多项式与多项式相乘

1、 m ab n 问题问题 如图如图15.2-1,为了扩大街心为了扩大街心 花园的绿地面积花园的绿地面积,把一块原长把一块原长a米米, 宽宽m米的长方形绿地米的长方形绿地,增长了增长了b米米, 加宽了加宽了n米米.你能用几种方法求出你能用几种方法求出 扩大后的绿地的面积扩大后的绿地的面积? m a n b 长为长为 a+b 宽为宽为 m+n S = (a+ b) (m +n） 扩大后的绿地可能看成长为扩大后的绿地可能看成长为(a+b)米米,宽为宽为(m+n)米的米的 长方形长方形,所以这块绿地的面积为所以这块绿地的面积为(a+b)(m+n)米米2. m a n b am an bn bm S =

2、 am + an + bm+ bn 扩大后的绿地还可以看成由四个小长方形组成扩大后的绿地还可以看成由四个小长方形组成, 所以这块绿地的面积为所以这块绿地的面积为(am+an+bm+bn)米米2. m a n b (m+n)a (m+n)b S= (m+n)a+ (m+n)b S = (a+ b) (m +n） S = am+ bm+ an+ bn S= (m+n)a+ (m+n)b (a+ b) (m +n) = a (m+n)+ b(m+n) = am+ bm+ an+ bn 归纳归纳 m a n b (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 多项式与多项式相乘，先用一多项式与多项式相乘

3、，先用一 个多项式的个多项式的每一项每一项乘另一个多项式乘另一个多项式 的的每一项，每一项，再把所得的再把所得的积相加积相加. (a+ b+c) (m +n) =am+an+bm+bn+cm+cn 观察上述式子观察上述式子,你能的得到你能的得到(x-3)(y-6)的结果吗的结果吗? ( x 3 )( y 6 ) = x y 6x 3y + 18 例例1、计算、计算: (1) (3x+1)(x-2） (2) (x - 8y)(x-y) (3) (x+y)(x2-xy+y2) 法则的应用法则的应用 解解: (1) 原式原式=3 x2- 6x+x - 2 =3x2- 5x- 2 (2) 原式原式=x

4、2- xy -8xy +8y2 =x2- 9xy +8y2 (3) 原式原式=x3- x2y +xy2 +x2y -xy2 +y3 =x3 +y3 观察刚才的解题过程：观察刚才的解题过程： (1)(1)(3x+1)(x-2) (3x+1)(x-2) =3x=3x2 2-6x+x-2-6x+x-2 (2)(x-8y)(x-y) (2)(x-8y)(x-y) =x=x2 2-xy-8xy+8y-xy-8xy+8y2 2 (3)(3)( (x+yx+y)(x)(x2 2-xy+y-xy+y2 2) )=x=x3 3-x-x2 2y+xyy+xy2 2+x+x2 2y-xyy-xy2 2+y+y3 3

5、 法则的应用法则的应用 你注意到了吗？你注意到了吗？ 多项式乘以多项式，展开后项数很有多项式乘以多项式，展开后项数很有 规律，在合并同类项之前，展开式的项数规律，在合并同类项之前，展开式的项数 恰好等于两个多项式的项数的积。恰好等于两个多项式的项数的积。 练习练习1: (1) (2x+1)(x+3); (2) (m+2n)(m-3n): (3) ( a - 1)2 (4) (m-2n)(m2+mn-3n2); (5) (3x2-2x+3)(2x+1) 答案答案: (1) 2x2+7x+3; (2) m2-mn-6n2; (3) a2-2a+1; (4) m3-m2n-5mn+6n3; (5)

6、6x3-x2+2x+2; (1) (x+2)(x+3) = (2) (x-4)(x+1) = (3) (y+4)(y-2) = (4) (y- 5)(y-3) = 观察上述式子，你可以观察上述式子，你可以 得出一个什么规律吗？得出一个什么规律吗？ (x+p)(x+q) 一次项系数为一次项系数为1的两个一次二项式相乘的两个一次二项式相乘 = x2 +(p+q)x +pq 结果是一个二次三项式，其中二次结果是一个二次三项式，其中二次 项系数为项系数为1、一次项系数为原常数项的和、常数项为原常项的积。、一次项系数为原常数项的和、常数项为原常项的积。 x2 + 5x+6; x2 3x-4 y2 + 2

7、y-8 y2- 8y+15 练习练习2: 练习练习3： 确定下列各式中确定下列各式中m,p的值的值: (1) (x+4)(x+9) = x2 + m x + 36 (2) (x-2)(x-18) = x + m x + 36 (3) (x+3)(x+p) = x + m x + 36 (4) (x-6) (x-p) = x + m x + 36 (5) (x+p)(x+q) = x + m x + 36 (p，q为正整数为正整数) (1) m =13 (2) m = - 20 (3) p =12, m= 15 (4) p= -6, m= -12 (5) p = 4,q = 9, m =13 p

8、=2,q = 18, m=20 p = 3, q =12, m=15 p=6, q= 6, m=12 (x+p)(x+q) = x2 + (p+q) x + p q 解方程或不等式解方程或不等式: (3x+4)(3x-4) 9(x-2)(x+3). 练习练习4: 注意! 1.(3a2)(a1)(a+1)(a+2) 是多项式的积与积的差，后两个多项是多项式的积与积的差，后两个多项 式乘积的展开式要用括号括起来。式乘积的展开式要用括号括起来。 2. (x+y)(2xy)(3x+2y) 是三个多项式相乘，应该选其中的两是三个多项式相乘，应该选其中的两 个先相乘，把它们的积用括号括起来，个先相乘，把它

9、们的积用括号括起来， 再与第三个相乘。再与第三个相乘。 小 结 1、 (a+b)( m+n)=am+an+bm+bn 2、多项式与多项式相乘时，多项式的每一项 都应该带上它前面的正负号。多项式是单项式 的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一 定要注意确定各项的符号。 4、在数学知识的学习中，“转化”思想是 的重要思想方法。在今天的学习中， 可以“转化”为多项式与单项式相乘， 也可以“转化”为单项式乘法。 即将新的知识、方法化为已知的数学知识、 方法。从而使学习能够进行。 3、(x+p)(x+q) = x2 + (p+q) x + p q 小小 结结 (a+ b) (m +n）= am+ bm+ an+ bn (a+ b+c) (m +n)= am+an+bm+bn+cm+cn 多项式与多项式相乘，先用一个多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式 的每一项乘另一个多项式的每一项，再的每一项乘另一个多项式的每一项，再 把所得的积相加把所得的积相加. 多项式与多项式相乘的法则多项式与多项式相乘的法则: