3.1.3导数的几何意义

1、2021/3/10讲解：讲解：XX1 3.1.3 导数的几何意义 2021/3/10讲解：讲解：XX2 回顾回顾 平均变化率平均变化率 函数函数y=f(x)y=f(x)从从x x1 1到到x x2 2平均变化率为平均变化率为: : 平均变化率的几何意义：平均变化率的几何意义： 割线的斜率割线的斜率 O A B x y Y=f(x) x1x2 f(x1) f(x2) x2-x1=x f(x2)-f(x1)=y 1 21 )() f x xx 2 f(x x y k 1 21 )() f x xx 2 f(x x y 2021/3/10讲解：讲解：XX3 回顾回顾 导数的概念导数的概念 函数函数

2、y = f (x) 在在 x = x0 处的瞬时变化率处的瞬时变化率 称为函数称为函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的处的导数导数, 记作记作)( 0 x f 或或 , 即即 0 | xx y 0 000 0 0 )()( lim )()( lim)( 0 xx xfxf x xfxxf xf xxx 求函数求函数y=f(x)在在x=x0处的导数的一般步驟是处的导数的一般步驟是: 00 (1)()();yf xxf x 求函数的增量 00 ()() (2); f xxf xy xx 求平均变化率 0 0 (3)()lim. x y fx x 取极限，得导数 2021/3/10讲解

3、：讲解：XX4 问题问题1 1 平面几何中我们是怎样判断直线是否平面几何中我们是怎样判断直线是否 是圆的是圆的割线或割线或切线切线的呢的呢？ 2021/3/10讲解：讲解：XX5 问题问题2 2 如图直线如图直线l l1 1是曲线是曲线C C的切线吗的切线吗? l? l2 2呢呢? ? l2 l1 A B 0 x y 思考思考:切线应切线应 该怎么定义该怎么定义 2021/3/10讲解：讲解：XX6 下面来看导数的几何意义: y=f(x) P Q M x y O x y P y=f(x) Q M x y O x y 如图如图,曲线曲线C是函数是函数y=f(x) 的图象的图象,P(x0,y0)是

4、曲线是曲线C上的上的 任意一点任意一点,Q(x0+x,y0+y) 为为P邻近一点邻近一点,PQ为为C的割线的割线, PM/x轴轴,QM/y轴轴,为为PQ的的 倾斜角倾斜角. .tan ,: x y yMQxMP则则 y x 请问：是割线PQ的什么? 斜 率! 2021/3/10讲解：讲解：XX7 P Q ox y y=f(x) 割割 线线 切线切线 T 请看当点请看当点Q沿着曲线逐渐向点沿着曲线逐渐向点P接近时接近时,割线割线PQ绕着绕着 点点P逐渐转动的情况逐渐转动的情况. 我们发现我们发现, 当点当点Q沿着曲沿着曲 线无限接近点线无限接近点 P即即x0时时, 割线割线PQ有一个有一个 极限

5、位置极限位置PT.则则 我们把直线我们把直线PT 称为曲线在点称为曲线在点 P处的处的切线切线. 动态演示动态演示 2021/3/10讲解：讲解：XX8 设切线的倾斜角为设切线的倾斜角为 ,那么当那么当x0时时,割线割线 PQ的斜率的斜率,称为曲线在点称为曲线在点 P处的处的切线的斜率切线的斜率. 即即: 00 0 00 ()( ) ( )limlim xx f xxf xy kf x xx 切线 这个概念这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜提供了求曲线上某点切线的斜 率的一种方法率的一种方法;切线斜率的本质切线斜率的本质函数在函数在 x=x0处的导数处的导数. 注：曲线的切线注：曲线的切线,

6、并不一定与曲线只有一并不一定与曲线只有一 个交点个交点, 可以有多个可以有多个,甚至可以有无穷多个甚至可以有无穷多个. x y o y=f(x) 2021/3/10讲解：讲解：XX9 表示什么？表示什么？ y x 思考思考 已知曲线已知曲线y=f(x)上两点，上两点， 0000 (,(),(,() n xxP xf xP xf x 根据切线定义可知：根据切线定义可知： ， 割线割线 切线切线 ，那么割线，那么割线 的斜率的斜率 ？ n PP 0 x PT n PP n k 结合结合 ，割线，割线 切线切线 ， 则切线则切线 的斜率的斜率 可以表示怎么表示？可以表示怎么表示？ 0 x n PP

