离散型随机变量的均值

1、新课标高中数学选修2-3 罗田一中高二数学组：余咏梅 刻画离散型随机变量取值的统计规律 离散型随机变量分离散型随机变量分布列布列 【引例引例】若若某某商场经理打算商场经理打算 在国庆节那天在商场外举行在国庆节那天在商场外举行 促销活动，如果不遇到雨天促销活动，如果不遇到雨天 可获得经济效益可获得经济效益1010万元，如万元，如 果遇到雨天则要损失果遇到雨天则要损失4 4万元，万元， 据据9 9月月3030日气象台预报国庆节日气象台预报国庆节 那天有雨的概率是那天有雨的概率是40%40%，如如 果你是经理如何决策果你是经理如何决策？ 观点一：赚多亏少，举行活动 观点二：下雨概率小，举行活动 按3

2、：2：1的比例混合 18 kg 元 混合糖果中每一粒糖果的质量都相等 24 kg 元 36 kg 元 定价为混合糖果的平均价格才合理定价为混合糖果的平均价格才合理 【问题问题1】 18+24+36 =26 3 定价为（元/kg) 分析：分析：每每1kg混合糖果中，分别含三种糖果的质量混合糖果中，分别含三种糖果的质量 为：为： 111 , 236 kgkgkg 111 18243623) 236 （元 所以混合糖果的合理定价应为所以混合糖果的合理定价应为 权权 数数 按3：2：1的比例混合 18 kg 元 24 kg 元 36 kg 元 加加 权权 平平 均均 值值 分析分析：在混合糖果中，任取

3、一颗糖果，这颗糖果为：在混合糖果中，任取一颗糖果，这颗糖果为 第第1、2、3种糖果的概率分别为：种糖果的概率分别为： 1 1 1 , 2 3 6 用用X表示这颗糖果的价格表示这颗糖果的价格,你能求出它的分布列吗？你能求出它的分布列吗？ 按3：2：1的比例混合 18 kg 元 混合糖果中每一粒糖果的形状一样，质量都相等 24 kg 元 36 kg 元 【问题问题1】 用用X表示这颗糖果的价格，表示这颗糖果的价格，X的分布列为：的分布列为： X 18 24 36 P 1 2 1 3 1 6 混合糖果的合理定混合糖果的合理定价为价为 18(18)24(24)36(36)P XP XP X 随机变量随

4、机变量的取值与相应的取值与相应 概率乘积之和概率乘积之和 111 182436 236 糖果的平均糖果的平均 价格价格 一般地,若离散型随机变量X的概率分布列为 X P i p 2 x 2 p n p i x 1 x 1 p n x 1122 () iinn E Xx px px px p 则称 为随机 变量X的均值或数学期望。 它反映了离散型随机变量 取值的平均水平。 均值平均水平 随机变量 的均值 与 可能取值的平 均值相同吗 的分布列 321 18243623 666 E均值： 182436 26 3 x 可能取值的算术平均值为 182436 P 6 12 6 3 6 反映了离散型 随机

5、变量取值 的平均水平 按3：2：1的比例混合 18 kg 元 24 kg 元 36 kg 元 【引例引例】若此商场经理打算在国庆节那天在商场外举行若此商场经理打算在国庆节那天在商场外举行 促销活动，如果不遇到雨天可获得经济效益促销活动，如果不遇到雨天可获得经济效益1010万元，如万元，如 果遇到雨天则要损失果遇到雨天则要损失4 4万元，据万元，据9 9月月3030日气象台预报国庆日气象台预报国庆 节那天有雨的概率是节那天有雨的概率是40%40%，如何决策？如何决策？ 记“可获得的经济效益为随分：机变量析” ) 101044 = 4.4PP 则：E(=（） （） （）(万元） 10-4 P0.6

