无穷级数解答PPT学习教案

1、会计学1 无穷级数解答无穷级数解答 一 重点与难点 1.无穷级数及其收敛、发散的概念； 无穷级数的基本性质及收敛的必要条件； 正项级数的比较审敛法及几何级数和 p-级数的收敛性； 正项级数的比值审敛法和根值审敛法； 交错级数的莱布尼茨定理，级数绝对收敛和条件收敛的概念和判别方法。 2.理解函数项级数的收敛域与和函数的概念； 熟练掌握确定幂级数收敛域的方法； 会求简单的幂级数的和函数； 3.函数可展为幂级数的充要条件； 第1页/共25页 掌握ex,sinx , cosx , ln(1+x) , (1+x) 的麦克劳林展开式 会用间接法把函数展开成幂级数。 5. 掌握傅立叶级数的收敛定理，熟练地把

2、周期为 2 （或2l )的函数展开成傅立叶级数； 掌握函数延拓思想，会把0,(或0,l )上的函数 展开成正弦级数和余弦级数； 会用傅立叶级数求某些简单的数项级数的和。 第2页/共25页 ._, _),0( , 3 ._ . _)0( 2 ._ _ 1 12 0 o 1 o 1 o 时时它它发发散散时时它它收收敛敛；当当当当 叫叫级级数数 为为若若正正项项级级数数发发散散，其其和和序序列列有有界界 项项和和条条件件是是它它的的前前收收敛敛的的正正项项级级数数 要要条条件件是是定定义义的的。级级数数收收敛敛的的必必 收收敛敛还还是是发发散散，是是用用级级数数 aarararaar nuu u n

3、 n n n n n n n 充 要 几何 |r| 1P 1 比较法比值法 根值法积分法 交错级数 ), 2 , 1( 1 nuu nn . 0lim n n u . u1 un+1 第4页/共25页 ._ _,_ 10 _. _ 9 ._ , 1|lim 1lim 8 ._ ._ 7 11 * o * o 1 1 1 o 1 1 o 且且新新级级数数的的和和为为 ，则则其其乘乘积积是是新新级级数数，两两个个绝绝对对收收敛敛级级数数 其其和和 ，且且后后，新新级级数数绝绝对对收收敛敛级级数数各各项项重重排排 则则级级数数 或或者者，若若有有对对级级数数 条条件件收收敛敛，是是指指级级数数 绝绝

4、对对收收敛敛，是是指指级级数数 n n n n n n n n n n n n n n n n n n vsu u u u u u u u 收敛收敛若若 | 1 n n u , | 1 发散发散若若 n n u收敛收敛而而 1 n n u 必定发散 仍然收敛 不变 )()( 1121122111 vuvuvuvuvuvu nnn s . . . . 第5页/共25页 ._ _)(2) _;_ _._ _)1( 0 0 0 收收敛敛区区间间的的方方法法是是求求幂幂级级数数 是是求求它它的的收收敛敛区区间间的的方方法法 收收敛敛半半径径的的方方法法是是求求幂幂级级数数 n n n n n n xx

5、a xa ,lim 1 n n n a a 求求 . 先求出 R, 令 y = xx0, , 0 n n ny a的收敛区间的收敛区间 . ; 1 , 0 R当当 先考虑 再换回 x 的收敛区间。 . 0 , R 当当; , 0 R 当当 :R再再推推得得 . . . . 再考虑端点x=R处的敛散性. 第6页/共25页 导导数数，则则在在该该邻邻域域内内的的某某邻邻域域内内具具有有任任意意阶阶在在设设 0 )(xxf . 2 0 0 000 0 0 0 )( !2 )( )()()( ! )( xx xf xxxfxfxx n xf n n n 称称 )( : )(的的泰泰勒勒公公式式中中的的

6、余余项项件件是是可可展展为为幂幂级级数数的的充充要要条条xfxf ).( 0)( nxRn 0 0 时时，称称当当 x ! )0( !2 )0( )0()0( )( 2 n n x n f x f xff 0 ! )0( n n n x n f n n xx n xf )( ! )( 0 0 )( 为函数 f (x)的泰勒级数。 为函数 f (x)的麦克劳林级数。 第7页/共25页 ),( x 1 , 1( x )1 , 1( x 1 12 1 )!12( )1( n n n n x )!12( )1( ! 5! 3 12153 n xxx x nn 0 2 )!2( )1( n n n n

