矩阵的初等变换与线性方程组的求解

1、矩阵的初等变换与线性方程组的求解矩阵的初等变换与线性方程组的求解 高斯消去法高斯消去法 在本部分，我们将对中学所接触过的消元法求 解线性方程组的过程用矩阵的初等变换来表示，并 且对方程组的解的情况给出相应的判断标准。 1. 1.线性方程组的矩阵形式表示线性方程组的矩阵形式表示 mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa . . . . 2211 22222121 11212111 引入如下三个矩阵引入如下三个矩阵 mnmm n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 ., 2 1 2 1 mn b b b b x x x X 利用矩阵的乘法利

2、用矩阵的乘法,线性方程组可以写成如下的线性方程组可以写成如下的 矩阵形式：矩阵形式： AX=b 定义定义解向量与解集合解向量与解集合 方程组的一组解称为方程组的一个方程组的一组解称为方程组的一个解向量解向量，所，所 有解向量的全体构成的集合称为方程组的有解向量的全体构成的集合称为方程组的解集合解集合(解解 集集) 定义定义方程组相容方程组相容 方程组有解，我们称这个方程组是相容的，方程组有解，我们称这个方程组是相容的，否则，否则， 称之为不相容的。称之为不相容的。 定义定义增广矩阵增广矩阵 bAB 定义定义 齐次方程组齐次方程组 AX = 0; 定义定义 非齐次方程组非齐次方程组 AX = b

3、, b 0 (b中至少有一分量不为零中至少有一分量不为零) 2 2消元法与矩阵的初等变换消元法与矩阵的初等变换 对于如上所示的最一般形式的线性方程组：对于如上所示的最一般形式的线性方程组： mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 在初等数学中，常常用在初等数学中，常常用消元法消元法求解。消元法的基本思想是求解。消元法的基本思想是 通过消元变形把已知方程组化成容易求解的通过消元变形把已知方程组化成容易求解的同解方程组同解方程组。在解在解 未知数较多的方程组时，需要使消元法步骤规范而又简便。未知数较多的方程组时，需要使

4、消元法步骤规范而又简便。 问题问题 方程组何时有解方程组何时有解？ 若有解，有多少解？如何求出其全部解若有解，有多少解？如何求出其全部解？ 3 523 134 4452 321 321 321 321 xxx xxx xxx xxx 1 x 4452 523 134 3 321 321 321 321 xxx xxx xxx xxx 例例1 解线性方程组解线性方程组 解解 第一步第一步 使第一个方程中使第一个方程中 的系数为的系数为1 与第四个方程的位置，与第四个方程的位置， 交换第一个方程交换第一个方程 可得可得 第二步第二步 把第一个方程以下的各方程中的把第一个方程以下的各方程中的 消去第

5、二个方程消去第二个方程 减去第一个方程减去第一个方程 , 第三个方程减去第一个方程第三个方程减去第一个方程 ，第四个方程减，第四个方程减 去第二个方程的倍，可得去第二个方程的倍，可得 1 x 2 2 2 3 2 3 2 3 4 3 3 3 3 3 2 2 2 21 x x x x x x x xx 第三步第三步 使第二方程中的系数为使第二方程中的系数为1第二个方程加上第三方程第二个方程加上第三方程 后再乘以（后再乘以（1），可得），可得 2 2 0 3 2 3 3 4 3 3 3 3 2 2 2 21 x x x x x x x xx 4452 523 134 3 321 321 321 32

6、1 xxx xxx xxx xxx 第四步第四步 把第二个方程以下的方程中的把第二个方程以下的方程中的 都消去第三都消去第三 个方程加上第二个方程的个方程加上第二个方程的4倍，第四个方程减去第二个方程倍，第四个方程减去第二个方程 的的3倍，可得倍，可得 2 x 2 2 0 3 3 3 32 321 x x xx xxx 第五步第五步 把第三个方程以下的方程中的把第三个方程以下的方程中的 消去第四消去第四 个方程加上第三个方程，可得个方程加上第三个方程，可得 3 x 00 2 0 3 3 32 321 x xx xxx (2.4) 2 2 0 3 2 3 3 4 3 3 3 3 2 2 2 21

