第十章非正弦周期电流电路

1、第十章非正弦周期电流电路 第十章(2) 非正弦周期电流电路 线性电路中若有多个不同频率的正弦电 源，或者线性电路中含有非正弦周期电 源，则电路进入稳态后的电流和电压响 应将是非正弦周期函数，称这种电路为 非正弦周期电流电路。 第十章非正弦周期电流电路 10(1).1 多个不同频率正弦电源作用下线 性电路的稳态响应 10(1).2 非正弦周期电源作用下线性电路 的稳态响应 10(1).3 非正弦周期电流电路中电流和电 压的有效值 10(1).4 非正弦周期电流电路的平均功率 10(1).5 例题 第十章非正弦周期电流电路 10(1).1 多个不同频率正弦电源作用下 线性 电路的稳态响应 根据叠加

2、定理，当电路中包含有多个不 同频率正弦电源（其中可含直流电源） 时，可分别求出各单一频率正弦电源及 支流电源单独作用时电路的稳态响应， 然后叠加。 第十章非正弦周期电流电路 应注意以下问题： 求各单一频率稳态响应时，可分别采用相量法。 不同频率电源作用时，电感和电容的阻抗是不同的。 直流电源作用时，电感相当于短路，电容相当于开路。 不同频率正弦量的相量求和是无意义的，叠加只能对 瞬时表达式进行。 第十章非正弦周期电流电路 5 1 1 1H is 1F i0 + - us ,)(5cos10Vtu s 例：电路如图，已知 )(4cos2Atis，求 i0 。 解：us 单独作用时电路相量 模型如

3、图。 1 + - Lj 1 C j 1 1 Sm U m I 0m I 5 1 jLj 2.0 1 1 j C j )(010VU o ms 第十章非正弦周期电流电路 解得: o o m jjjj I8 .1179. 9 )2 . 05()2 . 0(51 010 )(8 .112 .10 24 25 2 .05 5 AI jj j II o mmmo )( )8.115cos(2.10 0 Ati o 第十章非正弦周期电流电路 4 2 is 单独作用时电路相量模型如图。 4 2 jLj )(4 2 SjCj )(02AI o ms 1 Lj 2 C j 2 1 Sm I 0m I 解得: )

4、( )9.144cos(06.2 0 Ati o )(9.1406.2 4)41(1 4 02A jj j I o o mo 第十章非正弦周期电流电路 根据叠加定理，有： i0 的周期： i0 的周期： i0 的周期 T 是 T1 和 T2 的最小公倍数： 4.052 1 T 5.042 2 T 245 21 TTT 000 iii )( )9 .144cos(06. 2)8 .115cos(2 .10Att oo 第十章非正弦周期电流电路 10(1).2 非正弦周期电源作用下线 性电路的稳态响应 v周期函数的傅立叶级数展开式 设周期函数 的周期 T ，且满足狄氏条件（在 一周期内绝对可积、在

5、一周期内只有有限个极大值 和极小值、在一周期内只有有限个不连续点），则 可展开成级数： )(tf )(tf 1 10 )cos()( k kk tkAatf （动画（动画14.1） 第十章非正弦周期电流电路 其中：a0 为 f(t)的恒定分量（平均值； )cos( 111 tA为 f(t)的基波分量， 基波频率与f(t) 的频率相同；T2 1 Ak是为 f(t)的 k 次谐波的振幅，k 是k 次谐波的 初相位， k 次谐波的频率是基波频率的 k 倍。 第十章非正弦周期电流电路 v非正弦周期电源作用下电路的稳态响应求解 根据傅立叶级数将非正弦周期电源分解成直流分 量及各次谐波分量，相当于在电路输

6、入端施加多 个等效电压源串联。 分别计算个各次谐波分量单独作用时电路的响应 分量。 由于电路是线性的，根据叠加原理，上述响应分 量的代数和就是非正弦周期电源作用下电路的稳 态响应。 一般步骤： 第十章非正弦周期电流电路 注意问题： 在直流电源激励时，电感器 L 短接，电容器 C 开路。 在 k 次谐波激励时，感抗为 ，容抗为LkX Lk1 ,1 1C kX Ck ,1 1L kBLk. 1C kBCk感纳为容纳为 第十章非正弦周期电流电路 10(1).3 非正弦周期电流电路中电流 和电压的有效值 v非正弦周期电流和电压的有效值 T dtti T I 0 2 )( 1 周期为 T 的非正弦周期电

