第六章定积分

1、第六章定积分1 定积分的计算定积分的计算 定积分的概念和性质定积分的概念和性质 换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法 基本公式基本公式 定积分的应用定积分的应用 求平面图形的面积求平面图形的面积 主要内容主要内容 求旋转体的体积求旋转体的体积 无穷区间上无穷区间上 的广义积分的广义积分 无界函数无界函数 的广义积分的广义积分 第六章定积分2 a bxo 一、定积分概念和性质一、定积分概念和性质 时，时，若当若当 n 的的选选择择，则则称称此此极极限限限限不不依依赖赖于于和和式式极极限限存存在在，且且此此极极 i ,)(上上定义在定义在设函数设函数baxf ，等等分分区区间间用用分分点点,

2、baxi , 210 bxxxxa n , 1 n ab xxx iii 令令 任取任取 , 1iii xx i ，作和式作和式 i n i i xf 1 )( )(xf为为在区间在区间,ba上的定积分上的定积分,（简称积分）（简称积分） 1 x i x 1i x b a xxfd)( 即即 b a xxfd)( n ab fxf n i i n i n i i n 11 )(lim)(lim 此时称此时称 f ( x ) 在在 a , b 上可积上可积 . 记作记作 第六章定积分3 b a xxfd)( i n i i n xf 1 )(lim 积分上限积分上限 积分下限积分下限 被积函数被

3、积函数 被积表达式被积表达式 积分变量积分变量 积分和积分和 称为积分区间,ba 第六章定积分4 b a xxfd)(是是一一个个数数值值, ,它它只只与与被被积积函函数数)(xf与与积积 分分区区间间,ba有有关关, ,而而与与积积分分变变量量用用什什么么字字母母无无关关, ,如如 说明：说明： b a xxfd)( b a ttfd)( b a uufd)( 1. 2. 有界有界是可积的必要条件是可积的必要条件, ,无界函数一定不可积；无界函数一定不可积； 3. 可积的充分条件：可积的充分条件： 上连续上连续在在函数函数,)(baxf .,)(可积可积在在baxf 第六章定积分5 对定积分

4、的补充规定对定积分的补充规定: （1）当当ba 时时，0)( b a dxxf； 说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在下面的性质中，假定定积分都存 在，且在，且如非特殊说明，如非特殊说明，不考虑积分上下限不考虑积分上下限 的大小的大小 定积分的性质：定积分的性质： 第六章定积分6 b a dxxgxf)()( b a dxxf)( b a dxxg)(. （此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况） 性质性质1 1 b a b a dxxfkdxxkf)()( (k为为常常数数). 性质性质2 2 b a dxxf)( b c c a dxxfdx

5、xf)()(. 说明：不论说明：不论 的相对位置如何的相对位置如何, 上式总成立上式总成立.cba, （定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性） 性质性质3 3 第六章定积分7 如如果果在在区区间间 ,ba上上0)( xf， 则则0d)( xxf b a . . )(ba 性质性质4 4 性质性质5 5 .d1abx b a 推论：推论： 则则dxxf b a )( dxxg b a )(. . )(ba 如如果果在在区区间间,ba上上)()(xgxf ，（1） dxxf b a )(dxxf b a )(.)(ba （2） 第六章定积分8 设设M及及m分别是函数分别是函

6、数)(xf在区间在区间 ,ba 上上的的最最大大值值及及最最小小值值, ,则则 性质性质6 6（估值定理）（估值定理） . )(d)()(abMxxfabm b a 如如果果函函数数)(xf在在闭闭区区间间,ba上上连连续续， 则则在在积积分分区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ， 使使dxxf b a )()(abf . . )(ba 性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理） 第六章定积分9 x a dttfx)()( 称称 为变上限积分为变上限积分 1 1、变上限积分函数及其导数、变上限积分函数及其导数 二、定积分的计算二、定积分的计算 函数或积分上限函数函数或积分上

