模拟退火算法的旅行商问题

1、人工智能原理实验报告模拟退火算法解决TSP问题目 录1 旅行商问题和模拟退火算法11.1 旅行商问题11.1.1 旅行商问题的描述11.2 模拟退火算法11.2.1 基本思想12 TSP模拟退火算法的实现22.1 TSP算法实现22.1.1 TSP算法描述22.1.2 TSP算法流程32.2 TSP的C实现42.2.1 加载数据文件42.2.2 计算总距离的函数52.2.3 交换城市的函数52.2.4 执行模拟退火的函数52.3实验结果62.4小结63源代码6111 旅行商问题和模拟退火算法1.1 旅行商问题1.1.1 旅行商问题的描述旅行商问题（Traveling Salesman Prob

2、lem，简称TSP）又名货郎担问题，是威廉哈密尔顿爵士和英国数学家克克曼(T.P.Kirkman)于19世纪初提出的一个数学问题，也是著名的组合优化问题。问题是这样描述的：一名商人要到若干城市去推销商品，已知城市个数和各城市间的路程（或旅费），要求找到一条从城市1出发，经过所有城市且每个城市只能访问一次，最后回到城市1的路线，使总的路程（或旅费）最小。TSP刚提出时，不少人认为这个问题很简单。后来人们才逐步意识到这个问题只是表述简单，易于为人们所理解，而其计算复杂性却是问题的输入规模的指数函数，属于相当难解的问题。这个问题数学描述为：假设有n个城市，并分别编号，给定一个完全无向图G=（V，E）

3、，V=1，2，n，n1。其每一边(i,j)E有一非负整数耗费 Ci,j(即上的权记为Ci,j，i，jV)。并设 G的一条巡回路线是经过V中的每个顶点恰好一次的回路。一条巡回路线的耗费是这条路线上所有边的权值之和。TSP问题就是要找出G的最小耗费回路。1.2 模拟退火算法 模拟退火算法由KirkPatrick于1982提出7，他将退火思想引入到组合优化领域,提出一种求解大规模组合优化问题的方法，对于NP-完全组合优化问题尤其有效。模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其缓慢降温(即退火)，使之达到能量最低点。反之，如果急速降温(即淬火)则不能达到最低点。加温时，固体内部粒子随温

4、升变为无序状，内能增大，而缓慢降温时粒子渐趋有序，在每个温度上都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为exp(-E/(kT)，其中E为温度T时的内能，E为其改变量，k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复产生“新解计算目标函数差接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Coo

5、ling Schedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子a、每个t值时的迭代次数L和停止条件C。1.2.1 基本思想 模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解3部分。其基本思想是：(1)初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态s(是算法迭代的起点)，每个T值的迭代次数L；(2)对k=1，L做第(3)至第6步；(3)产生新解s；(4)计算增量cost=cost(s)-cost(s)，其中cost(s)为评价函数；(5)若t0则接受s作为新的当前解，否则以概率exp(-t/T)接受s作为新的当前解；(6)如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。终止条件通常取为连续若干个新

6、解都没有被接受时终止算法；(7)T逐渐减少，且T趋于0，然后转第2步运算。 具体如下（1）新解的产生和接受模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下4个步骤：由一个函数从当前解产生一个位于解空间的新解。为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等。产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。判断新解是否被接受。判断的依据是

7、一个接受准则，最常用的接受准则是Metropo1is准则：若t0则接受S作为新的当前解S，否则以概率exp(-t/T)接受S作为新的当前解S。当新解被确定接受时，用新解代替当前解。这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数值即可。此时，当前解实现了一次迭代，可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时，则在原当前解的基础上继续下一轮试验。模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关；模拟退火算法具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率收敛于全局最优解的全局优化算法；模拟退火算法具有并行性。（2）参数控制问题模拟退火算法的应用很

8、广泛，可以求解NP完全问题，但其参数难以控制，其主要问题有以下3点7：温度T的初始值设置。温度T的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一。初始温度高，则搜索到全局最优解的可能性大，但因此要花费大量的计算时间；反之，则可节约计算时间，但全局搜索性能可能受到影响。实际应用过程中，初始温度一般需要依据实验结果进行若干次调整。温度衰减函数的选取。衰减函数用于控制温度的退火速度，一个常用的函数为： 式中是一个非常接近于1的常数，t为降温的次数。马尔可夫链长度L的选取。通常的原则是：在衰减参数T的衰减函数已选定的前提下，L的选取应遵循在控制参数的每一取值上都能恢复准平衡的原则。2 TSP模

9、拟退火算法的实现 TSP是典型的组合优化问题，模拟退火算法是一种随机性解决组合优化方法。将TSP与模拟退火算法相结合，以实现对其求解。2.1 TSP算法实现2.1.1 TSP算法描述 （1）TSP问题的解空间和初始解 TSP的解空间S是遍访每个城市恰好一次的所有回路，是所有城市排列的集合。TSP问题的解空间S可表示为1,2,n的所有排列的集合，即S = (c1,c2,cn) | (c1,c2,cn)为1,2,n的排列），其中每一个排列Si表示遍访n个城市的一个路径，ci= j表示在第i次访问城市j。模拟退火算法的最优解与初始状态无关，故初始解为随机函数生成一个1,2,n的随机排列作为S0。（2