7、流 i(t) 的有效值为： 第十章非正弦周期电流电路 若 i(t) 表为恒定分量和 L个不同频率正弦分量的和： L k kkk taIIti 1 0 )(cos2)( 其中：ak ( k=1, 2 , ) 均为正整数，=2/T 。 T L k kkk dttaII T I 0 2 1 0 )(cos2 1 则： 第十章非正弦周期电流电路 考虑根号内函数： T L k kkk dttaII T 0 2 1 0 )(cos2 1 展开后有如下项： 2 0 0 2 0 1 IdtI T T 0)cos(22 1 0 0 T kkk dttaII T 第十章非正弦周期电流电路 0)cos(2)cos(

8、22 1 0 T qqqkkk dttaItaI T 2 0 22 )(cos)2( 1 k T kkk IdttaI T 于是有： 22 2 2 1 2 0L IIIII 22 2 2 1 2 0L UUUUU 同样可推得： 第十章非正弦周期电流电路 L k kikk taIIti 1 0 )(cos2)( 设非正弦周期电流电路中某一单口 网络的端电流和端电压表达式为： L k kukk taUUtu 1 0 )(cos2)( 其中：ak ( k=1, 2 , ) 均为正整数。i和 u 的周 期为 T = 2 / 。 N + - ui 10(1).4 非正弦周期电流电路的平均功率 第十章非正

9、弦周期电流电路 将被积函数展开后，以上积分式可分解成如下积分项： 00 0 00 1 IUdtIU T T 0)(cos2 1 0 0 T k ikk dttaIU T 0)(cos2 1 0 0 T kukk dttaUI T 则网络 N 吸收的平均功率为： TT dttitu T dttp T P 00 )()( 1 )( 1 第十章非正弦周期电流电路 T k ikkkukk dttaItaU T 0 )cos(2)cos(2 1 kkkk ikukk IUIUcos)(cos L L k kkk PPPPIUIUP 220 1 00 cos 平均功率等于直流分量构成的功率和各次谐波分量

10、构成的平均功率之和。 得： 0)cos(2)cos(2 1 0 T q iqqkukk dttaItaU T 第十章非正弦周期电流电路 N + - ui 例1：单口网络如图，已知 )(3cos302cos50cos100100)(Vttttu )( )1353cos(2)60cos(10)(Attti oo 求单口网络吸收的平均功率 P 及电流和电压的有效值。 第十章非正弦周期电流电路 解： 3210 PPPPP oo 135cos 2 2 2 30 060cos 2 10 2 100 0 )(8 .228)2 .21(250W )(21.752 2 2 2 10 22 AI )(23.129

11、16700 2 30 2 50 2 100 100 222 2 VU 第十章非正弦周期电流电路 例2：电路如图，已知 )( )303cos(502cos100210)(Vtttu o 2,5LR 求 i 、I 及负载吸收的平均功率 P 。 解： )(2510 00 ARUI R L + - u i )(8 .2155.18 25 0100 1 1 A jLjR U I o o )(19.204 . 6 65 3050 3 3 3 A jLjR U I o o 第十章非正弦周期电流电路 )8 .21cos(55.1822 310 o tiiIi )( )19.203cos(4 . 62At o

12、2 3 2 1 2 0 IIII )(725.194 . 655.182 222 A 310 PPPP )(3 .1945 22 3 2 1 2 0 WRIRIRIRI 第十章非正弦周期电流电路 10(1).5 例题 + - u i 无源网络 例1：如图所示，已知 00 602sin40230sin802100ttu Vtt 00 754sin102453sin202 Atti 00 453sin2230sin42 求该电路的有功功率 P 。 第十章非正弦周期电流电路 + - u i 无源网络 解：因为只有同频率的电压 和电流谐波分量才能构成平 均功率，所以 333111 coscosIUIU

13、P W160 0000 4545cos2203030cos480 - - - - - - 第十章非正弦周期电流电路 R L uRu 例2：如图所示RL串联电路，若 ,100,1RL 输入电压 tVtu3sin70sin10020 且基波频率为50Hz，求输出电压 。 R u 解： （1）输入电压已分解为傅氏级数，即 310 uuUu tVt3sin70sin10020 （2）计算各分量单独作用时的输出电压。 单独作用时，因为直流电路中电感相当于短路，所以： 0 U VUU R 20 0 0 第十章非正弦周期电流电路 单独作用时，应用相量法可得： 1 u R LjR U R jXR U U m

14、L m Rm 11 1 1 V j 0 0 3 .72/ 3 .30100 314100 0/100 .3 .72sin3 .30 0 1 VtuR LX L 1 .3142sradf 式中 为基波感抗， 所以 第十章非正弦周期电流电路 R LjR U R jXR U U m L m Rm 3 33 3 3 V j 0 0 9 .83/4 . 7100 942100 0/70 3 u 13 33 LL XLX 单独作用时，应注意三次谐波感抗： 即三次谐波感抗为基波感抗的3倍，由此可推得k次 谐波感抗为基波感抗的k倍。 应用相量法可得： .9 .833sin4 . 7 0 3 VtuR所以 第十

