二阶常微分方程的解法20页

1、南 京 师 范 大 学 泰 州 学 院毕 业 论 文（设 计）（ 一 六 届）题 目： 二阶常微分方程的解法 院（系、部）： 数学科学与应用学院 专 业： 数学与应用数学 姓 名： 潘陆 学 号 08120146 指导教师： 刘陆军 南京师范大学泰州学院教务处 制摘要：本文主要是介绍了二阶常微分方程众多解法中的三种，分别为特征方程法，拉普拉斯变换法和常数变易法，研究并讨论了二阶常微分方程在特征方程法中特征方程根为实根，复根和重根的情形。我们选用了弹簧振子系统的振子运动，用这三种不同的方法来解决该问题。关键词：二阶常微分方程；特征根法；常数变易法；拉普拉斯变换Abstract: The main

2、 purpose of this paper is the second-order ordinary many differential equation solution of three, respectively as the characteristic equation method, Laplace transform method and variation of constants method, study and discuss the second-order often differential equation in the characteristic equat

3、ion of the roots of the characteristic equation for real roots, complex roots and root weight. We choose the spring oscillator the oscillator motion, these three different methods to solve the problem.Keywords: second order ordinary differential equation; Characteristic analysis; constant variation

4、method; Laplasse transform目录1 绪论31.1 二阶常微分方程的起源和发展史31.2 二阶常微分方程的介绍31.3 研究二阶常微分方程的目的与意义42 二阶常系数常微分方程的几种解法52.1 特征方程法5 2.1.1 特征根是两个实根的情形5 2.1.2 特征根有重根的情形62.2 常数变易法72.3 拉普拉斯变换法93 二阶常微分方程解法的应用（分析例题）113.1 特征方程法113.2 常数变易法133.3 拉普拉斯变换法144 结论和启示16谢 辞18参考文献191 绪论1.1 二阶常微分方程的起源和发展史既然说到了微分方程，就不能不提到海王星的故事，它的发现是

5、人类智慧的硕果，微分方程在其中扮演了重要的角色，并且在其中也包含数学演绎法的作用。在发现了天王星之后，进行天文观测的人们发现它所处的位置总是和万有引力计算出的位置有些许不同，于是有人质疑万有引力定律的正确性。但也有一部分人认为，这也可能是天王星在受到一颗尚未发现的行星的吸引力才会造成的改变。不少人坚信这种假设是正确的，但却很少有人找到了正确的方法并付诸实践。而英国的一个学生亚当斯显然不是其中之一，他勇敢接受了这项任务，运用手头仅有的资料建立起微分方程，成功求出了海王星的位置与下次出现的时间。1843年10月21日，满怀信心的亚当斯把结果寄给了天文台长艾利，但换来的却是质疑，艾利并不相信籍籍无名

6、的他。然而在两年后，另一名青年勒威耶也计算出了同样的数据，并把计算的结果给予了位于柏林天文台的助理员卡勒，在那个值得铭记的夜晚，卡勒在计算出的位置上发现了第七颗行星海王星。从二十世纪三十年代以来，常微分方程的研究像是走上了快车道，迅速发展并建立起了多个分支。19271945年期间定性理论的主要研究是与无线电技术紧密联系在一起的。在第二次世界大战期间由于对通讯等方面的需求越来越高，极大地激发了对无线电技术的研究进展，尤其是对非线性振动理论的研究取得了迅速的发展。在四十年代之后各国大部分数学家们主要在研究对抽象动力系统的拓扑特征, 例如闭轨的存在性、结构的稳定性等, 对于二维系统来说，我们可以通过

7、一些方法证明他的结构稳定性；而对于一般的系统来说这个问题依旧困扰着我们。在动力系统的研究方面, 目前采用的办法是从典范方程组到阻碍集有详尽的理论指导,成功解决了一系列困扰人类多年的问题, 其中最为突出的是C封闭引理的证明, 以及对结构稳定性的充要条件等方面都作出了杰出贡献。在当今社会，由于信息技术的飞速发展，大量的领域需要用到常微分方程组进行描述。前赴后继的杰出的学者们，为了各种稳定性及专业问题，终其一生都在研究常微分方程，也取得了不朽的成就，但依然有很大的疑问等着我们去解开。1.2 二阶常微分方程的介绍二阶微分方程在时间上大致与微积分同时产生 。对于初学者来说，这样的问题就是最简单的微分方程

8、了。二阶常系数线性微分方程是形如的微分方程。与其对应的二阶常系数齐次线性微分方程为，其中是实常数。若函数和之比为常数，称和是线性相关的；若函数和之比不为常数，称和是线性无关的。1.3 研究二阶常微分方程的目的和意义就如上文所说，研究二阶常微分方程已经取得了不少成就，尤其是在对方程的求解方面。与此同时应用常微分方程的理论也经过大家的不懈努力，取得了丰硕的成果。但是对于进一步的发展所需，还是小巫见大巫，所以我们要更加努力的钻研，努力地完善这门学科的理论系统。在数学的发展历史中，数学分析占有非常重要的地位，我们大学学习的课程也都是以数学分析作为基础，而微分方程正是数学分析的关键所在。同时它也发展出了

9、数学分析中大部分思想以及理论。众所周知的，常微分方程自始至终都是人类用来探索自然变换，研究自身社会结构，工程问题以及大自然的生态结构的便利的道具。常微分方程由于与现实生活息息相关，所以对其的研究一直没有停止过，而且表现出欣欣向荣的活力。并且在多个学术领域中，常微分方程都占着决定性的作用，可以说常微分方程带领着人类的进步。而二阶常微分方程同样在常微分方程的整套理论中有着弥足轻重的地位，在各个研究领域中都有十分广泛的应用。2 二阶常系数常微分方程的几种解法2.1 特征方程法特征方程法中的特征方程，是为了对相对应的数学对象进行深入的研究而人为引入的一些等式，当研究的对象改变时，它也会改变，这其中包括

10、数列特征方程，微分方程特征方程和积分方程特征方程等等。求微分方程的通解。 解： 特征方程的根,(1)若是两个不相等的实根,那么上面这个微分方程就拥有两个实值解,于是我们可以求得其通解为（为常数）.(2)若相等,则该方程有二重根,因此方程的通解具有形状如（为常数）.(3)若为共轭复根的情况,则该方程的通解具有形状（为常数）.在数学中，许多公式与定理都需要进行证明,下面本文给出前两个解答的理论依据及证明过程。2.1.1 特征根是两个实根的情形设为该特征方程的两个不等实根,那么我们可以得出与之对应的方程的两个解为, 我们确定这两个解在上线性无关,所以它们能够组成该方程的基本解组。事实上,这时 ,而上

11、面最后一个行列式是著名的范德蒙德（Vandermonde）行列式,该行列式与相等。由于在之前假设了,所以此行列式不等于零,从而,于是得到 线性无关,这就是要证明的结论。而该方程的通解即可表示为（其中为任意数）.2.1.2 特征根为复根时讨论这个特征方程含有复根的情况,首先这个方程的系数为实数,同时也是常数，所以复根成对共轭出现。设是特征根之一,则就是第二个特征根,根据这两个特征根我们就可以得到原方程的两个不同的实值解:,.根据定理,我们得到的复值解的实部和虚部与方程的解相同。那么由于这一对共轭复根对应于特征方程,可以求得方程的两个实值解.2.1.3 特征根有重根的情形设特征方程有重根则易得,先

12、设,表示特征方程有因子,于是,也就是该特征方程的形状为,而与其对应的方程则变为.易得它有个解,而它们是线性无关的。于是我们可以得出,特征方程中的重零根对应方程的个彼此线性无关的解,。当这个重根,我们作变量变换,可注意到，可得,于是可将对应方程化为,而其中仍为常数,其相应的特征方程为,直接进行计算易得,因此,从而.通过这样转化,问题就化为前面所讨论过的情况了。2.2 常数变易法接下来我们要说的是求解微分方程的一种极其重要的方法,常数变易法。我们在求解一阶线性微分方程时常常采用这种方法。这个办法的大体思想，是通过将常数代入中来得到该方程的通解。看似简单，但拉格朗日为之研究奋斗了年，而我们所如今所采

13、用的仅仅是他所得出的结论，证明过程省略了。它在非齐次线性微分方程和与其对应的齐次线性微分方程之间起着重要的链接作用。我们这里讨论的对一般二阶常微分方程的求解,要先得出该方程的一个特解,再用我们上面讲解的特征方程法求通解。例题 求常微分方程的通解。 解 方程与其对应的齐次方程为,其特征方程为. 由于的通解根据理论可以得到就等于这个方程所对应的齐次线性微分方程的通解与求出的它本身的一个特解之和，而我们已经讨论了二阶常系数齐次线性常微分方程的通解,所以只要再求出一个该方程本身的特解。若为该方程的实根,则为方程的解。根据常数变易法的其中一个解为,代入原方程并进行化简得,这是即是关于的一阶线性微分方程,

14、而其一个特解为,从而得到上面方程的一个特解为. 讨论为该方程的复根的情况,可以设，则就是原方程的解，接下来用常数变易法设其中的一个特解为，通过运用情形1解得方程的一个特解为.由于是特解,所以积分常量可以都取零。2.3 拉普拉斯变换法接下来要介绍的拉普拉斯变换法是一种积分变换法，又名为拉氏转换法。它是一个线性变换法，通过因数为实数，的函数中的实数转化为复数。在某些情形下一个实变量函数在中进行运算比较困难，若能将实变量函数进行拉普拉斯转换，并在复数域中进行各种运算，再使用拉普拉斯反变换来求得该方程或函数在实数域中的相应结果，是一种简便的计算方法。拉普拉斯转换的运算步骤对于我们要求的解线性微分方程极

15、其有效，它可以把微分方程转化为较易求解的代数方程来进行处理，使计算大幅度简化。在经典控制理论中，对于控制系统的分析但和综合等，都是立足在拉普拉斯转换的基础上的。我们引入拉普拉斯变换有一个主要优点，就是可以采用传递函数来代替常系数微分方程用以描述系统的特性。当我们要用图解来测定某些控制系统的整体特性并且分析该控制系统的运动过程等情况时，可以用上这种方法，一般来说比较简单。由积分.所定义的确定在复平面上的复变数的函数,称其为函数的拉普拉斯转换,我们称为原函数,而将称为像函数。拉普拉斯变换法主要是通过借助拉普拉斯变换将常微分方程转化，使它成为复平面的代数方程。并通过一些简单的代数运算,再利用拉普拉斯

16、变换表,即可对微分方程进行求解。方法十分简单方便,在现实生活中也经常被采用。但是这个方法也存在着些许不足，主要是只适用于右端函数为原函数的情况。 求解方程.解 首先使，将问题转化为,再对新方程两边进行拉普拉斯变换,得到,因此,查阅拉普拉斯变换表可得,从而得到,这即为所要求的解。 当然,求解二阶或更高阶的常微分方程我们能用的方法还有不少,这里由于篇幅我不能将其一一列出。但我们利用前面的一些结论就足以解决下面的几个物理问题了。3 二阶常微分方程解法的应用上面介绍了解二阶常微分方程常用的三种方法，为了更好的体现这三种方法的区别，我选取了一个比较简单的动力学方程来进行求解。通常，在对物理问题求解时，我

17、们有三个步骤：第一步是对该问题进行彻底分析从而能做到对方程的初步建立并且对定解条件进行明确；第二步是对其解的性质进行探究或者求出方程来满足初始条件的特解；最后一步是定性分析对解，对原来的问题反过来进行解释，其中最为关键的步骤就是要将方程列出，而能列出方程的方法主要有两种，分别为微元分析法和瞬时变换法。但是在研究阻尼运动的过程中，求解运动方程一直是令人头疼的问题。接下来我们就分别使用上述三个方法来求解这个动力学方程。3.1特征方程法在我们要研究的弹簧振子系统中，测定物体的阻尼系数，物体的质量为,该弹簧所具备的劲度系数为,根据上述条件，假设质点由静止状态逐步开始运动，对弹簧振子的位移方程进行求解。