7、 x x x x x x x xx 第六步第六步 用用“回代回代”方法求解经第五步后得到的方程组方法求解经第五步后得到的方程组(2.4) 与原方程组等价由方程组与原方程组等价由方程组(2.4)的第三个方程得的第三个方程得 ，代入，代入 第二个方程得第二个方程得 ；再把；再把 代入第一个方代入第一个方 程可得程可得 于是，于是， 2 2 x 2, 2 23 xx 3 1 x 00 2 0 3 3 32 321 x xx xxx 方程组的解为方程组的解为 . 2 2 3 3 2 1 x x x 2 3 x 类似上面形式的方程组称为类似上面形式的方程组称为阶梯形方程组阶梯形方程组 一般地，一个一般地

8、，一个阶梯形线性方程组阶梯形线性方程组应该应该满足满足如下如下两个条件：两个条件： （1 1）如果方程组中某一方程的各项系数全为零，那么如果方程组中某一方程的各项系数全为零，那么 它下方的所有方程（如果存在）的各项系数全为零；它下方的所有方程（如果存在）的各项系数全为零； （2 2）如果方程组中某一方程中至少有一项的系数不为如果方程组中某一方程中至少有一项的系数不为 零，设第一个系数不为零的项是第零，设第一个系数不为零的项是第 项，那么此方程下项，那么此方程下 方的所有方程（如果存在）的前方的所有方程（如果存在）的前 项的系数全为零项的系数全为零 例如线性方程组例如线性方程组 i 0 3 6

9、0 3 2 2 4 4 3 21 x x x xx 3 10 2 0 5 3 21 x xx 与与 i 上述的消元过程中，我们对线性方程组施行了上述的消元过程中，我们对线性方程组施行了 下列下列三种变换：三种变换： （1） 交换两个方程的位置；交换两个方程的位置； （2） 以非零数以非零数 k 乘一个方程；乘一个方程； （3） 把某一个方程的把某一个方程的 k 倍加到另一个方程上倍加到另一个方程上 这三种变换称为线性方程组的这三种变换称为线性方程组的初等变换初等变换 任意线性方程组任意线性方程组 若干次初等变换若干次初等变换阶梯方程组阶梯方程组 GaussGauss消元法：消元法： 原方程组原

10、方程组阶梯方程组阶梯方程组 回代回代 得解得解 在例在例1的消元过程中，我们对方程组进行的初等变换的消元过程中，我们对方程组进行的初等变换 实际上只对方程组中未知量的系数与常数项进行运算，未实际上只对方程组中未知量的系数与常数项进行运算，未 知量并未参与运算因而知量并未参与运算因而对方程组施行的初等变换可以对方程组施行的初等变换可以 用相应的矩阵的变换来表示用相应的矩阵的变换来表示 回顾前面的方程组回顾前面的方程组 3111 5231 1341 4452 bAB 三、利用矩阵初等行变换解线性方程组三、利用矩阵初等行变换解线性方程组 3 523 134 4452 321 321 321 321

11、xxx xxx xxx xxx 原方程组原方程组 增广矩阵增广矩阵 44452 3523 2134 13 321 321 321 321 xxx xxx xxx xxx 1 x 使第一个方程中使第一个方程中 的系数为的系数为1 与第四个方程的位置与第四个方程的位置交换第一个方程交换第一个方程 4452 5231 1341 3111 1 B 使第一行第一个元素为使第一行第一个元素为1 1，交，交 换换 的第一行与第行的位置的第一行与第行的位置 B 第第 一一 步步 把把(1)(1)以下的各方程中的以下的各方程中的 消消 去去(2)-(1),(3)-(1),(4)-2(2)(2)-(1),(3)-

