第5章 有源滤波电路

1、1 5.1 滤波器的功能及分类滤波器的功能及分类 5.3 一阶滤波器一阶滤波器 5.4 二阶滤波器二阶滤波器 5.2 滤波器的数学描述滤波器的数学描述 2 5.1 滤波器的功能及分类滤波器的功能及分类 滤波器的功能是允许某一部分频率的信号顺利地通过，而滤波器的功能是允许某一部分频率的信号顺利地通过，而 另外一部分频率的信号则受到较大的抑制，它实质上是一个选另外一部分频率的信号则受到较大的抑制，它实质上是一个选 频电路。频电路。 通频带或通带通频带或通带 信号能够通过的频率范围信号能够通过的频率范围。 阻带阻带信号受到很大衰减或完全被抑制的频率范围。信号受到很大衰减或完全被抑制的频率范围。 截止

2、频率截止频率 通通带和阻带之间的分界频率。带和阻带之间的分界频率。 3 高通滤波器（高通滤波器（HPF） 低通滤波器（低通滤波器（LPF） 带阻滤波器（带阻滤波器（BEF） 带通滤波器（带通滤波器（BPF） 根据滤波器电路的工作频带根据滤波器电路的工作频带 ,可分为可分为: 全通滤波器全通滤波器 （ APF） 4 滤波器的用途很广泛。原则上讲， 低通滤波器（低通滤波器（LPF）主要用于信号为低频，需要削弱高次谐波 或高频干扰和噪声的场合； 高通滤波器（高通滤波器（HPF）主要用于信号为高频，需要削弱低频(或直 流分量)的场合； 带通滤波器（带通滤波器（BPF）主要用来突出有用频段的信号，削弱此

3、频 段以外的信号或干扰及噪声，从而提高信噪比； 带阻滤波器（带阻滤波器（BEF）主要用于抑制特定频率范围内的干扰。 全通滤波器（全通滤波器（ APF）用于相位均衡，即校正相频特性或时延。 按组成元件分类，滤波器可以分为无源滤波器无源滤波器和有源滤波器有源滤波器。 无源滤波器电路仅由无源元件（电阻、电容、电感）组成，如： 电源滤波器。 有源滤波器由无源元件无源元件和有源元件有源元件（双极型管、单极型管、集成 运放）组成， 如：有源RC，开关电容滤波器等。 end 5 5.2 滤波器的数学描述滤波器的数学描述 5.2.2 滤波器的稳态频率响应滤波器的稳态频率响应 5.2.1 滤波器的传递函数滤波器

4、的传递函数 6 5.2.1 滤波器的传递函数滤波器的传递函数 滤波电路是一个包含电抗元件的二端网络，反映滤波器特性的 是传递函数传递函数。 传递函数传递函数定义为电抗元件零初始值条件下输出量的拉氏变换与 输入量的拉氏变换之比。 01 01 ( )( ) ( ) ( )( ) n on V m im V sbbsb sp s A s V sq saa sa s 分母多项式中分母多项式中s的最高阶次定义为滤波器电路的阶数。的最高阶次定义为滤波器电路的阶数。 n和m是正整数 , ii nm a b是实数 sj复频率 ( )0q s 根称为极点 ( )0p s 根称为零点 零点为：-2和-4 极点为：

5、0、3j和-5 22 (2)(4) ( ) (9)(5) v ss A s s ss 例： 7 根据电路理论，传递函数具有下述特性： 极点在极点在s平面上的位置将决定响应的变化趋势，而零点的位平面上的位置将决定响应的变化趋势，而零点的位 置只影响响应的幅度和相位。置只影响响应的幅度和相位。 极点在极点在 左半平面，衰减振荡 虚轴，等幅震荡 右半平面，增幅振荡 干扰引起的响应必须随着 时间的流逝而消失为0。 一个稳定的电路系统，其传递函数的极点分布应该在右半平面 不能有极点，位于虚轴的极点必须是单阶的。 end 22 (2)(4) ( ) (9)(5) v ss A s s ss 例： 8 5.

