向量难题附加解析

1、2016年02月12日高中数学组卷一选择题（共4小题）1. （2015*天津校级一模）在AABC中，E, F分别为AB, AC的中点，P为EF上的任一点，实数x, y满足页+匚西+尼匚5，设AABC. PBC, A PCA. PAB的而积分别为S, Si， S2, S3，记一占二入,二入2，=3*则入2入3取到最大值时，2x+y的值为（）A. - 1 B1 C一鱼D.鱼2 22. （2015*哈尔滨校级三模）已知O为正三角形ABC内一点，且满足（1+九）OC=0*若ZkOAB的而积与 OAC的面积比值为3,则入的值为（）A丄 B1 C2 D3，则23. （2014安庆三模）如图所示，设P为AA

2、BC所在平而内的一点，并且 ABP与厶ABC的而积之比等于（）RD.4. （2013*重庆）在平面上，画丄肓耳，Iob7I=IoBI=1* AP=Ab7+AB-若IOP|V寺 则I玉I的取值范囤是（）二.填空题（共6小题）5. （2011天津）已知直角梯形 ABCD 中，ADII BC, Z ADC=90, AD=2, BC=1 P 是腰 DC 上的动点，则|PA+3PB |的最小值为6. （2012*湖南）如图，在平行四边形ABCD中，AP丄BD,垂足为P,且AP二3,则APAC=7. （2014余杭区校级模拟）如图，ABCD是边长为4的正方形，动点P在以AB为直径的圆弧APB上，则PC-T

3、O的取值范围是ABAC=-2 则 I AD I 的最8. （2014韶关模拟）已知AD是A ABC的中线，若Z A=120%小值是 9（2010武昌区模拟）AABC的面积为1, =a5 AC二b，P为AABC内一点，且BP=ib -a则厶BCP的而积为36AD二5, CP=3PD APBP=2,10. （2014*江苏）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB二&则亦工6的值是2016年02月12日MISAYA的高中数学组卷畚考答案与试題解析一.选择题（共4小题）1.（2015*天津校级一模）在AABC中，E, F分别为AB, AC的中点，P为EF上的任一点， 实数x, y满足页+匚西+尼二6

4、设AABC, PBC, A PCA, A PAB的而积分别为S, Si，S2, S3，记一占二入,一孑二入2，T=3*则入2入3取到最大值时，2x+y的值为（）A. - 1 B. 1 C. 一总 D.总2 2【考点】平面向疑的基本世理及其意义；三角形的面积公式.【专题】计算题：压轴题；不等式的解法及应用：平面向量及应用.【分析】根据三角形中位线的性质，可得P到BC的距离等于 ABC的BC边上髙的一半，从而得到S1=1S=S2+S3.由此结合基本不等式求最值，得到当入2入3取最大值时点P在EF的中点.再由向量的加法的四边形法则，算出2PA+PB+PC=0.结合已知条件的等式，可求 出x、y的值，

5、从而算出2x+y的值.【解答】解：由题意，可得 EF是 ABC的中位线,/. P到BC的距离等于 ABC的BC边上高的一半，可得Si=is=S2+S32S2+S32So S 3 I 0 丿 I由此可得入2入3二亠二勺=丄S2S216当且仅当S2=S3时，即P为EF的中点时，等号成立. PE+PF=O由向量的加法的四边形法则可得，PA+re=2PE. PA+PC=2PF 两式相加,得2PA+PB+PC二0由已知 WpA+PB+yPc.根据平而向疑基本泄理，得x=y=l.从而得到2x+y=综上所述，可得当入2入3取到最大值时，2x+y的值为卫2故选：D【点评】本题给出三角形中的向量等式，在已知而积

6、比入2.入3的积达到最大值的情况下求 参数X、y的值，着重考查了运用基本不等式求最值、平面向量的加法法则和平而向量基本 龙理等知识，属于中档题.2. （2015哈尔滨校级三模）已知0为正三角形ABC内一点，且满足（1+九）龙二6若aoab的而积与 OAC的而积比值为3,则入的值为（）A丄 B1 C2 D32【考点】向量在几何中的应用；平面向量的基本立理及其意义.【专题】计算题；压轴题.【分析】如图D, E分别是对应边的中点，对所给的向量等式进行变形，根据变化后的条件得到玉二-丸丽；由于正三角形ABC,结合题目中的面积关系得到五电免，.由3可得0分DE所成的比，从而得出入的值.【解答】解:0A+

7、XQB+ （1+X） oc=0变为 OA+OC + （OB+OC）二6如图，D, E分别是对应边的中点，由T行四边形法则知玉+H二2玉，X（OB+OC）=2 0D故菖二-丸丽I在正三角形ABC中， SAAOC 巧SAAOBX_2 X Saabc飞且三角形AOC与三角形ADC同底边AC,故0点到底边AC的距离等于D到底边AC的距离的三分之一， 故运=4缸，=0E= - 0D32由得已故选A【点评】三角形面积性质：同（等）底同（等）髙的三角形而积相等：同（等）底三角形而 积这比等于高之比；同（等）高三角形而积之比等于底之比.4. （2013*重庆）在平面上，云所丄丽p IoKI=IOBI=1* A