12、(1),(4)-2(2) 1 x 第第 二二 步步 2 2 2 3 2 3 2 3 4 3 3 3 3 3 2 2 2 21 x x x x x x x xx 2230 2340 2230 3111 2 B 在在 中，第二行减去第一行，中，第二行减去第一行， 第三行减去第一行，第四行第三行减去第一行，第四行 减去第一行的减去第一行的2倍倍 1 B 使第二方程中的系数为使第二方程中的系数为1第二个第二个 方程加上第三方程后再乘（方程加上第三方程后再乘（1） 2 2 0 3 2 3 3 4 3 3 3 3 2 2 2 21 x x x x x x x xx 第第 三三 步步 在在 中，使第二行第一

13、元素为中，使第二行第一元素为1 1， 第二行加上第三行后再乘以（第二行加上第三行后再乘以（ ） 2 B 1 2230 2340 0110 3111 3 B 把第二个方程以下的方程中把第二个方程以下的方程中 的的 都消去第三个方程加上都消去第三个方程加上 第二个方程的第二个方程的4倍，第四个方程倍，第四个方程 减去第二个方程的减去第二个方程的3倍倍 2 x 第第 四四 步步 2 2 0 3 3 3 32 321 x x xx xxx 在在 中，第三行加上第二行的中，第三行加上第二行的4倍，倍， 第四行减去第二行的第四行减去第二行的3倍倍 3 B 2100 2100 0110 3111 4 B 把

14、第三个方程以下的方程中的把第三个方程以下的方程中的 消去第四个方程加上第三个方消去第四个方程加上第三个方 程程 3 x 00 2 0 3 3 32 321 x xx xxx 在在 中，第四行加上第三行中，第四行加上第三行 4 B 第第 五五 步步 第六步第六步 用用“回代回代”方法求方法求 解解 00 2 0 3 3 32 321 x xx xxx 0000 2100 0110 3111 5 B 阶梯形方程组阶梯形方程组 行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 0000 2100 0110 3111 5 B （1 1）如果某一行元素全为零，那么它下方的所有行（如果存如果某一行元素全为零，那么它下方的所有行（

15、如果存 在在) ) 元素元素也全为零；也全为零； （2 2）某一行元素不全为零，并且第一个不为零的元素位某一行元素不全为零，并且第一个不为零的元素位 于第于第 列，那么它下方的所有行（如果存在）的前列，那么它下方的所有行（如果存在）的前 个元个元 素全为零素全为零 ii 0000 2100 0110 3111 5 B 行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 一般地，一个一般地，一个行阶梯行阶梯 形矩阵形矩阵应该满足以下应该满足以下 两个条件：两个条件： 00000 31200 63021 3000 10500 2011 0400 3500 2420 4321 ji,ji rr k ki i kr j ji

16、krr k k i 称为矩阵的初等行变换称为矩阵的初等行变换 (1) 交换两行的位置交换两行的位置(交换第交换第 两行两行,记作记作 ) (2) 以非零数以非零数 乘某一行（以乘某一行（以 乘第乘第 行行,记作记作 ）; (3) 把某一行的把某一行的 倍加到另一行上（把第倍加到另一行上（把第 行的行的 倍加到第倍加到第 行上，记作行上，记作 ） 例如例如 矩阵矩阵 与与 都是行阶梯形矩阵都是行阶梯形矩阵 不是行阶梯形矩阵不是行阶梯形矩阵 总结上述的矩阵变换过程，有以下三种变换：总结上述的矩阵变换过程，有以下三种变换： 利用矩阵的初等行变换解线性方程组的一般方法利用矩阵的初等行变换解线性方程组的

17、一般方法 原方原方 程组程组 增广增广 矩阵矩阵 对应方对应方 程组程组 行阶梯行阶梯 矩阵矩阵 回代回代 求解求解 任何线性方程组都可通过方程初等变换化为阶梯方程组任何线性方程组都可通过方程初等变换化为阶梯方程组 任何矩阵都可以通过矩阵初等变换化为阶梯形矩阵任何矩阵都可以通过矩阵初等变换化为阶梯形矩阵 所以：所以： 线性方程组可以通过其对应的增广矩阵来解线性方程组可以通过其对应的增广矩阵来解 例例2 解线性方程组解线性方程组 2 14 2 4 13 3 5 4 2 3 3 3 3 2 2 2 1 1 1 x x x x x x x x x 解解 对方程组的增广矩阵对方程组的增广矩阵 依次施行

18、下列初等行变换，使它依次施行下列初等行变换，使它 化为行阶梯形矩阵化为行阶梯形矩阵 B 2453 141341 2321 B 8510 121020 2321 12 13 3 rr rr 8510 6510 2321 2 2 r 2000 6510 2321 23 rr 这个矩阵的最后一行除最后一个元素不为零外其余元素这个矩阵的最后一行除最后一个元素不为零外其余元素 都为零，它对应一个矛盾方程都为零，它对应一个矛盾方程 2000 321 xxx 原方程组无解原方程组无解 8 1 1332 2 3 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 x x x x x x x x x x x x B

19、 81121 11113 133211 B 52130 3810520 133211 12 13 3rr rr 例例3 解方程组解方程组 解解 对方程组的增广矩阵对方程组的增广矩阵 依次施行下列初等行变换，使依次施行下列初等行变换，使 它化为行阶梯形矩阵它化为行阶梯形矩阵 52130 338410 133211 32 rr 104261300 338410 133211 23 3rr 82100 338410 133211 13 3 r 33 8 13 2 8 3 4 2 4 4 4 3 3 3 2 21 x x x x x x x xx ,28 43 xx 4 x 1 2 x 1 2 x 4

20、3 28xx 41 2xx 已是行阶梯形矩阵已是行阶梯形矩阵 从最后一个方程可得从最后一个方程可得 其中其中可取任意实数可取任意实数 代入第二个方程，得到代入第二个方程，得到 再把再把 代入第一个方程，得到代入第一个方程，得到 82100 338410 133211 最后一个矩阵最后一个矩阵 它对应的方程组是它对应的方程组是 43 28xx 把把 tx 4 t t t x x x x 28 1 2 4 3 2 1 令令 ，得方程组的解为，得方程组的解为 方程组有方程组有 无穷多个解无穷多个解 4 722 5 2 2 32 32 32 32 1 1 1 xx xx xx xx x x x B 例

21、例4 解线性方程组解线性方程组 解解 对方程组的增广矩阵对方程组的增广矩阵依次施行以下初等行变换，使依次施行以下初等行变换，使 它化为行阶梯形矩阵它化为行阶梯形矩阵 4112 7221 5111 2110 B 4112 7221 2110 5111 21 rr 6310 2110 2110 5111 13 14 2 rr rr 4200 0000 2110 5111 23 24 rr rr 0000 4200 2110 5111 43 rr 0000 2100 2110 5111 2 3 r 2 2 5 3 3 321 2 x x x x xx 它对应的方程组是它对应的方程组是 , 用回代方法

22、得原方程组的解用回代方法得原方程组的解 2 0 3 3 2 1 x x x 方程组有唯一解方程组有唯一解 0000 2100 2110 5111 最后一个矩阵最后一个矩阵 是行阶梯形矩阵是行阶梯形矩阵 方程组解的三种情况方程组解的三种情况: 无无 解解无穷多解无穷多解唯一解唯一解 2000 6510 2321 82100 338410 133211 0000 2100 2110 5111 出现了矛盾方程出现了矛盾方程 方程个数比未方程个数比未 知数的个数少知数的个数少 方程个数和未知方程个数和未知 数的个数一样多数的个数一样多 非零行个数比非零行个数比 未知数个数少未知数个数少 非零行个数和未

23、非零行个数和未 知数个数一样多知数个数一样多 生 活 中 应 保 持 一 份 幽 默 感 生 活 中 应 保 持 一 份 幽 默 感 生 活 中 应 保 持 一 份 幽 默 感 一般线性方程组的解也有：一般线性方程组的解也有：无解，无穷多解，唯一解无解，无穷多解，唯一解 三种不同情况三种不同情况 mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 12222121 11212111 (2.5) 对它的增广矩阵施行若干次初等行变换，使它化为对它的增广矩阵施行若干次初等行变换，使它化为 行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 (2.6) 000000 000000 00000 0

24、0 0 1 1 2212222 111111211 r rrnrrrr nrr nrr d dccc dcccc dccccc 设线性方程组设线性方程组 如何判断呢？如何判断呢？ 其中其中ricii, 2 , 1, 0 0 1 r d 根据方程求解的方法可得根据方程求解的方法可得 000000 000000 00000 00 0 1 1 2212222 111111211 r rrnrrrr nrr nrr d dccc dcccc dccccc 情形情形1 若若可得到矛盾方程可得到矛盾方程方程无解方程无解 方程有唯一解方程有唯一解 若若0 1 r d情形情形2非零行个数等于未知数个数非零行个

25、数等于未知数个数且且nr 0 1 r d情形情形3 若若非零行个数小于未知数个数非零行个数小于未知数个数 方程有无穷解方程有无穷解 且且nr 无穷解的情形，我们作一讨论无穷解的情形，我们作一讨论 nrn nn nn rrrrrrr rrrr rrrr xc xc xc xcdxc xcdxc xcdxc xc xcxc 2 1 11 11222 11111 222 212111 000000 000000 00000 00 0 1 1 2212222 111111211 r rrnrrrr nrr nrr d dccc dcccc dccccc 阶梯矩阵阶梯矩阵 0 1 r d若若且且nr 对

26、应的方程组为对应的方程组为 未知量未知量 nrr xxx, 21 任取一组值，例如任取一组值，例如 nnrrrr kxkxkx , 2211 可得未知量可得未知量 , 21 xx r x, 确定的一确定的一 组值组值 r kkk, 21 于是于是 n r r n r r k k k k x x x x 1 1 1 1 为方程组的一个解为方程组的一个解 nrr xxx, 21 由未知量由未知量 取值的任意性，线性方程组取值的任意性，线性方程组 nrr xxx, 21 未知量未知量可以自由可以自由取值，取值，所以称为 所以称为自由未知量自由未知量 的取值的取值 有无穷多个解有无穷多个解 , 21

27、xx r x, nrr xxx, 21 的值依赖于的值依赖于未知量未知量 rn 自由未知量的个数为自由未知量的个数为 未知量的个数未知量的个数非零行的个数非零行的个数 0 0 0 2211 2222121 1212111 nmnmm nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa 0 0 0 2 1 n x x x 总是它的解（称为方程组的总是它的解（称为方程组的零解零解） 由于由于 故齐次线性方程组总是相容的故齐次线性方程组总是相容的 根据前面的讨论，对于齐次线性方程组解的情况可得如下定理根据前面的讨论，对于齐次线性方程组解的情况可得如下定理 对齐次方程组对齐次方程组 定理定理 对齐次

28、线性方程组的系数矩阵施行有限次初等行变换，对齐次线性方程组的系数矩阵施行有限次初等行变换， 使它化为行阶梯形矩阵那么使它化为行阶梯形矩阵那么 (1) 只有零解只有零解 非零行的行数等于方程组未知量的个数；非零行的行数等于方程组未知量的个数； (2) 有非零解有非零解 非零行的行数小于未知量的个数非零行的行数小于未知量的个数 034 0222 022 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 求求解解齐齐次次线线性性方方程程组组例例 3411 2212 1221 0000 4630 1221 23 rr 等等变变换换对对系系数数矩矩阵阵施施行行初初解解： 4630 4630 1