6、2.2 滤波器的稳态频率响应滤波器的稳态频率响应 ( )1/1 ( ) ( )1/1 o V i V ssC As V sRsCsRC 2sjjf令： 1 () 1 V c Ajf f j f 幅值响应：幅值响应： 2 1 ()20lg 1 () v c Ajf f f 相位响应：相位响应： arctan c f f 1 2 c f RC 9 幅频响应是幅频响应是0dB的水平直线，的水平直线， 而相频响应则是而相频响应则是0的水平直线。的水平直线。 : c ff 2 1 ()20lg0 1 () v c Ajf f f 0 c arctan0 f f : c ff 2 1 ()20lg20lg

7、 1 () v c c f Ajf ff f 0 arctan90 c f f 幅频响应是一条具有幅频响应是一条具有-20dB/10 倍频衰减斜率的直线，而相频响应倍频衰减斜率的直线，而相频响应 则是则是-90的直线。的直线。 电路是电路是无源低通滤波器无源低通滤波器。 10 c ff当时， 0 arctan45 c f f 1 2 c f RC 截止频率 当输出端连接负载电阻RL时， 截止频率修正为 1 2 (/) c L f RR C 截止频率 所以，无源滤波器简单可靠，但频率特性受负载影响。 2 11 ()20lg20lg3 2 1 () v c AjfdB f f 11 特征频率：特征

8、频率： 同相比例放大倍数：同相比例放大倍数： 传递函数：传递函数： 2 0 1 1 R A R 1 2 c f RC 5.3 (有源有源)一阶滤波器一阶滤波器 02 1 A1 ( )(1)= 1 1+ ooP V iPi c VV VR A s s VV VRsRC 同相端电位为同相端电位为: : 1 1 ( )( ) 1 1 Pii sC VV sV s sRC R sC 2sjjf令令 ： 20 ()1 20lg20lg 1 () v c Ajf Af f （归一化幅频响应）（归一化幅频响应） f/fc 12 有源低通滤波器的优点是同相放大电路的输出电阻为零有源低通滤波器的优点是同相放大电

9、路的输出电阻为零;对负载对负载 有隔离作用，从而保证滤波器的频率特性不会随负载变化。而无源有隔离作用，从而保证滤波器的频率特性不会随负载变化。而无源 RC滤波器的通带增益及其截止频率都随负载而变化。滤波器的通带增益及其截止频率都随负载而变化。 思考：思考： 如何构成一阶有源高通滤波器电路？其传递函数、 幅频响应和相位响应是什么？ 提示：对滤波元件进行对偶变换 RC C R 低通高通 RC C R 高通低通 end 13 5.4 二阶滤波器二阶滤波器 5.4.1 二阶低通滤波器二阶低通滤波器 5.4.2 二阶高通滤波器二阶高通滤波器 5.4.3 二阶带通滤波器二阶带通滤波器 5.4.3 二阶带阻

10、滤波器二阶带阻滤波器 14 5.4.1 二阶低通滤波器二阶低通滤波器 考虑到运放输入端的虚短和虚断，电路的节点电压方程为 21111 ()()0 APoiAP sC VVsCVVVsC V RRRRR 2 0 1 (1) oPP R VVAV R 解得传递函数：解得传递函数： 1 c RC 其中其中,令特征角频率令特征角频率 2 0 1 1 R A R 通带增益：通带增益： 2 0 1 11 3 2 Q R A R 品质因数品质因数: 电路稳定条件： 2 1 20 R R 2 1 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 (2)() o V i R V sR A s R V s sCRsCR