18、 解：根据牛顿的第二运动定律我们可以得出 或 , 由于相对来说振动系统这是在这之前给定的，其中包含的常量为，如果能够确定,那么上面的方程式就可以转变为： , 那么根据所得到的数据代入公式（3）我们就可以得到 . 通过对以上公式的仔细观察和深入研究则可以得到对该方程进行求解能够使用特征值法，得出其特征方程可以表述为：,并且在该特征方程当中包含有不同的两个根,这样相对应的公式的两个根分别为 那么根据公式进行计算可以即可得到固有角频率数值为，此时阻尼系数值为,也就是说,于是方程的解可以表述为 （初始条件可得数值）. 通过公式，我们可以看出振子所保持的属于一个非振动状态，在这样的背景下，我们要求的质点

19、也只是在原先的不平衡位置逐渐恢复到平衡状态当中，该质点并不具有周期振动的特征。由于我们的关注点是在情况下面,质点会呈现出逐渐衰减的振动。然而由于会受到阻尼作用的影响，他不能保持自由振动系统的长久运作，振动会逐渐衰减直至振动停止，如果我们要保持振动持续不停的状态的话，该质子就需要从外界获得运动必要的能量，在学术界将这种由于受到外部的持续作用而产生振动的情况称为强迫振动。我们再举一个例子：假如在以上的振动系统当中振子由于受到某个外力的作用，在公式之中表示的是该驱动力的幅度值，表示的是该驱动力所具有的圆频率，即是该驱动力所保持的频率。解：由于在质点振动系统当中会受到驱动力的作用，那么我们就可以得到关

20、于系统振动的方程： , 上述方程还可以表示为 . 表示的是在单位质量上该振子所受到的外力大小。而和这两个式子都是强迫运动方程。我们观察该式子的本质发现，他们属于二阶非齐次常系数微分方程，而根据定理我们对这个方程求解后所能得到的一般解同时也是该方程所能得到的一个特解和与该非齐次方程相对应的齐次方程的一般解之和。我们在前面求出了其相对应的自由振动方程的一般解，那么现在要做的就是找到方程的一个特解，将其代入方程就能得到方程： , 在这里可以假设方程有着这样的特解，将这个特别对方程替代进去并且将其简化最终得到,通过比较同类项系数我们可以得到,这样我们就可以进一步得出,而根据前面所得到的结果，可以将原方

21、程的通解表示出来，为：.综上所述，题目中给我们的条件决定的数值，之前的两项为该方程的瞬态解，瞬态项对这整个系统所进行的自由衰减振动能够进行有效的描述，然而只能在运动的开始阶段起作用，在经过长时间的运动之后，它起到的影响会随时间消逝并且在运动最后完全消失。而之后两项所代表的稳态解，描述的是强迫运动的状态，由于幅值条件的固定，所以我们称这样的状态为稳定状态。根据上面的公式，外力作用在质点上的时候，整个系统的振动状态十分复杂，这时候的振动既包括了瞬态振动，也包括了稳定振动，而这样的振动状态对于在强迫振动之中逐步建立起稳态振动的过程进行有效的描述。在长时间的振动之后，瞬态振动终将消逝，这整个系统就会保

22、持稳态振动的状态。3.2 常数变易法 从上面的分析之中我们可以了解到即是属于特征方程的实根，于是我们就可以得到为属于上面方程当中的一个根，之后通过运用常数变易法设置，在这一过程中我们也可以得到方程其中一个解为，将数值代入到方程当中并且对其进行简化可以得到.属于的一阶线性微分方程,并且得到在该方程当中一个特解为,从而得出方程的一个特解为（取）,于是可得方程的通解为.由上面的结论可知 . 将题目数据代入公式中可以得到 . 通过观察我们可以发现，在进行该类求解的过程中要使用常数变易法，首先就是要求出公式，而在之前的探索当中已经可以得到公式的特征方程为.于是可以进一步的假设该特征方程的根为，那么即为公