29、221 13 12 2 rr rr 0000 3 4 210 1221 2 3 1 r 0000 3 4 210 3 5 201 21 2 rr 从而原方程与下列方程组同解从而原方程与下列方程组同解 0 3 4 2 0 3 5 2 432 431 xxx xxx Rkk kx kx kkx kkx 21 24 13 212 211 , 3 4 2 3 5 2 为阶梯形矩阵为阶梯形矩阵 解得解得 方程最后求解回代的过程可以通过如下的方法来实现：方程最后求解回代的过程可以通过如下的方法来实现： 看前面的例题看前面的例题 对最后的行阶梯矩阵继续进行矩阵的初等变换对最后的行阶梯矩阵继续进行矩阵的初等变

30、换 0000 2100 2110 5111 0000 2100 0010 3001 21 rr 2 0 3 3 2 1 x x x 0000 2100 0010 3011 32 31 rr rr 于是，由最后于是，由最后 一个矩阵直接一个矩阵直接 写出原方程组写出原方程组 的解的解 行最简矩阵行最简矩阵 （1）非零行（元素不全为零的行）的第一非零元素都是）非零行（元素不全为零的行）的第一非零元素都是1； （2）非零行的第一个非零元素所在列的其余元素全为零）非零行的第一个非零元素所在列的其余元素全为零 一般地，一个一般地，一个行最简形矩阵行最简形矩阵是满足下列两个条件的行阶梯形是满足下列两个条件

31、的行阶梯形 矩阵：矩阵： 这个方法称为线性方程组的高斯一若当这个方法称为线性方程组的高斯一若当（Gauss -Jordan） 消元法消元法，它是一种改进了的高斯消元法，它是一种改进了的高斯消元法 任意矩阵任意矩阵行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 从左至右，从上至下从左至右，从上至下 从右至左，从下至上从右至左，从下至上 行最简形矩阵行最简形矩阵 解线性方程组的最终一般步骤解线性方程组的最终一般步骤 原方原方 程组程组 增广增广 矩阵矩阵 判断解判断解 的情况的情况 行阶梯行阶梯 矩阵矩阵 化最化最 简形简形 停止停止 有解有解 无解无解 例例5 解线性方程组解线性方程组 2 1 3 3 3 3 2 2

32、 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 3 2 2 2 4 4 2 2 x x x x x x x x x x x x 2 1 134 1224 2202 1022 1220 B 1268 1224 2202 1220 1022 21 5 2 rr r 3220 3220 3220 1220 1022 14 13 15 2 4 rr rr rr 2400 2400 2400 1220 1022 24 23 25 rr rr rr 1 0000 0000 2400 1220 1022 34 35 B rr rr 解解 对增广矩阵对增广矩阵B施行初等行变换，使它化为行阶梯形矩阵施行初

33、等行变换，使它化为行阶梯形矩阵 0000 0000 2400 1220 1022 1 B 0000 0000 100 1220 1022 2 1 )4( 3 r 0000 0000 100 2020 1022 2 1 2 32 rr 0000 0000 100 1010 1022 2 1 2 2 r 0000 0000 100 1010 001 2 1 2 1 2 1 r 0000 0000 100 1010 1002 2 1 2 21 rr 最后一个矩阵为行最简形矩阵，由此可以直接写出原最后一个矩阵为行最简形矩阵，由此可以直接写出原 方程组的唯一的解方程组的唯一的解 最后一个矩阵最后一个矩阵 为行阶梯形矩阵，无矛盾方程，且非零行为行阶梯形矩阵，无矛盾方程，且非零行 的个数和未知数的个数一样多，故原方程组有唯一的解的个数和未知数的个数一样多，故原方程组有唯一的解 继续对继续对 施行下列初等行变换，使它化为行最简形矩