7、限函数 变上限变上限积分积分函数的性质：函数的性质： 第六章定积分10 注注1. 此定理表明连续函数取变上限定积分再对此定理表明连续函数取变上限定积分再对 上限自变量上限自变量 x求导，其结果就等于被积求导，其结果就等于被积 函数在上限自变量函数在上限自变量x处的函数值。处的函数值。 2. b x ttf x d)( d d )(xf d)( d d x b ttf x x b ttf x d)( d d 3. )( )()(d)( d d xa a xaxafttf x )( )( d)( d d xb xa ttf x )()()()(xaxafxbxbf d)(d)( d d )( 0

8、)( 0 xaxb ttfttf x d)(d)( d d 0 )( )( 0 ttfttf x xa xb 4. 5.0d)( d d b a xxf x 第六章定积分11 2 2、定理、定理（微积分基本公式）（微积分基本公式） 注意注意 当当ba 时，时，)()()(aFbFdxxf b a 仍成立仍成立. 第六章定积分12 定理定理6.5 设函数设函数f(x)在区间在区间a,b上连续，作代换上连续，作代换 满足下列条件：满足下列条件： ，ba )(,)( )(tx 上述公式称为定积分的换元积分公式，简称换元公式上述公式称为定积分的换元积分公式，简称换元公式. (2)当当t在在与与之间变化

9、时，之间变化时， 单调变化，且单调变化，且 .d)()(d)( tttfxxf b a )(t ；上有连续导数上有连续导数在某一闭区间在某一闭区间）（)(,)(1tt 则：则： 3、 定积分的换元法定积分的换元法 第六章定积分13 说明说明： (1)定积分的换元法在换元后，积分上，下限也要作相定积分的换元法在换元后，积分上，下限也要作相 应的变换，即应的变换，即“换元必换限换元必换限”. (2)在换元之后，按新的积分变量进行定积分运算，不在换元之后，按新的积分变量进行定积分运算，不 必再还原为原变量必再还原为原变量. (3)新变元的积分限可能新变元的积分限可能，也可能，也可能，但一定要求，但一

10、定要求 满足满足 ，ba )(,)( t即即 ；对应于对应于ax t . bx 对对应应于于 .d)()(d)( tttfxxf b a （4）换元积分法常用来证明定积分的等式）换元积分法常用来证明定积分的等式 第六章定积分14 4、 定积分的分部积分法定积分的分部积分法已积出的部分要求值已积出的部分要求值 b a b a b a uvuvvud|d 第六章定积分15 1.1.求平面图形的面积求平面图形的面积 三三. .定积分的应用定积分的应用 （1 1）. .以以x轴为底边的曲边梯形的面积轴为底边的曲边梯形的面积 第六章定积分16 a b )( xf x y 0 ； b a xxfAxfd)

11、(,0)( ab )(xf x y 0 ； b a xxfAxfd)(,0)( 第六章定积分17 若若f (x)有正有负有正有负,则曲边梯形面积为则曲边梯形面积为 .d)( b a xxfA )(xfy x y oa b 第六章定积分18 ； b a yyAyd)(,0)( a b )(yx x y 0 ； b a yyAyd)(,0)( .d)(A b a yy （2 2）. .以以y轴为底边的曲边梯形的面积轴为底边的曲边梯形的面积 b )(yx x y 0 a )(yx y x b a 第六章定积分19 特别，特别， 时时,)()(xgxf x y oa b )(xfy )(xgy b a

12、 xxgxfAd)()( 第六章定积分20 围成的平面图形的面积，围成的平面图形的面积， , )()(yy 如如果果 .d)()( d c yyyA d cx y o )(yx )(yx 第六章定积分21 a box y )(xfy 旋转体的体积为旋转体的体积为 b a b a xy xxfV d d)( 2 2 （1 1）以）以x轴为底边的曲边梯形绕轴为底边的曲边梯形绕x轴旋转轴旋转 x 2 2、旋转体的体积、旋转体的体积 第六章定积分22 x y o )(yx c d d c d c yx yyV d d)( 2 2 （2 2）以）以y轴为底边的曲边梯形绕轴为底边的曲边梯形绕y轴旋转轴旋转

13、 （3 3）以）以x轴为底边的曲边梯形绕轴为底边的曲边梯形绕y轴旋转轴旋转 b a y xxxfVd)(2 第六章定积分23 a dxxf)( b a b dxxf)(lim 1 1、无穷区间上的广义积分、无穷区间上的广义积分 四、广义积分四、广义积分 a xxfd)( a xF)( b xxfd)( b xF )( )()(limaFxF x )(lim)(xFbF x 第六章定积分24 b xxfd)( a a xxfxxfxxfd)(d)(d)( a xxfd)( a xF)( b xF )( a xF)( a xF )( )()(limaFxF x )(lim)(xFbF x 第六章定

14、积分25 b a dxxf)( b a dxxf )(lim 0 2 2、无界函数的广义积分、无界函数的广义积分 b a dxxf)( b a xF)( )(lim)(xFbF ax b a dxxf)( b a xF)( )()(limaFxF bx b a dxxf)( c a dxxf)( b c dxxf)( 第六章定积分26 例 题 例：设例：设f(x)是连续函数，是连续函数， 1 0 d)(2)(ttfxxf ，求，求f(x). P57.二二.5 1 0 d)(ttfA设设 解：解： A2)( xxf则则 两边取定积分得：两边取定积分得： dxxA 1 0 A2 ,d)( 1 0

15、xxf 1 0 2 )2 2 (Ax x A2 2 1 , 2 1 A . 1)( xxf 第六章定积分27 例 题 例：例： 求求 P57.二二.6 解：解： . tansin lim 1 cos 0 2 xx dte x t x 2 cos 1 0 2 lim x dte x t x 原式原式 x xe x x 2 )(cos lim 2 )(cos 0 x xe x x 2 sin lim 2 )(cos 0 2 lim 2 )(cos 0 x x e . 2 1 e 第六章定积分28 例 题 例：例： .d)( 0 有有关关与与积积分分 t s xtxftI P56.一一.14 解：解

16、： t s xtxftI 0 d)( t u x utx du 1 )( t uft s 0 s uf 0 du)( s 第六章定积分29 例 题 例：例：.d)()( a a xxfxfx P56.一一.16 解：解： 0 )()()(xfxfxxF 设设 )()()(xfxfxxF 则则)(xF 是奇函数是奇函数)(xF 第六章定积分30 2 2 4 2 dcos 1 sin xx x x M 例 题 例：例：,dcos 1 sin 2 2 4 2 xx x x M P56.一一.17 解：解： ,d)cos(sin 2 2 43 xxxN .,d)cossin( 2 2 432 则则 x

17、xxxP 0 2 2 43 d)cos(sin xxxN 2 2 4 dcos xx 2 2 432 d)cossin( xxxxP 2 2 4 dcos xx 0 0 NMP 第六章定积分31 例例 0 2 dexx x . . 解解 2 0 2 dexx x 0 2 de x x 0 0 2 de2exxx xx x x x elim 2 x x x e lim 2 x x x e 2 lim x x e 2 lim 0 0 de2 x x 0 e2 x 0 0 de2e2xx xx .2 例 题 第六章定积分32 求求 5ln 0 d 3e 1ee x x xx . . 例例 解解 令令

18、 t x 1e， , )1ln( 2 tx 2 0 22 2 d 1 2 4 )1( t t t t tt 原式原式 2 0 2 2 d 4 2t t t 2 0 2 2 d 4 44 2t t t 2 0 ) 2 arctan2(2 t t .4 例 题 第六章定积分33 例例 1 0 dlnxx 1ln 1 0 xx 1 1 ln lim 0 x x x )ln(lim1 0 xx x 1 例 题 第六章定积分34 求求由由xyxy 2,及及 x 轴轴所所围围成成的的图图形形的的面面积积 及及它它绕绕 y 轴轴旋旋转转而而成成的的旋旋转转体体体体积积 解解 例例 6 5 d)2( 1 0 yyyS 6 11 d)(d)2( 1 0 2 1 0 2 yyyyVy xy x y oxy 2 )1, 1( 例 题 6 5 d)2(d 2 1 1 0 2 xxxxS或或 6 11 )d-(22d2 2 1 1 0 2 xxxxxxVy或或 第六章定积分35 设设)(),(xgxf在在区区间