23、式的一个解。运用常数变易法可设为.这里套用情形1的解法，将代入并进行化简得.由于是特解,所以积分常量可以为零。3.3 拉普拉斯变换法依然使用上面的例子，通过牛顿第二运动定律可以得到,将公式代入数据之后我们可以得到 , 根据条件，质点由静止状态开始运动，我们可以得到以下的公式 ,对方程(12)进行拉普拉斯变换得到,即,将上式右端分解为部分分式 .通过拉普拉斯变换表可得.4 结论和启示在本篇文章中，我们首先介绍了海王星的发现过程，并介绍了研究二阶常微分方程的背景及研究现状，之后重点总结了解二阶常微分方程最具有代表性的三种不同的解法，特征值法，常数变易法和拉普拉斯转换法，并且进行了一定程度的探究。在

24、特征方程法中，我们通过研究特征方程的特征根的情况，来判断原方程的根的情况。若相等,即该方程有二重根，这是第一种解的情况。而为共轭复根时，为第二种情况，并给出了这两种情况的证明过程。常数变易法则是使用了常数代入的方法，并且提出了定理，原方程的通解就等于这个方程相对应的齐次线性微分方程的通解，同时也运用了特征方程法的思想。最后我们介绍了比较简便的拉普拉斯变换法，它是一个线性变换法，通过因数为实数，的函数中的实数转化为复数来进行运算。对某些情况下的实变量函数进行拉普拉斯转换，使得我们能在复数域中对其进行各种运算，最后再使用拉普拉斯反变换，得出结果，这是一种简便的计算方法。该运算步骤对我们这篇文章要求

25、解的线性微分方程是相对来说最好的办法，它可以把微分方程转化为较易求解的代数方程来进行处理，使我们不用再进行繁琐的计算。之后我们用这三种方法求解了弹簧振子的运动方程，以此来比较三种方法的相同点与不同点。并且通过这个方程的解答，体现出了二阶常微分方程与我们的生活息息相关的特性。由于篇幅及本人专业知识的限制，无法进行更深层次的探究，比如求解二阶常微分方程还有一种幂级数解法，但是它的解题过程非常繁琐，对计算的要求很高，计算量比较大，还要考虑该函数是否解析以及幂级数在某个区间是否收敛等问题，所以在此不做讨论。二阶常微分方程研究的道路远不止此，在这个时代，二阶常微分方程被广泛应用于网络，军事，医学等各种高

26、科技领域，对二阶常微分方程的研究，是对目前社会发展的推进。类似于本篇中写出的弹簧振子方程，研究二阶常微分方程不仅能够推进自身学科的进步，还能提升别的学科的发展速度，它的各个分支学科也与人类生活息息相关。总而言之，在高速发展的现代，常微分方程的研究工作虽然仍有很长的路要走，但由于其重要性不言而喻，所以我们要全身心的投入到研究中去。对于二阶常微分方程，目前并没有研究出通用的求解办法，只能对少数特殊情况的方程进行求解。这无论是对现实生活还是研究工作都是非常不利的，所以对常微分方程的求解问题，任重而道远。我们唯有脚踏实地，艰苦奋斗，为了人类更好的明天而努力。而通过本次论文的写作，我也明白了有志者事竟成

27、这个道理，无论是开头讲的海王星的发现，还是在写作过程中读到的各个伟人的事迹，都告诉我只要努力了，终会得到回报，或许得到的回报有大有小，甚至为目标努力奋斗了许久却仍未得到回报，这时更不能放弃，继续做下去还有希望，而如果放弃了得到的就一定是失败。然而，不相信自己的人，没有努力的价值，所以，相信自己，勇敢拼搏，最终定能获得成功。在对这篇作文的写作过程中，对物理学方程的研究遇到了一些麻烦，因为我的物理学知识比较薄弱。但是通过同学、老师的帮助，再在网络及学校图书馆翻阅了各种文献之后，我还是成功的做成了。这让我想到了，在今后的教育工作中，我应该保持这种勇于探索的精神，不能以非专业，没学过为借口来逃避，而是尽到一名教师应尽的责任。谢 辞时间如白驹过隙，还未来得及细细品味，大学生活就已经尾声，四年的努力与付出，伴随这篇论文的结束，将要画上一个句号。这边论文的设计在刘陆军老师认真负责的指导下成功完成，无论是选择课题，还是搜寻资料进行写作，都离不开刘陆军老师的热情帮助。他不仅给予了我专业知识上的帮助，还在