人教A版（2019）高中数学必修第一册5.4.2正弦函数、余弦函数的性质课件

1、5.4.2 正弦函数、余弦函数 的性质 【提问提问1 1】根据以前研究函数的经验，根据以前研究函数的经验， 都有哪些性质可以研究？ 定义域、值域、单调性、奇偶性、最值(极值)等等 另外，三角函数是刻画“周而复始”现角的数模型， 所以三角函数还要研究周期性 定义域都是R，值域都是-1，1 正弦函数 和余弦函数 的定义域和值域是什么？ 一、周期性 在图像上，横坐标每隔2个单位长度，就会出现纵坐标相同 的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律. xkxsin)2sin(由诱导公式可得， 即自变量 的值加上2的整数倍时所对应的函数值，与 所对 应的函数值相等. 数学上用周期性来定量地刻画这种

2、“周而复始”的规律. ，都有，使得对每一个存在一个非零常数定义域为一般地，设函数D,)(TxDxTDxf ),()(xfTxf且 叫做这个函数的周期常数就叫做周期函数，非零那么函数Txf)( 都是正弦函数的周期。 ，以及，个，例如周期函数的周期不止一6-4-2-642 的最小正期就叫做 小正数小的正数，那么这个最所有周期中存在一个最如果在周期函数 )( )( xf xf 2)0(2周期为都是它的周期，最小正且正弦函数是周期函数，kzkk 2)0(2周期为都是它的周期，最小正且余弦函数是周期函数，kzkk 附：今后本书中所涉及的周期，如果不加特别说明，都是指最小正周期 xysin31 2 ）（

3、、求下列函数的周期例 xy2cos)2() 62 1 sin(2)3( xy 2TT 4T 思考：你能发现这些函数的周期与解析式中 哪些量有关吗？前的系数有关与自变量x 2 )sin()(TxAxf的周期为函数 2 )cos()(TxAxf的周期为函数 RxxyRxxy RxxyRxxy ), 43 1 sin()4(), 3 2cos( 2 1 ) 3( ,4cos)2(, 4 3 sin) 1 ( . 2 求下列函数的周期： 3 8 4 3 2 , 4 3 1 T）解：（ 24 2 , 42 T）（ 2 2 , 23T）（ 6 3 1 2 , 3 1 4T）（ .) 2 7 (),3(.)

4、 1()(2 , 0 2)(. 4 2 的值求时， 数，且当为最小正周期的周期函是以设函数 ffxxfx Rxxf 0) 11 () 1 ()21 ()3( 2 fff解： 4 1 ) 1 2 3 () 2 3 ()2 2 3 () 2 7 ( 2 fff 二、奇偶性 正弦函数的图象关于原点对称 )(sin)sin()(xfxxxf 是奇函数xxfsin)( 余弦函数的图象关于y轴对称 )(cos)cos()(xfxxxf 是偶函数xxfcos)( xxyxxy xyxy cossin)4(sin)3( cos1)2(sin2) 1 ( . 3 函数？哪些是偶函数？下列函数中，哪些是奇 奇 偶

5、 奇 奇 三、单调性 x y 0 从最低到最高： 2 3 , 2 5 2 , 2 2 5 , 2 3 正弦函数的增区间： )(2 2 ,2 2 zkkk 其值从-1增大到1 xysin 三、单调性 x y 0 从最高到最低： 2 , 2 3 2 3 , 2 正弦函数的减区间：)(2 2 3 ,2 2 zkkk 其值从1减少到-1 xysin 三、单调性 x y 0 从最低到最高：2,30 ,2 , 余弦函数的增区间：)(2 ,2zkkk 其值从-1增大到1 从最高到最低： ,2, 03 ,2 余弦函数的减区间：)(2,2zkkk 其值从1减小到-1 xycos 三、单调性 x y 0 xyco

6、s x xcos 2 2 0 -1010-1 . 11_11 _,cos 减小到上单调递减，其值从；在区间增大到 上单调递增，其值从在区间函数xxy 0 , , 0 由余弦函数的周期性可得 . 11_ 11_ cos 减小到上单调递减，其值从每一个闭区间 ；增大到上单调递增，其值从每一个闭区间 余弦函数xy )(2 ,2Zkkk )(2,2Zkkk 四、最大值与最小值 x y 0 1 2 3 有最大值时，当yx 1 2 有最大值时，当yx 1 2 5 有最大值时，当yx 1_,sin时，取得最大值当且仅当正弦函数xxy 1 2 5 有最小值时，当yx 1 2 有最小值时，当yx 1 2 3 有

