测量学第六章误差知识

1、第六章 测量误差的基本知识 测量误差概述测量误差概述 偶然误差特性偶然误差特性 衡量精度的标准衡量精度的标准 误差传播定律误差传播定律 等精度直接观测值的最可靠值等精度直接观测值的最可靠值 不同精度直接观测平差不同精度直接观测平差 6.1 6.1 测量误差概述测量误差概述 一、测量与观测值一、测量与观测值 2. 测量误差定义测量误差定义 测量中的被观测量，客观上都存在着一个真实值， 简称真值真值。对该量进行观测得到观测值观测值。 观测值与真值之差，称为真误差真误差。 二、测量误差及其来源二、测量误差及其来源 1、现象：现象：D往 往 D返返 h 0 A+B+C 180 = l - X 真误差观

2、测值真值真误差观测值真值 3. 误差来源误差来源 仪器设备不尽完善仪器设备不尽完善 观测者感官鉴别能力的局限性观测者感官鉴别能力的局限性 自然环境的影响自然环境的影响 观 测 条 件 观测条件好观测条件好-测量误差小测量误差小-观测成果质量高观测成果质量高 观测条件差观测条件差-测量误差大测量误差大-观测成果质量低观测成果质量低 观测成果质量的高低客观地反应了观测条件的优劣观测成果质量的高低客观地反应了观测条件的优劣 误差不可避免误差不可避免-任何观测中都含有误差任何观测中都含有误差-最基本最普最基本最普 遍的事实。因此，我们必须学习误差理论的基本知识。遍的事实。因此，我们必须学习误差理论的基

3、本知识。 三、目的：三、目的： 了解误差产生的原因及规律；正确处理观测数据，评定观了解误差产生的原因及规律；正确处理观测数据，评定观 测质量；指导测量实践测质量；指导测量实践,使测量结果达到预期的要求。使测量结果达到预期的要求。 四四. .名词解释名词解释 1、真值：任何一个物理量，客观上总存在一个能代表其 真正大小的数值，这一数值称为该量的真值。一般用X 表示。 真值一般是未知的，可知二种 理论真值 约定真值 2 2、观测值、观测值：对某量进行测量而得到的数值，用：对某量进行测量而得到的数值，用 Li表示。表示。 i=1.2.3.n。 3 3、测量误差（真误差）测量误差（真误差）：观测值与真

4、值之差，用：观测值与真值之差，用 i表示。表示。 i=Li-X 4 4、未知量未知量X X的最优估值的最优估值： 5 5、观测值的改正数、观测值的改正数： 6 6、等精度观测、等精度观测：观测条件相同的各次观测。：观测条件相同的各次观测。 7 7、非等精度观测、非等精度观测：观测条件不相同的各次观测。：观测条件不相同的各次观测。 8 8、高斯和符合、高斯和符合： = 如如 = 1+ 2+ n = 12+ 22+ n2 x ii lxv (1).(1).过失误差过失误差( (疏失误差疏失误差 、粗差、错误、粗差、错误) ) 定义： 性质：粗差一般大-对测量结果危害大- 尽量避免 措施： 检核 多

5、余观测 统计检验方法-粗差理论 五五. .测量误差的分类测量误差的分类 五五. .测量误差的分类测量误差的分类 (2).系统误差 定义：在相同的观测条件下，对某量进行一系列观测， 如果误差出现的符号和大小均相同或按一定的规律变化， 这种误差称为系统误差。 例：钢尺的尺长误差；水准仪的i角误差等。 性质：具累积性-对成果影响大-必须设法消减其 影响 措施措施：1、计算改正数，对结果进行改正；、计算改正数，对结果进行改正； 2、用一定的观测方法加以消除或削弱；、用一定的观测方法加以消除或削弱； 3、检校仪器以限制误差的大小。、检校仪器以限制误差的大小。 (3).偶然误差：偶然误差： 定义：定义：在

6、相同的观测条件下，对某量进行一系列在相同的观测条件下，对某量进行一系列 观测，若误差出现的符号和大小均不一定，这种观测，若误差出现的符号和大小均不一定，这种 误差称为偶然误差。误差称为偶然误差。 例：照准误差；读数误差；对中误差等。例：照准误差；读数误差；对中误差等。 性质性质：偶然误差又称随机误差，即偶然误差是一：偶然误差又称随机误差，即偶然误差是一 个随机变量。个随机变量。 五五. .测量误差的分类测量误差的分类 6.2 偶然误差特性偶然误差特性 一、偶然误差的四个特性一、偶然误差的四个特性 举例举例： a b c i=ai+bi+ci-180 （ i=1,2, 358） 负 误 差 正

7、误 差 误差区间 d 个数k 相对个数 k/n 个数k 相对个数 k/n 0.0 0.2 0.2 0.4 0.4 0.6 0.6 0.8 0.8 1.0 1.0 1.2 1.2 1.4 1.4 1.6 1.6 以上 45 40 33 23 17 13 6 4 0 0.126 0.112 0.092 0.064 0.047 0.036 0.017 0.011 0.000 46 41 33 21 16 13 5 2 0 0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006 0.000 总 和 181 0.505 177 0.495 结论结论 在一定的条件下

