曲面及其方程1PPT学习教案

1、会计学1 曲面及其方程曲面及其方程1 2009.2.67-3-2 (1) 曲面曲面S上任一点的坐标都满足方程上任一点的坐标都满足方程; (2)不 不在曲面在曲面S上的点的坐标都上的点的坐标都不不满足方程满足方程; 如果曲面如果曲面S 0),( zyxF 有下述关系有下述关系: 那么那么,0),( zyxF方程方程就叫做曲面就叫做曲面S的方程的方程, 而曲面而曲面S就叫做方程的图形就叫做方程的图形. 曲面及其方程曲面及其方程 与三元方程与三元方程 x y z O S 0),( zyxF 第1页/共36页 2009.2.67-3-3 解解 RMM | 0 2 0 2 0 2 0 )()()(zzy

2、yxx 22 0 2 0 2 0 )()()(Rzzyyxx 所求方程为所求方程为 球心在原点的球面方程球心在原点的球面方程 2222 Rzyx 的的、半径为、半径为建立球心在点建立球心在点RzyxM),( 0000 .球球面面方方程程 特殊特殊 ),(zyxM设设是球面上任一点是球面上任一点, R 2 12 2 12 2 1221 )()()(zzyyxxMM 曲面及其方程曲面及其方程 例例 第2页/共36页 2009.2.67-3-4 解解 | | 0 MM MO 222 222 432zyx zyx 9 116 3 4 1 3 2 2 2 2 zyx 所求方程所求方程 ),(zyxM设设

3、 是曲面上任一点是曲面上任一点, 的全体所组成的曲面方程的全体所组成的曲面方程. 的的点点：的的距距离离之之比比为为及及求求与与原原点点21)4 ,3 ,2( 0 MO 2 1 2 1 曲面及其方程曲面及其方程 第3页/共36页 2009.2.67-3-5 曲面及其方程曲面及其方程 此定直线叫旋转曲面的轴此定直线叫旋转曲面的轴. 此曲线称此曲线称 称此曲面为称此曲面为旋转曲面旋转曲面 . . 一周所成的曲面一周所成的曲面, , 母线母线. . 为方便为方便, 取作坐标面取作坐标面, 常把曲线所在平面常把曲线所在平面 以一条平面曲线以一条平面曲线绕绕其平面上的一条直线旋其平面上的一条直线旋 转转

4、 母线母线 轴轴 旋转轴取作坐标轴旋转轴取作坐标轴. 定义定义 第4页/共36页 2009.2.67-3-6 d ),z , y,x(M任取曲面上的点任取曲面上的点 zz 1 )1( 22 yxd 将将, 1 zz 0),( 11 zyf ), 0( 111 zyM 0),( 22 zyxf得方程得方程 轴的距离轴的距离到到点点zM)2( | 1 y 22 1 yxy 代入代入 曲面及其方程曲面及其方程 0),( 11 zyf x y z O ), 0( 111 zyM ),(zyxM 0),(: zyfC 0 )z , y(fyOz坐坐标标面面上上设设有有曲曲线线：在在 第5页/共36页 2

5、009.2.67-3-7 0),( yf 22 zx 旋转曲面方程为旋转曲面方程为旋转一周的旋转一周的 由上面的分析得：由上面的分析得： 0),( zyfyOz坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线 同理同理, 0),( zyfyOz坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线 旋转曲面方程旋转曲面方程为为旋转一周的旋转一周的 0),( 22 zyxf 绕绕z轴轴 绕绕y轴轴 曲面及其方程曲面及其方程 第6页/共36页 2009.2.67-3-8 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求生成求生成 的旋转曲面的方程的旋转曲面的方程. 1 2 2 c z 旋转双曲面旋转双曲面 例例

6、 双曲线双曲线(1)1 2 2 2 2 c z a x 分别绕分别绕x轴和轴和z轴轴; 绕绕x轴轴旋转旋转 绕绕z轴轴旋转旋转 2 c 22 zy 2 2 a x 1 22 yx 2 a 曲面及其方程曲面及其方程 第7页/共36页 2009.2.67-3-9 绕绕y轴轴旋旋转转 绕绕z轴轴旋旋转转 1 2 22 2 2 c zx a y 1 2 2 2 22 c z a yx 旋转椭球旋转椭球 面面 pzyx2 22 旋转抛物面旋转抛物面 (2)1 2 2 2 2 c z a y yOz坐标面上的椭圆坐标面上的椭圆绕绕y轴和轴和z轴轴; (3)pzyyOz2 2 坐标面上的抛物线坐标面上的抛物