8、P=AB+AiB-若IOP|vg， 则|玉|的取值范围是（）【考点】向量在几何中的应用：平而向量的基本立理及其意义.【专题】压轴题；平面向呈:及应用.【分析】建立坐标系，将向量条件用等式与不等式表示，利用向量模的计算公式，即可得到 结论.【解答】解：根据条件知A, Bi，P, B2构成一个矩形AB1PB2,以ABi, AB2所在直线为坐 标轴建立直角坐标系，设|ABi|=a, |AB2|=b,点O的坐标为（x, y）,则点P的坐标为（a, b）,由 |obl |=|ob2|= 得x - a ) 2 + y2=l()2=l-y2(y-b)I OPI - (x - a ) 2+ (y _ b )-

9、 x2+y2|.(x - a) 2+y2=l /. y2=l - (x - a) 21, y2l 同理x2.x2+y22由矢口 I丽勺/+/, a L|0A| P 是腰 DC 上 的动点，则|PA+3PB I的最小值为5【考点】向量的模.【专题】平面向虽:及应用.【分析】根据题意，利用解析法求解，以直线DA, DC分别为x, y轴建立平而直角坐标系, 则 A (2, 0), B (1, a), C (0, a), D (0, 0),设 P (0, b) (0b a), C (0, a), D (0, 0)设 P (0, b) (0b由向量的数量积的立义可知，AP AC=|AP| ACIcosZ

10、 PAO=3x6=18故答案为：18【点评】本题主要考查了向量的数量积的龙义的应用，解题的关键在于发现规律:ACxcosZ OAP=2xAOcosZ OAP二2AP 7. （2014*余杭区校级模拟）如图，ABCD是边长为4的正方形，动点P在以AB为直径的圆弧APB上，则PCPD的取值范围是.0, 16【考点】平面向屋:数量积的运算.【专题】计算题：综合题；压轴题.【分析】以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图坐标系，可得C (2, 4), D(-2,4), P(2cosa, 2sina),得到PC、PD坐标，用向量数量积的坐标公式化简，得PC-PD=16-16sina,再结合a曰0

11、, r,不难得到瓦瓦的取值范围.【解答】解：以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图坐标系则圆弧 APB 方程为 x2+y2=4, (y0), C (2, 4), D ( 2, 4)因此设 P (2cosa, 2sina), aV0, nPC= (2 - 2cosa, 4 - 2sina), PD= ( - 2 - 2cosa 4 - 2sina)由此可得PC PD=(2-2cosa) ( - 2 - 2cosa) + (4 - 2sina) (4 - 2sina)=4cos2a - 4+16 - 16sina+4si门%=16 - 16sina化简得瓦-PD=16 - 16sinaa

12、0t n, sinaV(0, 1.当心或兀时,疋莎最大值为迢当今,乔而取最小值为。.由此可得PCPD的取值范国是0, 16【点评】本题给出正方形内半圆上一个动点，求向量数量积的取值范围，着重考查了平面向 量数量积的运算性质和圆的参数方程等知识，属于中档题.8. (2014韶关模拟)已知AD是A ABC的中线，若Z A=120%耳疋二-2，贝0 I AD |的最小值是1【考点】向量在几何中的应用.【专题】压轴题；平面向屋:及应用.【分析】利用向量的数量积公式，及三角形中线向量的表示，利用基本不等式，即可求I兀I 的最小值.【解答】解:?=| AB| ACIcosAi Z A=120%（7分） I

13、 ABIIACI 二4-(8 分). |AD |-i(貳疋)， |血|2=1 (|AB|2+|AC|2+2 ABAC) J(|AB|2+|AC|2-4)（20 分）二 | AD |min=l - - - - - - - - - - - - - - - - -（12 分）故答案为：1.【点评】本题考查向量的数量积，基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题.9. （2010*武昌区模拟）AABC的面积为1,菖二；，丘二7，P为AABC内一点，且 丽4壬-宠，贝仏BCP的而积为_丄362（【考点】向量在几何中的应用.【专题】计算题：压轴题.【分析】在AABC中，作出向量丽=1*-宅，由向量的几何意

14、义，三角形的面积公式,36且AABC的而积为2,可以求岀ABCP的而积.【解答】解：如图，在AABC中，作出短占-宅，36平移DE=BP其中西二丄？6 ABC 的面积为:S-i|AB HfAC|sinA=-|a|w|b |sinA=l,而AADE, CEP,平行四边形BDEP的而积和为：|Arf-|AE|si+|EP 1-lECl sinCEP+ IDB H | AE |sinA=专自环 |sinA+寺 卜 |b|sinxV |a|- |知“nA冷 I：卜帀“nA弓, 所以 BCP的而积为：1 -丄丄.本题也可以通过左移点P：丄：亏个单位，下移丄？sinA个单位，到点A.知zkBCP边bc633上的髙h2是厶ABC边BC上的髙hi的丄 即厶BCP的而积是厶ABC的丄2 2故答案为：I【点评】本题通过作图得出向量的关系，从而求出三角形的面积.10. （2014*江苏）如图,在平行四边形ABCD中，已知AB二& AD=5, CP二3PD，APBP=2,则亦工5的值是22【考点】向量在几何中的应用；平而向虽:数量积的运算. 【专题】平而