7、PT PTk 斜率! x xfxxf )()( 00 2021/3/10讲解：讲解：XX10 在上面的研究过程中，某点的割线斜率和切线在上面的研究过程中，某点的割线斜率和切线 斜率与某点附近的平均变化率和某点的瞬时变化率斜率与某点附近的平均变化率和某点的瞬时变化率 有何联系？有何联系？ 平均变化率平均变化率 割线的斜率割线的斜率 瞬时变化率（导数）瞬时变化率（导数） 切线的斜率切线的斜率 0 x 0 x 2021/3/10讲解：讲解：XX11 （二）导数的几何意义：（二）导数的几何意义： 函数函数 在在 处的导数就是曲处的导数就是曲 线在点线在点(x0,f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率

8、， 即：即： ( )yf x 0 xx k 00 0 0 () lim() x f xxf x kfx x 曲线在点曲线在点(x0,f(x0)处的切线的方程为：处的切线的方程为： ).)()( 000 xxxfxfy 2021/3/10讲解：讲解：XX12 例例1 求曲线求曲线y=f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切线方程处的切线方程. Q P y=x 2 +1 x y -1 1 1 O j M y x . 2 )(2 lim ) 11 (1)1 ( lim )()( lim: 2 0 2 0 00 0 x xx x x x xfxxf k x x x 解解 因此因此,切线方程为切线方

9、程为y-2=2(x-1), 即即y=2x. 求曲线在某点处的切线方程求曲线在某点处的切线方程 的基本步骤的基本步骤: 求出切点求出切点P的坐标；的坐标； 求切线的斜率，即函数求切线的斜率，即函数y=f(x)在在 x=x0处的导数；处的导数； 利用点斜式求切线方程利用点斜式求切线方程. 2021/3/10讲解：讲解：XX13 v例2.试求过点 且与曲线 相切直线方程 5 , 3P 2 xy 2021/3/10讲解：讲解：XX14 求过点P与曲线相切的直线方程的步骤： 2021/3/10讲解：讲解：XX15 1设f(x0)0，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0) 处的切线() A不存在B与x轴平

10、行或重合 C与x轴垂直 D与x轴斜交 答案：B 2021/3/10讲解：讲解：XX16 2已知曲线y2x2上一点A(2,8)，则A处的切线斜 率为() A4 B16 C8 D2 C 2021/3/10讲解：讲解：XX17 3曲线y2x21在点P(1,3)处的切线方程 为_ 答案：4xy10 2021/3/10讲解：讲解：XX18 4已知曲线y3x2，求在点A(1,3)处的曲线 的切线方程 2021/3/10讲解：讲解：XX19 例例2 如图如图, 它表示跳水运动中高度随时间变化的函数它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 105 . 69 . 4)( 2 ttth 的图象的图象. 根据图象根据图

11、象, 请描述、比较请描述、比较 曲线曲线 在在 附近的变化情况附近的变化情况.)(th 210 ,ttt t o h t0t1t2 l0 l1 l2 t4t3 2021/3/10讲解：讲解：XX20 例例2 解解:可用曲线可用曲线 h(t) 在在 t0 , t1 , t2 处的切线处的切线 刻画曲线刻画曲线 h(t) 在上述三个时刻附近的变在上述三个时刻附近的变 化情况化情况. (1)当当 t = t0 时时, 曲线曲线 h(t) 在在 t0 处的切线处的切线 l0 平行于平行于 x 轴轴.故在故在 t = t0 附近曲线比较平附近曲线比较平 坦坦, 几乎没有升降几乎没有升降. (2)当当 t

12、 = t1 时时, 曲线曲线 h(t) 在在 t1 处的切线处的切线 l1 的斜率的斜率 h(t1) 0 .故在故在t = t1 附近曲线下附近曲线下 降降,即函数即函数 h(t) 在在 t = t1 附近单调递减附近单调递减. t o h l0 t0t1 l1 t2 l2 t4t3 (3)当当 t = t2 时时, 曲线曲线 h(t) 在在 t2处的切线处的切线 l2 的斜率的斜率 h(t2) 0 .故在故在 t = t2 附近曲线下降附近曲线下降,即函数即函数 h(t) 在在t = t2 附近也单调递减附近也单调递减. 从图可以看出，直线从图可以看出，直线 l1 的倾斜程度小于直线的倾斜程

