不等式证明的若干方法

1、不等式证明的若干方法摘要：不等式作为一个重要的分析工具和分析手段，在数学中具有举足轻重的地位不等式的证明是中学数学的一个重点，也是中学数学的一个难点，同时也是考试的一个重要考点。 不等式的证明问题，由于题型多变、方法多样、技巧性强，加上无固定的规律可循，往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大.解决这个问题的途径在于熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式，灵活运用常用的和特殊的证明方法。因此本文归纳总结不等式一些常见的证明放法.并就每一种证法举例说明. 关键词：不等式 ；证法1、 比较法： 比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两

2、个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为作差比较法( 简称为求差法) 和作商比较法( 简称为求商法) 。1 作差比较法： 作差比较法的理论依据是根据公理：，利用不等式两边的差是正数或负数来证明，一般的步骤是：作差变形判断符号得出结论。 例1、求证： 2 作商比较法： 作商比较法的理论依据是：“若，+， / 1 ； / 1 ”. 例2、 已知 x,y 为不等的正数，求证 ： ： 比较法是证明不等式的最基本的方法，采用作差法还是作商法，关键 在于 所证不等式的结构和条件，其目的在于作差或作商后，是否易于变形，是否易于判断符号。2、 分析法:分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的

3、充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”. 用分析法证明的逻辑关系为：书写的模式是：为了证明命题成立，只需证明命题 1 为真，从而有 ，这只需证明 2 为真，从而又有 ， 这只需证明为真，而已知为真，故必为真. 这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。 例3、已知：求证： 3、 综合法:综合法利用已知事实( 已知条件、重要不等式或已证明的不等式) 作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”. 其

4、逻辑关系为：即从已知逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论。 例4、已知是不全相等的正数，求证： 证明：, ； 同理：, ， 当且仅当时，即取等号，而是不全相等的正数. 分析法的步骤为从未知到已知，在证题过程中，“要证”、“只要证”这些词语是必不可少的，否则是错误的，综合法是分析法的逆过程，表述简单，条理清楚，分析法是由果索因，综合法是由因导果. 所以在实际证题时，往往用分析法探索，用综合法书写.4、 反证法:反证法是在有些不等式的证明中，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式 AB，先假设 AB，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定 AB。当涉及到的证明不等式为否定命

5、题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法。例5、 已知 0a1,0b1,0c0；当 或 为时，=0；当 或 为时， 不存在，从而有。6、 放缩法：放缩法是指在证题过程中，根据不等式的传递性，采用舍去一些正项（或负项）而使不等式的各项之和变小（或变大），或把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母），从而达到证明的目的，要注意的是“放”、“缩”得当，不要过头，才有利于问题的解决。 例8、求证: 不等式两边同时乘以 7、 换元法：我们知道，换元法在不等式的证明中也是很常见的方法之一，通过对不等式添加或者去

6、掉某些元素，使原来的未知量（或变量）变换成新的未知量（或变量），起到化难为易，化繁为简的作用，从而更容易达到证明原有不等式的目的。1 三角换元法： 例9、已知：求证： 2 向量换元法：例10、已知，求证：证明： 设，则有，由性质，得3 代数换元法：例11、 已知a,b,c，且证明 ： 设 8、 数学归纳法： 如果求证的不等式与自然数有关，证明时往往采用数学归纳法. 例12：设数列 证明： 对一切正整数 n 立。 结语： 以上简单的归纳了几种证明不等式的方法，其他证明不等式的方法还有很多这里就不做详细的介绍了。在解决不等式过程中，由于不等式的不同，证明的方法也各有不同。在证明不等式时，应注意多种证明方法的综合应用，绝不可以将某种证法看成是孤立的。总之，解题有法，但无定法，遵循规律，因择法，想要熟练掌握这些技巧，必须多实践，悟出规律。参考文献：1胡汉明，不等式证明问题的思考方法J数学通讯.2001( 09) 2王保国. 不等式证明的六种非常规方法.J数学爱好者.2007（06） 3