8、，偶然误差的绝对值不会超过一在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超过一 定的限度；定的限度； 2. 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多；绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多； 3. 绝对值相等的正负误差出现的机会相等；绝对值相等的正负误差出现的机会相等； 4. 偶然误差的算术平均值趋近于零，即偶然误差的算术平均值趋近于零，即 0 21 n lin n lin n n n 二、误差概率分布曲线二、误差概率分布曲线 + k n d (频率频率/组距组距) 0 0.2 0.4 0.60.81.01.21.41.6 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 -1.2 -1.4 -1.6 -

9、0.2 k/n(频率频率) 直方图直方图 三、分析标准差三、分析标准差 1. 与观测误差及偶然误差概率密度与观测误差及偶然误差概率密度f()的关系的关系 2 2 2 2 1 ef y=f() + y 2. 与误差分布曲线拐点的关系与误差分布曲线拐点的关系 y=f() y -+ 3. 标准差标准差 的概率值的概率值P（ ） + y=f() y -+ 6-3 衡量（评定）精度的标准 一.精度的含义 一定的观测条件 确定的误差分布 条件好，误差分布密集，即离散度 小，误差曲线比较陡峭，顶峰较高 -质量好-精度高，反之，则相 反 问题1：个别误差的大小能否反映精 度的高低？ 右图为不同的两组观测对应着

10、的两 条不同的误差分布曲线。 若12，则第一组观测，误差 分布密集，图形陡峭，精度较高； 第二组观测，误差分布离散，图形 平缓，精度较低。 1 2 0 精度的含义：误 差分布的密集与 离散程度。即离 散度 凡能反映误差分布 离散度大小的量， 都可作为衡量精度 的指标。 二.衡量精度的指标 1.方差和中误差 由数理统计知，表示随机变量分布离散性的数字特征是方 差 22 222 DEE EEE ()() () ()() nn D n n n limlim 22 2 2 1 2 m n m n 22 测量上习惯用中误差表示 现实中，n总是有限的，故 只能求得中误差的估计值 一）、用绝对误差来衡量精度

11、一）、用绝对误差来衡量精度 中误差中误差（用（用m表示）表示）就是标准差就是标准差 标准差标准差的计算公式的计算公式 n D n lim 中误差的中误差的估算值估算值的计算公式的计算公式 n m 一般真误差i不可求，我们只能根据子样观测 值 l1、l2ln来估计母体方差 ，在数理统计中采用 样本方差作为母体方差的估计量 即 ms n lx i i n 222 1 1 1 ( ) 令 vxl ii m vv n 1 则-白塞尔公式 2. 平均误差平均误差 n n lim 3. 极限误差（容许误差）极限误差（容许误差） 容许 容许 =3 m 2m 容许 容许 的概率含义 的概率含义 二、用相对误差

12、来衡量精度二、用相对误差来衡量精度 ND m k 1 003. 0)3( 05. 0)2( mP mP 6.4 误差传播定律误差传播定律 一、倍乘一、倍乘 二、和或差二、和或差 三、一般函数三、一般函数 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 n n z m x f m x f m x f m 3.相对误差 问题2：中误差能否准确地衡量所有观测成果的精度？ 例：量距 s1=200m,m1=0.2m;s2=2000m,m2=0.2m,问：丈量精度是 否相同？ 看其单位长度上的中误差 k k 1 2 0 2 200 1 1000 0 2 2000 1 10000 . . k20 单一观测值，P无意

13、义。 分析例1： 取=1， PA=2/m2,PB =4/m2 PA:PB=1:2 取=m， PA=2, PB =4 PA:PB=1:2 取=mA， PA=1,PB =2 PA:PB=1:2 取=mB， PA=1/2, PB =1 PA:PB=1:2 由此可见：1）、权的大小与值有关，不同，P 也不同，但P之比不变。 2）、一组权中，权大，精度高。权比较精度的作 用-相对性。 单个观测值的权无意义，我们需要的是观测值之间 权的比值。 3）为比较，同一问题，取同一个值。 3、名词 二、定权的方法 1、代数和的权 如：测段高差 hAB=h1+h2+hn 若已知每站高差中误差为m站，则 贵 权： 站

14、mnmABh n c mn mc m p AB AB h h 2 2 2 2 )( )( 站 站 若已知每公里高差中误差为 则： 权： kmABh mSm AB AB kmAB km AB S c mS mc p 2 2 )( )( 2、算术平均值的权： 用一台仪器对某角进行测量，共测N组，各组 测回数分别为n1,n2 ,n3,nn,若一测回测角 中误差为m，则各组平均值之权： i i n m m c n n m c m m p i i i i 2 2 2 2 )( )( 三、加权平均值及其中误差 xvl ii ii lxv pvv=min 02 2 )( 2 pv xd dv pv xd pvd xd pvvd 即： 0 plxp p pl x 四、单位权中误差的估值 k i ii k 通过上式把 i 化为单位权真误差，则有：2=k2m2，k2=p n p n k n