13、度小于直线 l2 的倾斜程度，这的倾斜程度，这 说明说明 h(t) 曲线在曲线在 l1 附近比在附近比在 l2 附近下降得缓慢附近下降得缓慢 2021/3/10讲解：讲解：XX21 2021/3/10讲解：讲解：XX22 血管中药物浓度的血管中药物浓度的瞬时变化率瞬时变化率, 就是药物浓度就是药物浓度 从图象上看从图象上看,它表示它表示 曲线在该点处的曲线在该点处的切线的斜率切线的斜率. 函数函数f(t)在此时刻的在此时刻的导数导数, （数形结合，以直代曲）（数形结合，以直代曲） 以简单对象刻画复杂的对象以简单对象刻画复杂的对象 2021/3/10讲解：讲解：XX23 )( 0 / xf)(

14、/ xf 抽象概括抽象概括： 是确定的数是确定的数 是的函数是的函数x 导函数的概念：导函数的概念：)( / xf x xfxxf xf x )( lim 00 0 0 / x xfxxf xf x )( lim 0 / t 0.2 0.4 0.60.8 药物浓度的药物浓度的 瞬时变化率瞬时变化率 3 . 004 . 15 . 0 2021/3/10讲解：讲解：XX24 00 ()( ) ( )limlim xx yf xxf x f xy xx 在不致发生混淆时，在不致发生混淆时，导函数导函数也简称也简称导数导数 00 0 ( )() ( )()( ) . yfxxfx fxfxx 函 数在

15、 点处 的 导 数 等 于 函 数的 导 函 数在 点处 的 函 数 值 什么是导函数? 由函数由函数f(x)在在x=x0处求导数的过程可以看到处求导数的过程可以看到,当当 时时,f(x0) 是一个确定的数是一个确定的数.那么那么,当当x变化时变化时,便是便是x 的一个函数的一个函数,我们叫它为我们叫它为f(x)的导函数的导函数.即即: 2021/3/10讲解：讲解：XX25 f (x0)与与f (x)之间的关系：之间的关系： f (x 0)f (x) 0 xx 1、y=f /(x)是是y=f(x)的导函数的导函数 注意：注意： 2、f /(x0)是是y=f(x)在点在点x0处的导数值处的导数

16、值 也即也即f (x)在点在点x0处的函数值处的函数值 （是一个（是一个函数函数） （是一个（是一个常数常数） 2021/3/10讲解：讲解：XX26 如何求函数如何求函数y=f(x)的导数的导数? (1)()( );yf xxf x 求函数的增量 (2): ()( ) ; yf xxf x xx 求函数的增量与自变量的增量的比值 0 (3)( )lim. x y yfx x 求极限，得导函数 2021/3/10讲解：讲解：XX27 .yx y 例4.已知，求 x yxxx xxx 解： 1y xxxx 00 11 limlim. 2 xx y y xxxxx 看一个例子: 2021/3/10

17、讲解：讲解：XX28 例5.已知 ,求 3 xy y 2021/3/10讲解：讲解：XX29 归纳小结归纳小结 通过观察跳水问题中导数的变化情况通过观察跳水问题中导数的变化情况,你得到你得到 了哪些结论了哪些结论? (1)以直代曲：大多数函数就一小段范围看，大以直代曲：大多数函数就一小段范围看，大 致可以看作直线，某点附近的曲线可以用过该致可以看作直线，某点附近的曲线可以用过该 点的切线近似代替；点的切线近似代替； (2)函数的单调性与其导函数正负的关系函数的单调性与其导函数正负的关系 ； (3)曲线的变化快慢及切线的倾斜角的内在联系曲线的变化快慢及切线的倾斜角的内在联系 . 2021/3/1

18、0讲解：讲解：XX30 练习练习1：在例在例2中，描述函数中，描述函数 h(t) 在在t3和和t4附近增附近增 （减）（减） 以及增（减）快慢的情况。以及增（减）快慢的情况。 t o h l0 t0t1 l1 t2 l2 t4t3 2021/3/10讲解：讲解：XX31 练习2 （2）曲线）曲线12 2 xy在点在点P（1，3）处的切线方程为（）处的切线方程为（ ） A14 xy B 74 xy 14 xy 74 xy （1）如果曲线）如果曲线 )(xfy 在点在点 )(,( 00 xfx处的切线方程为处的切线方程为 032yx ，那么（那么（ ） A 0)( 0 x fB 0)( 0 x f 0)( 0 x f )( 0 x f 不存在不存在 2021/3/10讲解：讲解：XX32 小结小结: 2.导数的几何意义导数的几何意义 3.求切线方程的步骤求切线方程的步骤 1.曲线切线的定义曲线切线的定义 20