7、x )!2( )1( ! 4! 2 1 242 n xxx n n 1 1 )1( n n n n x n xxx x n n 1 32 )1( 32 n n x n n 1 ! )1( )2)(1( 1 n x n n xx ! )1( )1( ! 2 )1( 1 2 . 0 ! n n n x ! ! 2 1 2 n xx x n ),( x x e xsin xcos )ln(1x )1(x ),( x . . . . 第8页/共25页 ._ _,_ ,_ )( , (3) n n b a xf 其其中中系系数数 是是： 的的傅傅氏氏级级数数的的形形式式上上满满足足狄狄氏氏条条件件的的函

8、函数数在在 条条件件。 展展为为傅傅氏氏级级数数的的上上满满足足狄狄氏氏条条件件是是它它可可在在 上上满满足足狄狄氏氏条条件件是是指指在在 _ ,)( (2) ._ _,)( )1( xf xf f (x): 1o. 连续或只 有 有限个第一类间断点；2o. 至多有有限个极值点。 充 分 1 0 )sincos( 2 n nn nxbnxa a . ) , 2 , 1 , 0( dcos)( 1 nxnxxf ), 2 , 1 ( dsin)( 1 nxnxxf . . 第9页/共25页 ._ ,_ _,_ )( , )4( n n b a xfll 其其中中系系数数 的的形形式式是是： 的的

9、傅傅氏氏级级数数上上满满足足狄狄氏氏条条件件的的函函数数在在 ._ ._ )( , 0 )5( n b xf 其其中中系系数数 的的正正弦弦级级数数的的形形式式是是：上上函函数数在在 1 0 ) sin cos( 2 n nn l xn b l xn a a ) , 2 , 1 , 0( d cos)( 1 nx l xn xf l l l ) , 2 , 1 ( d sin)( 1 nx l xn xf l l l . . . 1 sin n n nxb ) , 2 , 1 ( dsin)( 2 0 nxnxxf . . 第10页/共25页 ._ )( , 0 (8) ._ )( , 0 )

10、7( ._ )( , 0 (6) n n n a xfl b xfl a xf 其其中中系系数数 的的余余弦弦级级数数的的形形式式是是：上上函函数数在在 其其中中系系数数 的的正正弦弦级级数数的的形形式式是是：上上函函数数在在 其其中中系系数数 的的余余弦弦级级数数的的形形式式是是：函函数数在在 1 0 cos 2 n n nxa a ) , 2 , 1 , 0( dcos)( 2 0 nxnxxf 1 sin n n l xn b) , 2 , 1 ( d sin)( 2 0 nx l xn xf l l 1 0 cos 2 n n l xn a a ) , 2 , 1 , 0( d cos

11、)( 2 0 nx l xn xf l l . . . . . . 第11页/共25页 答：如果仅要求在有限区间内把非奇函数展开成正弦级数， 是可以的。 例如： . ) , 0()(上上展展开开成成正正弦弦级级数数在在把把xf ),( 0( 新新函函数数在在内内补补充充函函数数的的定定义义，使使，可可以以在在 这就是奇延拓。 把F(x)按周期2延拓后展成正弦级数 . sin 1 n n nxb 则当 x(0, )时，这就是 f (x)的正弦级数。 . . 采用奇延拓的方法。 . 0 ),( 0 , 0 0 ),( )( xxf x xxf xF 即即：成成奇奇函函数数 . (9) 奇函数以外的

12、函数可以展开成正弦级数吗？ 第12页/共25页 ）（收敛收敛则则收敛收敛若若 ）（收敛收敛可以可以则则发散发散发散发散若若 ）（发散发散则则发散发散收敛，收敛，若若 ）（收敛收敛收敛，则收敛，则若若 ）（收敛收敛收敛，则收敛，则若若 ）（收敛收敛，则级数，则级数若若 ）（收敛，则收敛，则若级数若级数 ., 7 . )( , , 6 .)( , 5 .| 4 .| 3 .0lim 2 . 0lim 1 1 2 1 o 111 o 111 o 11 o 11 o 1 o 1 o n n n n n nn n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n nn n n n

13、 n n uu vuvu vuvu uu uu uu uu （是：；非：, 后者请举反例.） 1 1 1 )1( n n n . 例： 练习题解答 第13页/共25页 ）（，则此级数收敛，则此级数收敛满足满足若正项级数若正项级数 ）（收敛收敛绝对绝对则则收敛收敛收敛收敛若若 ）（且和不变且和不变收敛收敛则则收敛收敛若若 ）（收敛收敛 ）（收敛收敛必必则则发散，发散，若若 ）（必发散必发散则则收敛收敛若若 ）（收敛收敛则则收敛收敛若若 .1 14 ., , 13 ., , 12 . )0001. 0 1 ( 11 . 1 10 . 1 , 9 ., 8 1 1 o 11 2 1 2o 101 o