11、 R 2 0 22 ( ) c V c c A A s ss Q 设 2 1 20 R R 当时，极点位于右半平面，当时，极点位于右半平面， 电路将发生电路将发生自激自激振荡振荡。 15 ,sj令得归一化幅频响应： 2 220 ()1 20lg20lg 1 () () V cc Aj A Q c ： 0 () 20lg0 V Aj A c ： 0 () 20lg40lg V c Aj A c ： 0 () 20lg20lg V Aj Q A Q=1/ 2 最平坦响应 2 0 22 ( ) c V c c A A s ss Q end 16 5.4.2 二阶高通滤波器二阶高通滤波器 可解得传递函

12、数：可解得传递函数： 1 c RC 特征角频率特征角频率: 2 0 1 1 R A R 通带增益通带增益: 2 0 1 11 3 2 Q R A R 品质因数：品质因数： 2 0 22 ( ) V c c A s As ss Q 考虑到运放输入端的虚短和虚断，电路的节点电压方程为 111 (2)()0 APoiAP sC VsCVVsCVsCVsC V RRR 2 0 1 (1) oPP R VVAV R 电路稳定条件： 2 1 20 R R 17 ,sj令得归一化幅频响应： c ： 0 () 20lg0 V Aj A c ： 0 () 20lg40lg V c Aj A c ： 0 () 2

13、0lg20lg V Aj Q A Q=1/ 2 最平坦响应 2 0 22 ( ) V c c A s A s ss Q end 2 220 ()1 20lg20lg 1 () () V cc Aj A Q 18 5.4.3 二阶带通滤波器二阶带通滤波器 12cc ff 电路的节点电压方程为 211 (2) 1 ()0 APoi AP sC VsCVVV RRR sCVsC V R 2 1 (1) oP R VV R 解得传递函数：解得传递函数： 0 0 2 00 ( ) 1() V s A Q A s ss Q 0 1 RC 特征角频率：特征角频率： 通带增益：通带增益： 21 0 21 1/

14、 2/ RR A RR 品质因数：品质因数： 0 2121 1 2/1/ A Q RRRR 2 1 20 R R 要求 低通 高通 带通 低通滤波电路的幅频响应乘以高通低通滤波电路的幅频响应乘以高通 滤波电路的幅频响应。滤波电路的幅频响应。 19 0 0 2 00 ( ) 1() V s A Q A s ss Q 220 0 0 ()1 20lg20lg 1() V Aj A Q ,sj令得归一化幅频响应： 0 () 2 BPF2 V A Aj令：， 求的 个截止角频率。 22 00 0 () 22 L QQ 22 00 0 () 22 H QQ 00 2 HL f BW QQ end 20

15、5.4.4 二阶带阻滤波器二阶带阻滤波器 电路的节点电压方程为 12 (2) 211 (2) 11 ()0 APoi BPi ABP sC VsCVVsCV RR sC VVV RRR sCVVsC V RR 解得解得传递函数传递函数： 2 1 (1) oP R VV R 2 0 0 2 00 1 () ( ) 1() V s A A s ss Q 特征角频率特征角频率 0 1 RC 通带增益通带增益 品质因数品质因数 2 0 1 1 R A R 0 1 2(2) Q A 0 20A要求 12cc ff 低通 高通 低通滤波电路的幅频响应与高通滤低通滤波电路的幅频响应与高通滤 波电路的幅频响应

16、相加。波电路的幅频响应相加。 21 2 0 0 2 00 1 () ( ) 1() V s A A s ss Q 2,sjf令得归一化幅频响应： 2 0 2 220 00 1 () () 20lg20lg 1 1 () () V f fAjf Aff fQf 0 () 2 2 V A Ajf令：， 求带阻滤波器的 个止角频率。 2 000 (2)1(2) L fAAf 2 000 (2)1(2) H fAAf 0 2100 2(2) pp f BWffAf Q 阻带宽度： end 22 *5.5 滤波器设计滤波器设计(略略) 5.5.1 频率变换频率变换 5.5.3 巴特沃斯滤波器设计示例巴特

