二面角的定义[教师教材]

1、二面角 1青苗辅导 一一、二面角的定义二面角的定义 从空间一直线出发的从空间一直线出发的 两个半平面所组成的两个半平面所组成的 图形叫做二面角。图形叫做二面角。 二面角二面角 2青苗辅导 二面角的平面角二面角的平面角 角角 的平面角的平面角 一个平面垂直于二面角一个平面垂直于二面角 的棱，并与两半平的棱，并与两半平 面分别相交于射线面分别相交于射线PA、PB 垂足为垂足为P，则，则APB叫做二面叫做二面 A B P 二面角二面角 3青苗辅导 二二、二面角的求法、二面角的求法 1 1、直接法、直接法： 定义法定义法: a 以二面角的棱以二面角的棱a上任意一点上任意一点O为端点，在两个面内分别作垂

2、直于为端点，在两个面内分别作垂直于a 的两条射线的两条射线OA,OB，则，则AOB就是此二面角的平面角就是此二面角的平面角。 O A B 在一个平面在一个平面 内选一点内选一点A A向另一平面向另一平面 作垂线作垂线ABAB，垂足为，垂足为B B， 再过点再过点B B向棱向棱a a作垂线作垂线BOBO，垂足为，垂足为O O，连结，连结AOAO，则，则AOBAOB就是就是 二面角的平面角。二面角的平面角。 A B O 垂面法垂面法: a 过二面角内一点过二面角内一点A A作作AB AB 于于B B，作，作AC AC 于于C C，面，面ABCABC交棱交棱a a于点于点 O O，则，则BOCBOC

3、就是二面角的平面角。就是二面角的平面角。 A B C O 三垂线定理法三垂线定理法: a 二面角的求法 4青苗辅导 A BC O cos()= S S 射 M N 三角形ABC在平面 N内的射影为BCO 三角形ABC的面积 为S，三角形BCO的 面积为S射 面积法 5青苗辅导 例例1. 在棱长为在棱长为a的正方体的正方体 ABCDA1B1C1D1中，中， 求求（1）平面平面C1BD与平面与平面 ABCD所成角的大小；所成角的大小； （2）二面角二面角AB1D1C 的大小。的大小。 例题分析例题分析 A1 A C1 B C B1 D1 D P O 6青苗辅导 例例2.2.如图，已知如图，已知P

4、P是二面角是二面角-ABAB-棱上一点，过棱上一点，过P P分分 别 在别 在 、 内 引 射 线内 引 射 线P MP M 、 P NP N， 且， 且 M P N = 6 0 M P N = 6 0 BPM=BPN=45BPM=BPN=45 ，求此二面角的度数。，求此二面角的度数。 A B P M N C D O 解解： 在PB上取不同于P 的一点O， 在内过O作OCAB交PM于C， 在内作ODAB交PN于D， 连CD，可得 COD是二面角-AB-的平面角 设PO = a ，BPM =BPN = 45 CO=a， DO=a， PC a ， PD a 22 又MPN=60 CD=PC a 2

5、 COD=90 因此，二面角的度数为因此，二面角的度数为90 a O P C 二面角 7青苗辅导 例例3 3如图如图P P为二面角为二面角 内一点，内一点，PA,PBPA,PB,且且 PA=5PA=5，PB=8PB=8，AB=7AB=7，求这二面角的度数。，求这二面角的度数。 过过PA、PB的平面的平面PAB与与 棱棱 交于交于O点点 PA PA PB PB 平面PAB AOB为二面角的平面角 又PA=5，PB=8，AB=7 2 1 cosP由余弦定理得由余弦定理得 P= 60 AOB=120 这二面角的度数为这二面角的度数为120 解：解： A B P O 二面角 8青苗辅导 O A B P

6、 C 取取AB 的中点为的中点为E，连连PE，OE O为为 AC 中点中点， ABC=90 OEBC且且 OE BC 2 1 2 2 2 1 在RtPOE中， OE ，PO 2 2 tanPEO 2 2 所求的二面角所求的二面角P-AB-C 的正切值为的正切值为 例例4 4如图，三棱锥如图，三棱锥P-ABCP-ABC的顶点的顶点P P在底面在底面ABCABC上的射影上的射影 是底面是底面RtRtABCABC斜边斜边ACAC的中点的中点O O，若，若PB=AB=1PB=AB=1， BC= BC= ，求二面角，求二面角P-AB-CP-AB-C的正切值的正切值。 2 PEO为二面角为二面角P-AB-