14、 1 2 o 11 o 11 o 11 2o n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n u u u baba uu n u u u u uu 例： 1 1 n n 1 1 1 n n u u n n . 第14页/共25页 1 ),(. , ,)( 3 xsxxxf函函数数为为若若它它的的付付立立叶叶级级数数的的和和 _,) 2 5 ( s则则._) 3( s 2 ._)6( _,) 2 7 ( ),( 20)( 21 , 1 10 , )( ssxs xf x xx xf 则则为为 弦弦级级数数的的和和函函数数的的余余，在在

15、设设， 8 2 . 0 . 2 1 1 . (正) ) 2 1 ( (0) . 二、填空题 第15页/共25页 1 ).0( 1 1 1 a a n n 的敛散性的敛散性判断级数判断级数 :1 a当当, 1 1 1 nn aa 收敛，收敛，因级数因级数 1 1 n n a . 原原级级数数收收敛敛 :1 a当当 :1 a当当 . 0 2 1 11 1 limlim n n n u. 原原级级数数发发散散 . 01 1 1 limlim n n n n a u. 原原级级数数发发散散 . . . . . . 解： 第16页/共25页 . 1)sin( 1 2 的敛散性的敛散性判断级数判断级数 n

16、n n n , 1)sin( 22 nn n 因因为为 收敛，收敛，而级数而级数 1 2 1 n n . )sin( 1 2 绝绝对对收收敛敛 n n n 发散，发散，而而 1 1 nn . 原级数发散原级数发散 . 解： 三 计算题 第17页/共25页 . ) ! 1 ( 1 n o n n n 时，时，当当 用用级级数数理理论论证证明明： ，考虑级数考虑级数 ! 1 n n n n n n n n u ! !)1( ! )1( limlim 1 1 n n n n u u n n n n n n n n n n ) 1 (lim 由比值法： . ! 1 收收敛敛级级数数 n n n n 由

17、收敛的必要条件： 0lim n n u 0 ! lim n n n n 即即： . . . . 1 e 1 解： . ) ! 1 ( 1 n o n n n 时，时，当当 第18页/共25页 . tan)1( )1( ), 2 , 0( . ) , 2 , 1( 0 1 2 1 1 的敛散性的敛散性级数级数 判断判断常数常数收敛收敛，且，且设设 n n n n n n n nn a n nu ana 收敛，收敛，级数级数 1 n n a. 1 2 收敛收敛级数级数 n n a n n a u n n n n tanlimlim 2 因因为为 . 1 2 1 同同收收敛敛与与级级数数级级数数 n

18、 n n n au . )1( 1 收敛收敛绝对绝对级数级数 n n n u . .解： .) ( 2 的子列的子列项和序列项和序列是前者前是前者前项和序列项和序列后者前后者前 nm snsm . （为什么？） 第19页/共25页 . 2 1 1 数数的的收收敛敛域域，并并求求其其和和函函求求级级数数 n n n n x , 2 1 lim 1 n n n a a R = 2解： 发散，发散，时，时，当当 12 1 2 n n x. 2 )1( 2 1 1 收敛收敛时，时，当当 n n n x ).2 , 2 x收收敛敛域域： 1 1 2 )( n n n n x xS设设 1 2 1 n n

19、 n n x x ) 2 1ln( 1x x 0 x 0 2 1 0 ) 2 1ln( 1 )( x x x x xS . . 展开式4 = （由原级数知.） 第20页/共25页 . 1 )( )2( )( (1) 6 34 )( 2 处处的的泰泰勒勒级级数数在在的的麦麦克克劳劳林林级级数数； ，试试求求：设设 xxfxf xx x xf 解： . . 2 1 3 3 )( xx xf 2 1 1 2 1 3 1 1 )( )1( xx xf 0 1 0 2 ) 3 ( n n n n n xx n n n n x 0 1 2 1 ) 3 1 ( )2 , 0( x . 1)1( 1 )1(4

20、 3 )( )2( xx xf )1(1 1 )1( 4 1 1 1 4 3 x x 00 )1()1() 4 1 ( 4 3 n n n nn xx n n n n x)1(1 4 )1(3 0 1 )2 , 2( x . . . . 第21页/共25页 解： . ! )1)(1( )!1( 11 的和的和的和函数，并求的和函数，并求求幂级数求幂级数 nn n n nn n nx , 0 1 limlim 1 na a n n n n . R 1 )!1( )S( n n n nx x 0 1 ! )1( n n n xn 0 ! )1( n n n xn x 0 1 ! n n n x x )e( x xx e )1( x xx 1 ! )1)(1( n n n