17、沃斯滤波器设计示例 5.5.2 巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器 23 5.5 滤波器设计滤波器设计 滤波器的设计流程：滤波器的设计流程： 由传递函数设计滤波电路称为电路综合电路综合。 滤波器设计滤波器设计：由滤波器的特性指标，设计滤波电路。 传递函数设计电路设计 传递函数设计：逼近和优化方面的数学问题。 有源滤波器的电路综合较简单：一阶和二阶有源滤波器的级联。 低通原型滤波器低通原型滤波器：截止频率为1、通带增益为1的低通滤波器。 24 5.5.1 频率变换频率变换 频率变换：是指其他各种类型的滤波器与低通滤波器的频率自频率变换：是指其他各种类型的滤波器与低通滤波器的频率自 变量之间的变换关系。

18、变量之间的变换关系。 25 示例：一阶低通滤波器的传递函数转换为一阶高通滤波器。示例：一阶低通滤波器的传递函数转换为一阶高通滤波器。 0 ( ) ( ) ( ) 1 o V i cL V sA A s s V s cL s S 0 ( ) ( ) ( )1 o V i V sA A s V sS cH S s 0 ( ) ( ) ( ) o V icH V sA s As V ss 频率归一化 低通滤波器 传递函数 低通原型滤波器 传递函数 频率变换 高通滤波器 传递函数 end 26 巴特沃斯滤波器的 特点是幅频响应随 频率单调变化，没 有纹波（起伏） 传递函数逼近类型 第二类切比雪夫滤波器

19、第二类切比雪夫滤波器椭圆函数滤波器椭圆函数滤波器 巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器第一类切比雪夫滤波器第一类切比雪夫滤波器 5.5.2 巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器 27 n阶巴特沃斯低通原型滤波器传递函数的逼近表达式为阶巴特沃斯低通原型滤波器传递函数的逼近表达式为 2 1 ( ) 1 ( ) V n A S S j 2 1 20l20lg 1 V N A f n阶巴特沃斯低通滤 波器的高频衰减为 20n dB/十倍频， 随频率单调变化。 幅频响应为：令,2 fjS 低通截止角频率 归一化复频率 c c s S 28 2 2 1 ( ) 1 ( ) V n A S S j 2 1 ( ) 1 (

20、) V n A S S j 1121 222 ( 1)0,1,2,2n1 k j nn k pjek 极点为： 巴特沃斯低通原型滤波器的传递函数为巴特沃斯低通原型滤波器的传递函数为: 1 0 1 1 ( ) () 1 1 vN k k N A S Sp a SS 是左半平面的是左半平面的n个极点。个极点。 k p 29 30 end 31 5.5.3 巴特沃斯滤波器设计示例巴特沃斯滤波器设计示例 设计一个巴特沃斯低通滤波器，其技术指标为：设计一个巴特沃斯低通滤波器，其技术指标为： 1. 通带截止频率：通带截止频率： 2. 阻带截止频率：阻带截止频率： 3. 通带最大衰减率通带最大衰减率 ： 4

21、. 阻带最小衰减率：阻带最小衰减率： 5 p fkHz 12 s fkHz 2dB 30dB 32 1. 确定滤波器的阶数：确定滤波器的阶数： 在通带截止频率处，滤波器的幅频响应应为在通带截止频率处，滤波器的幅频响应应为-2dB 2 1 20lg2 5 1() N c f 在阻带截止频率处，滤波器的幅频响应应为在阻带截止频率处，滤波器的幅频响应应为-30dB 2N c 1 20lg30 12 1+() f 4.25N 5.28 c fkHz25.28 c kHz 选择选择N=5。 33 2. 查表确定传递函数：查表确定传递函数： 选择选择N=5，低通原型的传递函数：，低通原型的传递函数： 令令 ) 161803. 1)(161803. 0)(1( 1 )( 22 SSSSS SA V c s S 低通滤波器的传递函数：低通滤波器的传递函数： ) 161803. 1)(161803. 0)(1( )( 2 2 2 2 0 ccccc V sssss A sA 34 3. 电路综合：电路综合： 5阶巴特沃