山东省烟台市龙口市龙矿学校（五四制）2020中考数学二次函数综合题分类训练一（与特殊三角形有关的问题）

1、2020中考数学二次函数综合题分类训练一（与特殊三角形有关的问题）类型三与特殊三角形有关的问题1.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A(1,0)、B(4,0)、C(0,3)三点.（1）求抛物线的解析式；（2）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由；（3）如图，点Q是线段OB上一动点，连接BC,在线段BC上是否存在这样的点M，使CQM为等腰三角形且BQM为直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由. 图 图第1题图2. 如图，直线y=-x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经

2、过点B、C和点A（-1，0）.（1）求B、C两点坐标；（2）求该二次函数的关系式；（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（4）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.第2题图答案：1.解：（1）点A（1，0），B（4,0）在抛物线上，设抛物线解析式为y=a(x-1)(x-4)，将点C（0,3）代入得a(0-1)(0-4)=3，解得a=，抛物线解析式为

3、y=(x-1)(x-4)，即y=x2-x+3.（2）存在.连接BC交对称轴于点P，连接PA,如解图,点A与点B关于对称轴x=对称，BCPB+PC=PA+PC，即当点P在直线BC上时，四边形PAOC的周长最小，在RtBOC中，OB=4，OC=3，BOC=90，BC= =5，四边形PAOC的周长的最小值为OA+OC+BC=1+3+5=9.（3）存在.设直线BC的解析式为y=kx+t， 第1题解图将点B(4,0)，点C（0,3）代入得，解得，直线BC的解析式为y= - x+3.点M在BC上，设点M的坐标为（m,- m+3）（0m4），要使CQM是等腰三角形，且BQM是直角三角形，则只有以下两种情况，

4、()当MQOB，CM=MQ时，如解图所示，则CM=MQ=- m+3,MB=BC-CM=5-(- m+3)=2+m，由sinCBO= = =，即=，解得m=,则点M的坐标为（,）； ()当CM=MQ,MQBC时，如解图， 第1题解图过M作MNOB于N， 则ON=m,MN=-m+3,在RtBMN中，易得BM= =(-m+3)=- m+5，CM=BC-BM=m，在RtBMQ中，QM=BMtanMBQ= (-m+5)，由CM=MQ得 (-m+5)= m， 第1题解图解得m=，此时点M的坐标为（,）.综上所述，存在满足条件的点M,点M的坐标为（,）或（，）.2. 解：（1）令x=0，可得y=2，令y=0

5、，可得x=4，即点B（4，0），C（0，2）.（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，将点A、B、C的坐标代入解析式得，,解得 ,即该二次函数的关系式为y=-x2+x+2.（3）存在.满足条件的点P的坐标分别为P1（,4），P2（,）,P3(,-).【解法提示】y= -x2+x+2，y=-（x-）2+，抛物线的对称轴是x=，OD=C（0，2），OC=2在RtOCD中，由勾股定理得CD=CDP是以CD为腰的等腰三角形，CP1=DP2=DP3=CD如解图所示，作CE对称轴于点E，EP1=ED=2，DP1=4P1（，4），P2（，），P3（，-）. 第2题解图 （4）如解图，过点C作CMEF于点M，设E（a，-a+2），F（a，-a2+a+2），EF=-a2+a+2-（-a+2）=-a2+2a（0a4）S四边形CDBF=SBCD+SCEF+SBEF 第2题解图=BD