15、章非正弦周期电流电路 （3）将所求得的输出电压各谐波分量瞬时值相叠加得： 310 RRRR uuUu Vtt 00 9 .833sin4 . 73 .72sin3 .3020 注意： 由于电感电容的存在，因此电路对不同频率的谐波 的阻抗不同，可称之为谐波阻抗； 在最后结果时必须用待求量的各次谐波的瞬时值相 叠加，而绝不可把各次谐波的相量相叠加。 第十章非正弦周期电流电路 i3 R2 R1 i1i2 L C u 1 R Vttu 0 303sin7 .70sin4 .14110 ,2 1 LX L ,15 1 1 C X C ,5 1 R .10 2 R 例3：设如图（a）所示电路中的电压 且已

16、知 试求各支路电流及 支路吸收的平均功率。 （a） 解：题目已给定非正弦周期电压 的傅立叶级数展开式，可直接进 行计算。 第十章非正弦周期电流电路 直流分量单独作用时的电路如图（b）所示。按此 电路可计算各支路电流的直流分量 R2 R1 20 I 0 U 10 I30 I OC U + - （b） A R U I2 5 10 0 10 0 20 I AII2 1030 第十章非正弦周期电流电路 1 u 基波 单独作用时的相量模型如图（c）所示，用 相量法计算得各支路电流基波分量的相量： VU 00 1 0/1000/ 2 4 .141 25 0/100 0 1 1 11 jjXR U I L

17、A 0 0 0 8 .21/55.18 8 .21/39.5 0/100 1510 0/100 0 1 1 21 jjXR U I C A 0 0 0 31.56/55.5 31.56/03.18 0/100 R2 R1 11 I 1L jX 1 U 1C jX 21 I 31 I （c） 第十章非正弦周期电流电路 00 211131 31.56/55. 58 .21/55.18III 62. 408. 389. 622.17jj Aj 0 38. 6/43.2027. 23 .20 R2 R1 13 I 3L jX 3 U 33 I 23 I 3C jX （d） 3 u三次谐波 单独作用时的

18、 相量模型如图（d）所示， 用相量法计算 第十章非正弦周期电流电路 VU 00 3 30/5030/ 2 7 .70 A jjXR U I L 0 0 00 3 3 13 19.20/4 . 6 19.50/81. 7 30/50 65 30/50 A jjXR U I C 0 0 00 3 3 23 57. 6/475. 4 57.26/18.11 30/50 510 30/50 231333 III A 000 19.10/6 . 857.56/47. 419.20/4 . 6 第十章非正弦周期电流电路 0 1 8 .21sin55.1822ti At 0 19.203sin4 . 62

19、0 2 31.56sin55. 52ti At 0 57. 63sin47. 42 0 3 38. 6sin43.2022ti At 0 19.103sin6 . 82 把各支路电流的各谐波分量瞬时值进行叠加得 最终结果： 第十章非正弦周期电流电路 33311110101 coscosIUIUIUP )19.20(30cos4 . 6508 .21cos55.18100210 000 W1947205172220 1 2 11 RIP AIIII06.3894 . 655.182 2222 13 2 11 2 10 2 1 WRIP1945506.389 1 2 11 1 R 支路吸收的功率：

20、 1 R 1 R 支路的平均功率还可以这样计算：因为该支路的平 均功率实际上就是耗能元件 吸收的功率： 所以 计算结果与上面一致，出现的差值是由舍入误差引起 的，是允许的。 第十章非正弦周期电流电路 例4：电路如图所示，已知,100 1 FC ,1 s i ,)452000cos(8)301000cos(1 .1410 00 Vttus ,)301000cos(41. 1 0 ti 2 C 3 R 3 R 电流源 电压源电流 电阻R中流过的直流电流为0.5A（方向如图所示）。 试求R，L， ， 的值及 上的电压。 R L 1 C i R i 2 C s i 3 R s u 第十章非正弦周期电流电路 解：根据已知条件可见，电流 与电压源 中的基 波分量同频同相，而二次谐波分量为零。这说明 支路对 中的基波频率发生串联谐振，而 回路 对二次谐波频率发生并联谐振。 i s u 1 LC 21C LC s u 1 LCsrad 3 1 10因为 支路对基波角频率 发生串联 谐振，所以 m C L10 1010 11 46 1 2 1 第十章非正弦周期电流电路 因为 回路对二次谐波角频率 发生并联谐振，所以回路的等效电容量 21C LCsrad 3 2 102 F L C 25 1010