3：若Z1 =1 , Z2 =2，则Z1Z2 =2，满足牛2 R，而它们实部不相等，不是共轭复 数，故P3不正确；P4正确;P4：实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故 3 一得 21-15 d =246d =24d =4选C5.函数f x在单调递减，且为奇函数.若f 1 = “，则满足f x-2引 的 x的取值范围是（）A . 1-2, 2 1B . I-1, 1 1C. 1.0 , 41D . 1.1, 3【答案】D【解析】因为f x为奇函数，所以f -1二-f 1 =1 ,于是-K f x-2 1 等价于 f 1 f x-2 w

5、f -1 |又f x在：，*单调递减 一1 x 21.1 x”中不能输入A 1000排除A、B又要求n为偶数，且n初始值为0,“”中n依次加2可保证其为偶故选D9.已知曲线C : y二COSX ,f2n）C2 : y =sin 2x - ，则下面结论正确的是（）3丿A .把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 C2B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的个单位长度，得到曲线 C2C. 把G上各点的横坐标缩短到原来的个单位长度，得到曲线 C22倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移n121倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移才D .把G上各点

6、的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移n12个单位长度，得到曲线 C2【答案】D【解析】G： y=cosx , C2：y=s in 2x+N yIn 2 22x . 3yxl n2 =zl n5x ln5 5则z In 22.2x : 5z . 3y ：:2x ：5z，故选 D12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣， 他们推出了 “解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的 答案：已知数列 1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 8, 1, 2, 4, 8, 16 ,，其中第一项是 2, 接下来

7、的两项是2, 21，在接下来的三项式 2，21, 22，依次类推，求满足如下条件 的最小整数N : N 100且该数列的前N项和为2的整数幕那么该款软件的激活码是( )A. 440B. 330C. 220D. 110【答案】A【解析】设首项为第1组，接下来两项为第 2组，再接下来三项为第 3组，以此类推.设第n组的项数为n，则n组的项数和为n 1 n2由题，N 100，令 叮一-100 t n 14且n N*，即N出现在第13组之后2第n组的和为1-2n1-2n组总共的和为2 1 -2nn =212-2 - nn f 1 + n 若要使前N项和为2的整数幕，则 N项的和21应与-2 - n互为

8、相反2数即 2k -1 =2 n k N* , n 14 k =log2 n 3t n =29, k =5291 295 =44013.共20分。_b1 =1，贝U a+2b =故选A填空题：本题共4小题，每小题，5分, 已知向量a , b的夹角为60, a=2 ,【答案】2 3【解析】爲)22 +2宵cos60+(2lb )二222 2 2 1 222=44 4 =12 a谒=抠=2乔x 2y叮14.设x , y满足约束条件*2x+yKd，则z = 3x_2y的最小值为 x -y _0【答案】-5x 2y 乞1不等式组 2x y _ -1表示的平面区域如图所示x y _0由 z =3x -2

9、y 得 y =? x - Z，2 2求z的最小值，即求直线 y =3x的纵截距的最大值2 2当直线y=3x-过图中点A时，纵截距最大2 22x 亠 y - -1由解得A点坐标为（-1,1），此时z=3 （T）-2 1 =-5x +2 y =12 215.已知双曲线C:务-每，（a 0，b 0 ）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A， a b圆A与双曲线C的一条渐近线交于 M , N两点，若 MAN =60，则C的离心率为【答案】凸3【解析】如图,3 . MAN =60 ,. AP,2APtan n0P&2一216.如图，圆形纸片的圆心为 0,半径为D、E、F为元0上的点，ADBC , 的等

10、腰三角形，沿虚线剪开后，分别以解得 a2 =3b2a-lb5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC的中心为0 , ECA, FAB分别是一 BC , CA , AB为底边 BC , CA , AB 为折痕折起 DBC , ECA ,（单位:cm3）的最大值为 FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥当 ABC的边长变化时，所得三棱锥体 积2311【答案】【解析】4 .15由题，连接 0D，交BC与点G，由题，0D _ BC0G 3BC ,即卩0G的长度与BC的长度或成正比 6设 0G =x，贝V BC =2 3x， DG =5 -x三棱锥的高 h= DG2 -0G2 = 25 -10x x2 -x

11、 = 25-10xSaabc =2，：；3 3x3“3x则 V =Saabc h = 3x? .25T0x = 3 25x -10x5令 f x j=25x4_10x5 ,5x（o,2），f x i=100x _50x4令 f x 0，即 x4 - 2x3 : 0 , x ：: 1(2)由(1)得 sin BsinC, cosBcosC =- 6/ A B C 二 n cos A = cos n -B C 二-cos B C 二 sin又A i 0, n3 1二 A =60 , sin A =,cosA= 22由余弦定理得a2二b2 c2 -be =9aa由正弦定理得bsinB , csinC

12、si nAsi nA则 f x w f 2 =80则 V w ,3.80=45 体积最大值为4 15 cm322三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。a217. ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c ,已知 ABC的面积为一3sin A（1）求 sin Bsin C ；（2）若 6cosBcosC =1， a =3，求 ABC 的周长.【解析】 本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用(1) / ABC 面积 S2a