7、最小值时，当yx 1_时，取得最小值当且仅当x xysin Zkk,2 2 Zkk,2 2 四、最大值与最小值xycos x y 0 10有最大值时，当yx 1_,cos时，取得最大值当且仅当余弦函数xxy 1有最小值时，当yx 1_时，取得最小值当且仅当x Zkk,2 Zkk,2 .,2sin3)2( ;, 1cos) 1 ( . . 3 Rxxy Rxxy x 、最小值的集合，并求出最大值最小值时自变量 出取最大值、小值吗？如果有，请写下列函数有最大值、最例 ，有最大值时，（解：当1cos)2) 1 (xzkkx 21cos有最大值此时，xy ，有最小值时，当1cos)(2xzkkx 01

8、cos有最小值此时，xy 21cos,2|有最大值所以，当xyzkkxxx 01cos,2|有最小值当xyzkkxxx .,2sin3)2( ;, 1cos) 1 ( . . 3 Rxxy Rxxy x 、最小值的集合，并求出最大值最小值时自变量 出取最大值、小值吗？如果有，请写下列函数有最大值、最例 ，有最大值时，（即解：当12sin) 4 ,2 2 2)2(xzkkxkx 32sin3有最大值此时，xy 3-2sin3有最小值此时，xy 32sin3, 4 | 有最小值所以，当xyzkkxxx 32sin3,2 4 |有最大值当xyzkkxxx ，有最小值时，（即当12sin) 4 ,2

9、2 2xzkkxkx ., 3 cos2)2(;,sin2) 1 ( . . 2 Rx x yRxxy 求出最大值、最小值 集合，并值、最小值的自变量的求使下列函数取得最大 ；时，函数取得最大值当2,2 2 |) 1 (Zkkxxx . 2,2 2 |时，函数取得最小值当Zkkxxx ，有最大值时，（即当1 3 cos)6,2 3 )2( x zkkxk x ., 3 cos2)2(;,sin2) 1 ( . . 2 Rx x yRxxy 求出最大值、最小值 集合，并值、最小值的自变量的求使下列函数取得最大 ，有最大值时，（即当1 3 cos)6,2 3 )2( x zkkxk x ，有最小值

10、时，（即当1 3 cos)63,2 3 x zkkxk x ；有最小值时，1 3 cos2,6| x yZkkxxx . 3 3 cos2,63|有最大值时， x yZkkxxx ). 4 17 cos() 5 23 cos()2() 10 sin() 18 sin() 1 ( . 4 与；与 各组数的大小：不通过求值，比较下列例 分析：1、同一函数可以利用单调比较大小。 2、必须化在同一单调区间比较 0 18102 是单调递增在区间解： 0 , 2 sin) 1 ( xy ) 10 sin() 18 in( s ). 4 17 cos() 5 23 cos()2() 10 sin() 18

11、sin() 1 ( . 4 与；与 各组数的大小：不通过求值，比较下列例 5 3 cos) 5 3 4cos( 5 23 cos 5 23 cos2 ）解：（ 4 cos) 4 4cos( 4 17 cos 4 17 cos 5 3 4 0且,0cos上单调递减，在区间xy ) 4 17 cos() 5 23 cos( 5 3 cos 4 cos 即 .260sin250sin)2() 5 3 cos( 7 2 cos) 1 ( . 4 00 与；与 的大小：各组中两个三角函数值不通过求值，比较下列 5 3 cos) 5 3 cos() 1 ( 5 3 7 2 0 , 5 3 cos 7 2

12、cos ,0cos上单调递减，在区间xy ) 5 3 cos( 7 2 cos 即 .260sin250sin)2() 5 3 cos( 7 2 cos) 1 ( . 4 00 与；与 的大小：各组中两个三角函数值不通过求值，比较下列 0000 270260250180)2( .260sin250sin 00 单调递减在270,180sin 00 xy .2 ,2), 32 1 sin(. 5的单调递增区间求函数例 xxy Zkkxk,2 232 1 2 2 解：由 Zkkxk,4 3 4 3 5 22x 33 5 x 3 , 3 5 所求增区间为 ., 0), 4 2sin(3. 5的单调递减区间求函数 xxy Zkkxk,2 2 3 4 22 2 解：由 Zkkxk, 8 5 8 得 x0 8 5 8 x 8 5 , 8 所求减区间为 0cos)4(0cos)3(0sin)2(0sin) 1 ( . 1 xxxx x所在的区间：的线，写出满足下列条件观察正弦曲线和余弦曲 x y 0 x0 Zkkxk,22 Zkkk),2,2)(1 ( 0 x Zkkxk,22 Zkkk),2 ,2)(2( 小试牛刀 0cos)4(0cos)3(0sin)2(0sin) 1 ( . 1 xxxx x所在的区间：的线，写出满足下列条件观察正弦曲线和余弦曲 22 x Zkk