7、C 的平面角的平面角 2 3 在在RtPBE中中，BE ，PB=1，PE 2 1 OEAB ，因此因此 PEAB E 解：解： EO P 二面角 9青苗辅导 例5 已知：RtABC中，AB=AC=a，AD是斜边BC上的 高，以AD为折痕使BDC成直角。 求证： 平面ABD平面BDC，平面ACD平面BDC BAC = 60 。 证明：证明： 在图乙中在图乙中 ADBD，ADDC， AD平面平面BDC， 平面平面ABD平面平面BDC， 在图甲中在图甲中 AB=AC=a，BAC=90 。 在图乙中在图乙中 ABC是等边三角形是等边三角形 BAC=60。 。 平面平面ACD平面平面BDC。 又又AD

8、平面平面ABD，AD 平面平面ACD， BD=DC=BC/2=2/2 D B A C A D BC (甲图） （乙图） 10青苗辅导 例6、如图，设E为正方体的边CC1的中点，求平面 AB1E和底面A1B1C1D1所成角的余弦值。 AB1E在底面A1B1C1D1上的射影为A1B1C1，故这两个 平面所成二面角的余弦值为 3 2 1 111 EAB CBA S S A B C D A1 B1 C1 D1 E M 11青苗辅导 A B C A1 B1 C1 例7：在直三棱柱ABCA1B1C1中， BAC=900，AB=BB1=1，直线B1C与 平面ABC成300角，求二面角BB1C A的正弦值 N

9、 Q 分析：易知，平面ABC与 平面BCC1B1垂直故可由面 面垂直的性质来寻找从一 个半平面到另一个半平面 的垂线。 12青苗辅导 解：由直三棱柱性质得平面ABC 平面BCC1B1， 过A作AN 平面BCC1B1，垂足为N，则AN 平 面BCC1B1，（AN即为我们要找的垂线）在平面 BCB1内过N作NQ棱B1C，垂足为Q，连QA，则 NQA即为二面角的平面角。 AB 1在平面ABC内的射影为AB，CAAB， CAB1A，AB=BB1=1，得AB1= 。直线B1C与 平面ABC成30 0 角，B 1 CB=30 0 ，B 1 C=2， RtB1AC中，由勾股定理得AC= ，AQ=1。 在Rt

10、BAC中，AB=1，AC=，得AN= 。 sinAQN= 。即二面角BB1CA的正弦值为 。 3 6 3 6 3 6 2 2 13青苗辅导 1、如图，、如图，AB是圆的直径，是圆的直径，PA垂垂 直圆所在的平面，直圆所在的平面，C是圆上任一是圆上任一 点，则二面角点，则二面角P-BC-A的平面角为的平面角为: A.ABP B.ACP C.都不是都不是 练练 习习 2、已知、已知P为二面角为二面角 内一内一 点，且点，且P到两个半平面的距离都等到两个半平面的距离都等 于于P到棱的距离的一半，则这个二到棱的距离的一半，则这个二 面角的度数是多少？面角的度数是多少？ p A B O A B C P

11、60 二面角 14青苗辅导 二二、二面角的平面角二面角的平面角 一一、二面角的定义二面角的定义 从空间一直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二面角 1、定义、定义 2、求二面角的平面角方法、求二面角的平面角方法 点点P在棱上在棱上 点点P在一个半平面上在一个半平面上 点点P在二面角内在二面角内 A B P 小小 结结 A B p p A B p A B O 定义法定义法 三垂线定理法三垂线定理法 垂面法垂面法 二面角 15青苗辅导 几点说明几点说明： 定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个顶点）向棱定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个顶点）向棱 作垂线，再由垂足在另一个

12、面内作棱的垂线。此法得出的平面角在任作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。此法得出的平面角在任 意三角形中，所以不好计算，不是我们首选的方法意三角形中，所以不好计算，不是我们首选的方法。 三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个顶点）向另三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个顶点）向另 一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这个点和棱上垂足。此法一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这个点和棱上垂足。此法 得出的平面角在直角三角形中，计算简便，所以我们常用此法得出的平面角在直角三角形中，计算简便，所以我们常用此法。 垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这一点不好选垂

13、面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这一点不好选 择，所以此法一般不用择，所以此法一般不用。 以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。 间接法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射影面积公间接法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射影面积公 式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式,这种方法虽然避免这种方法虽然避免 了找平面角，但计算较繁，所以不常用了找平面角，但计算较繁，所以不常用。 二面角的求法 16青苗辅导 A B C D AB=AD， BC=CD 已知三个侧面的顶 角,求相邻两个侧 面所成的角 注意一些 全 等 三角形或 相 似 三角形 17青苗辅导 ,PAB 已知:四棱锥P-ABCD的底面ABCD是AB=2,BC= 2的矩形 侧面是等边三 角形,且侧面PAB底面ABCD.求平面