13、3sinA且 S JbcsinA22a3sin ABsin CcosBcosC1 bcsin A2232由正弦定理得sin A计Bgn A ,2 由 sin A = 0 得 sin BsinC32a/. be 2 sin BsinC =8sin A由得b 33a u b c =3 亠；33，即 ABC 周长为 3 -.-.33且.BAP =. CDP 二 90 .18.(12分)如图，在四棱锥(1)(2)【解析】AB _平面PADO -xyz证明：平面 PAB _平面PAD ;若 PA =PD =AB =DC , . APD =90，求二面角(1)证明：T ZBAP /CDP =90 PA _

14、AB - PD _CD又 I AB II CD , PD _ AB又 PD DPA =P - PD、PA 二平面 PAD AB _平面 PAD，又 AB二平面 PAB 平面 PAB _平面PAD(2)取AD中点O - BC中点E，连接PO - OE/ AB 上 CD四边形ABCD为平行四边形 OE * AB由(1)知， OE _ 平面 PAD，又 PO、AD 平面 PAD OE _PO - OE _ AD又 PA 二 PD - PO _ AD PO、OE、AD两两垂直以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系设 PA=2， D - 2 ,0,0、B 2 ,2,0、P 0,0,2、C -.2,

15、2,0 - PD - - 2,0 , - 2、PB =卜：；2 ,2, - 2、BC - -2 2 ,0,0设n = x , y , z为平面PBC的法向量,n PB =0 ,口 2x 2yf 2z=0由，得一n BC =0-2 2x =0令y=1，则z=2 - x=0，可得平面 PBC的一个法向量 n =0,1 -2 /APD =90 , PD _ PA又知AB _平面PAD - PD ：_平面PAD PD _ AB，又 PAP! AB =A PD _ 平面 PAB即pd是平面PAB的一个法向量， PD =；2 ,02 cos PD ,J3汗-2 J3 一 3T 4PD n-2TPD由图知二

16、面角A-PB-C为钝角，所以它的余弦值为3319.( 12 分)为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程，实验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm ).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N，二2 .(1) 假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在-3匚二 之外的零件数，求 P X 1及x的数学期望；(2) 一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在-3匚， 3二之外的零件，就认为这 条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.(I)试说明上述监控生产过程方法的合理性：(II )下面是检验员在

17、一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 1 0.1 29.969.9 610.01 9.929.9 8 1 0.0410.26 9.91 1 0. 1 310.02 9.22 10.04 10.05 9. 9 516 I j/Xi -x 216:-0.212，其中 Xi 为s =:-,.16 i4i =1, 2，山，16 .经计算得：X =9.97,抽取的第i个零件的尺寸，用样本平均数x作为的估计值?，用样本标准差s作为；的估计值诅，利用估计 值判断是否需对当天的生产过程进行检查，剔除,申3?之外的数据，用剩下的数据估计和匚(精确到0.01).附：若随机变量 Z服从正态分布 N(A,b2),则

18、P(4概CZ 4+3)=0.997 4 .0.997 416 ： 0.9592 ,0.0080.09 【解析】(1)由题可知尺寸落在丄-3二,J 之内的概率为0.9974,落在I二一3二，3二 之外的概率为0.0026.0 0 16P X =0 i=G6 1 -0.9974 0.9974： 0.9592P X _1 讦1 - P X =01 -0.9592 =0.0408由题可知X B 16 , 0.0026.E X =16 0.0026 =0.0416(2)( i )尺寸落在-3二，亠3二 之外的概率为0.0026,由正态分布知尺寸落在-3二，二之外为小概率事件，因此上述监控生产过程的方法合

19、理.(ii )-3；=9.97 -3 0.212 =9.334二3；-9.97 3 0.212 =10.606汙-3二，3；二 9.334 , 10.606：9.22f 9.334 ,10.606 ,.需对当天的生产过程检查.因此剔除9.229 97x169 22剔除数据之后：.二二 16一9.22 =10.02 .152 2 2 2 2 2匚 二9.9510.0210.12 10.029.96 10.029.96 10.0210.01 10.022 2 2 2 29.9210.029.98 10.0210.04 10.0210.26 10.029.91 10.022 2 2 2 210.13

20、10.02 I 亠10.02 10.02 I 亠10.04 10.02亠10.0510.02 亠9.95 10.02 丄15bA0）,四点 P（1, 1 ）, P2（0, 1 ）, P3. 1, a bI中恰有三点在椭圆C 上.厲1,I 2丿(1) 求C的方程；(2) 设直线I不经过P2点且与C相交于A、B两点，若直线 巳A与直线P2B的斜率的 和为-1，证明：I过定点.【解析】(1 )根据椭圆对称性，必过 P3、R又P4横坐标为1，椭圆必不过P，所以过P2，巳，巳三点 (将 P2 0 , 1 , P3 -1,代入椭圆方程得1厂13 ，解得丄+2=1、a2 b22X7 y（2）当斜率不存在时，设 k . k _ yA - V _yA _1 kp2A kp2B -椭圆C的方程为:l：x=m, A m, y , B m, - y_21m mm得m=2，此时I过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足.当斜率存在时，设l