6、0.4 估计此商场国庆节那天估计此商场国庆节那天平均平均可获得的经济效益可获得的经济效益 例例1 随机抛掷两枚均匀的骰子，求所得两枚随机抛掷两枚均匀的骰子，求所得两枚 骰子的点数之和骰子的点数之和X的均值的均值 解：随机变量X的取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 其分布列为 所以随机变量X的均值为E(X)= 45654321 5+6+78+9+10+11+12=7 3636363636363636 你能归纳求离散型随机变量均值的步骤吗? X2345678910 11 12 P 1 36 1 36 2 36 2 36 3 36 3 36 4 36 4 36 5 36 5 36

7、 6 36 123 2+3+4+ 363636 123456 1234567 2345678 3456789 45678910 567891011 6789101112 求离散型随机变量的均值步骤： 例例2. 2. 有有场赌博，规则如下：如掷一个骰子场赌博，规则如下：如掷一个骰子， 出出现现1 1，你，你赢赢8 8元元； 出出现现2 2或或3 3或或4 4，你输，你输3 3元元； 出出现现5 5或或6 6，不输不赢这场赌博对你是否有利，不输不赢这场赌博对你是否有利? ? 1111 ( )830 . 6236 E 对你不利对你不利! !劝君莫参加赌博劝君莫参加赌博. . 1 1）若你参加）若你参

8、加10001000场这样的赌博，你最后获利多少？场这样的赌博，你最后获利多少？ 2 2）若每天有）若每天有10001000场这样的赌博，老板获利多少？场这样的赌博，老板获利多少？ 1.1.离散型随机变量离散型随机变量 X 的概率分布列为的概率分布列为 求求X的均值的均值. . 0 0.1+1 0.2+2 0.3+3 0.2+4 0.1+5 0.1 2 3 E(X)= . 解解： X012345 P0.10.20.30.20.10.1 2 2、随机变量、随机变量 的分布列是的分布列是 47910 P0.3ab0.2 E=7.5,则则a = b = .0.10.4 3. 3.一次小测验由一次小测验

9、由3 3道题目构成，每道题道题目构成，每道题1010分，分， 学生甲做对题目个数的分布列为学生甲做对题目个数的分布列为 0123 P0.10.50.30.1 (1) (1) 甲做对题目个数的期望甲做对题目个数的期望 (2) (2) 写出学生甲得分写出学生甲得分 的分布列的分布列 (3) (3) 甲得分的期望甲得分的期望 0 0.1 1 0.5 2 0.3 3 0.1 1.4E（ ）=+= 0 0.1 10 0.5 20 0.3 30 0.1 14E（ ）=+= 猜想猜想：如果：如果 是随机变量，是随机变量，a,ba,b是常数，是常数， 随机变量随机变量 =a=a +b,+b,则则E(E( )=

10、E(a)=E(a +b)=+b)=aEaE( ( )+b)+b P i p 2 x 2 p n p i x 1 x 1 p n x P 1 axb 2 axb n axb 1 p 2 p n p i axb i p 合情猜想合情猜想 如果如果 是随机变量，是随机变量，a,ba,b是常数，是常数， 随机变量随机变量 =a=a +b,+b,则则E(E( )=E(a)=E(a +b)=+b)=aEaE( ( )+b)+b P 1 axb 2 axb n axb 1 p 2 p n p i axb i p 证明：证明： 1122 1 12212 ()()() ()() (.)即 nn nnn Eaxb paxb paxb p a x px px pb ppp aEababEEb 一般地,若离散型随机变量X的概率分布列为 X P i p 2 x 2 p n p i x 1 x 1 p n x 则称 为随机变量X 的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平 1122iinn EXx px px px p 决策问题、风险评估等问题 彩球游戏彩球游戏准备一个布袋，内装准备一个布袋，内装6 6个红球与个红球与6 6个白球，除颜色个白球，除颜色 不同外，六个球完全一样，每次从袋中摸不同外，六个球完全一样，每次从袋中摸6 6个球，输赢的个球，输赢的 规则为：规则为