10、）目标函数 TSP问题的目标函数即为访问所有城市的路径总长度，也可称为代价函数： 现在TSP问题的求解就是通过模拟退火算法求出目标函数C(c1,c2,cn)的最小值，相应地，s*= (c*1,c*2,c*n)即为TSP问题的最优解。 （3）新解产生新解的产生对问题的求解非常重要。新解可通过分别或者交替用以下2种方法产生：二变换法：任选序号u,v(设uvn)，交换u和v之间的访问顺序，若交换前的解为si= (c1,c2,cu,cv,cn),交换后的路径为新路径，即：si= (c1,cu-1,cv,cv-1,cu+1,cu,cv+1,cn)三变换法：任选序号u,v和(uv)，将u和v之间的路径插到

11、之后访问，若交换前的解为si= (c1,c2,cu,cv,c,cn)，交换后的路径为的新路径为：si= (c1,cu-1,cv+1,c,cu,cv,c+1,cn)（4）目标函数差计算变换前的解和变换后目标函数的差值：c= c(si)- c(si)（5）Metropolis接受准则根据目标函数的差值和概率exp(-C/T)接受si作为新的当前解si，接受准则： 2.1.2 TSP算法流程 根据以上对TSP的算法描述，可以写出用模拟退火算法解TSP问题的流程图2-1所示：图 2-1 TSP的模拟退火流程2.2 TSP的C实现2.2.1 加载数据文件下面是加载数据文件的一个例子：中国31省会城市数据

12、： 1304 2312;3639 1315;4177 2244;3712 1399;3488 1535;3326 1556; 3238 1229;4196 1044;4312 790;4386 570;3007 1970;2562 1756; 2788 1491;2381 1676;1332 695;3715 1678;3918 2179;4061 2370; 3780 2212;3676 2578;4029 2838;4263 2931;3429 1908;3507 2376 3394 2643;3439 3201;2935 3240;3140 3550;2545 2357;2778 282

13、6;2370 2975;当调用数据文件函数时，包含城市坐标信息的矩阵载入到数组中。2.2.2 计算总距离的函数这是一个城市间计算距离的函数，根据给定路径计算该路径对应总路程。inline double dist(int x1, int y1, int x2, int y2) return sqrt(double(x2-x1)*(x2-x1)+(y2-y1)*(y2-y1);inline double totaldist(path p) int i; double cost = 0; for (i=1; iN; i+) cost += Dp.Cityip.Cityi+1; cost += Dp.

14、City1p.CityN; return cost; TSP问题的成本函数是城市之间的距离。调用此函数将计算n个城市之间的距离。2.2.3 交换城市的函数 这是一个用于城市交换的函数，它从某路径的邻域中随机的选择一个新的路径。 path getnext(path p) int x, y; path ret; ret = p; do x = rand() % N + 1; y = rand() % N + 1; while(x = y); swap(ret.Cityx, ret.Cityy); ret.Length = totaldist(ret);return ret;2.2.4 执行模拟退火

15、的函数 void sa() / 退?火e和降温?过y程 double T; path newpath, curpath; int i, A_t=0; double delta; T = INIT_T; curpath = F_Path; while(true) for (i=1; i=IN_K; i+) newpath = getnext(curpath); delta = newpath.Length - curpath.Length; if (delta rnd) curpath = newpath; if (curpath.LengthF_Path.Length) F_Path = cu

16、rpath; if (T FINAL_T) break; T = T * RATE; 输入参数：INIT_K则是开始模拟退火过程的起始温度。 RATE是模拟退火过程的冷却速率，冷却速率应该始终低于1。 FINAL_T是模拟退火的停止条件。2.3实验结果2.4小结模拟退火算法是依据Metropolis准则接受新解，该准则除了接受优化解外，还在一定的限定范围内接受劣解，此举避免陷入局部极小值、提高解空间的搜索能力和扩大搜索范围方面具有明显的优越性；其次，初始温度T，内循环次数K，以及温度衰减率t的选取对结果影响很大，适当的选取很重要。3源代码#include stdafx.h#include #i

17、nclude #include using namespace std; const int MAXN = 200; /最大城市数const double INIT_T =100000; /初始温度const double RATE = 0.05; /温度下降率 const double FINAL_T = 1E-10; /终止温度const int IN_K = 10000; /内层循环数struct path /定义路径结构类型 int CityMAXN; /依次遍历的城市的序号 double Length; /所有城市的总长度; int N; /城市数量double DMAXNMAXN;

18、 /任意两个城市之间的距离path F_Path; /最优的遍历路径inline double dist(int x1, int y1, int x2, int y2) /计算两点之间的距离 return sqrt(double(x2-x1)*(x2-x1)+(y2-y1)*(y2-y1);inline double totaldist(path p) /计算遍历路径总长度 int i; double cost = 0; for (i=1; iN; i+) cost += Dp.Cityip.Cityi+1; cost += Dp.City1p.CityN; return cost;void

19、init() /读数据，并初始化 int CMAXN2; /城市的坐标 int i, j; freopen(城市坐标.txt, r, stdin); scanf(%d, &N); for (i=1; i=N; i+) scanf(%d%d, &Ci0, &Ci1); for (i=1; iN; i+) /计算任意两个城市之间的路径长度 for (j=i+1; j=N; j+) Dij = Dji = dist(Ci0, Ci1, Cj0, Cj1); for (i=1; i=N; i+) /最优解的初始状态 F_Path.Cityi = i; F_Path.Length = totaldist

20、(F_Path); srand(unsigned)time(NULL);path getnext(path p) /新解产生函数 int x, y; path ret; ret = p; do x = rand() % N + 1; y = rand() % N + 1; while(x = y); swap(ret.Cityx, ret.Cityy); /交换两城市之间位置顺序 ret.Length = totaldist(ret);return ret; void sa() / 退火和降温过程 double T; /温度 path newpath, curpath; /当前路径和新路径 int i, A_t=0; double delta; T = INIT_T; /赋值初始温度 curpath = F_Path;