7、线绕绕z轴轴. 曲面及其方程曲面及其方程 第8页/共36页 2009.2.67-3-10 选择题选择题 B 方程方程 222 )(yxaz (A) xOz平面平面上曲线上曲线 绕绕y轴旋转所得曲面轴旋转所得曲面; 22 )(xaz (B) xOz平面平面上直线上直线 绕绕z轴旋转所得曲面；轴旋转所得曲面；xaz (C) yOz平面平面上直线上直线 绕绕y轴旋转所得曲面轴旋转所得曲面 ； yaz (D) yOz平面平面上曲线上曲线 绕绕x轴旋转所得曲面轴旋转所得曲面 . 22 )(yaz 表示表示( ). 曲面及其方程曲面及其方程 第9页/共36页 2009.2.67-3-11 平行于定直线并沿

8、定曲线平行于定直线并沿定曲线C 这条定曲线这条定曲线C 称为柱面的称为柱面的 动直线动直线L称为柱面的称为柱面的 准线准线, 母线母线. 曲面及其方程曲面及其方程 所形成的曲面称为所形成的曲面称为 移动的直线移动的直线L 柱面柱面. . L C 准线准线 母线母线 第10页/共36页 2009.2.67-3-12 因此因此,该方程的图形是以该方程的图形是以xOy面上圆为准线面上圆为准线, 例例 讨论方程讨论方程 的图形的图形. 222 Ryx 在在xOy面上面上 , 222 Ryx 解解 母线平行于母线平行于z轴的轴的柱面柱面. 曲面及其方程曲面及其方程 表一个表一个圆圆C. 过点过点 作平行

9、作平行z轴的直线轴的直线L, )0 ,( 1 yxM 设点设点 在圆在圆C上上, 对任意对任意z,点点 的坐标也满足方程的坐标也满足方程沿曲线沿曲线C, 平行于平行于z轴的一切直线所形成的曲面上的点轴的一切直线所形成的曲面上的点 的坐标的坐标都满足此方程都满足此方程, , 在在空间空间, , 222 Ryx 就是就是圆柱面方程圆柱面方程. . 此曲面称为此曲面称为圆柱面圆柱面. . ),(zyxM L x y z O C 1 M M )0 ,( 1 yxM , 222 Ryx 第11页/共36页 2009.2.67-3-13 x y z Ox y z O xy 平面平面 表示母线平行于表示母线

10、平行于zxy2 2 .2 2 xy xy 表示母线平行于表示母线平行于z轴轴 .xy 曲面及其方程曲面及其方程 xy2 2 抛物柱面抛物柱面 柱面举例柱面举例 其准线是其准线是xOy面面 上的抛物线上的抛物线 轴的柱面轴的柱面, 的柱面的柱面,其准线是其准线是xOy面面 上上的直线的直线 第12页/共36页 2009.2.67-3-14 总结：总结：柱面的特征柱面的特征： （其他类推）（其他类推） 实实 例例 1 2 2 2 2 c z b y 椭圆椭圆柱面柱面 1 2 2 2 2 b y a x 双曲双曲柱面柱面 pzx2 2 抛物抛物柱面柱面 , 0),(, yxFzyx的方程的方程而缺而

11、缺只含只含 直角坐标系中表示平行于直角坐标系中表示平行于z轴的柱面轴的柱面, 在空间在空间 为为xOy面上的曲线面上的曲线 C. 其准线其准线 曲面及其方程曲面及其方程 母线平行于母线平行于x轴轴 母线平行于母线平行于z轴轴 母线平行于母线平行于y轴轴 第13页/共36页 2009.2.67-3-15 曲面及其方程曲面及其方程 具体形式为：具体形式为： 三元二次方程三元二次方程所表示的曲面称为所表示的曲面称为 0 222 qnzmyhxgzxfyzexyczbyax qnmlgfecba,其中其中 均为常数均为常数. 球面、球面、 二次曲面二次曲面. 如如 某些柱面某些柱面(圆柱面、抛物柱面、

12、双曲柱面等圆柱面、抛物柱面、双曲柱面等) 都是二次曲面都是二次曲面. 第14页/共36页 2009.2.67-3-16 研究二次曲面的方法是采用研究二次曲面的方法是采用截痕法截痕法. 下面用下面用截痕法截痕法讨论上面几种特殊的二次曲面讨论上面几种特殊的二次曲面. 即用即用 坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截, 考察其交线考察其交线(即截痕即截痕)的形状的形状, 然后加以综合然后加以综合, 从而了解曲面的全貌从而了解曲面的全貌 . 曲面及其方程曲面及其方程 第15页/共36页 2009.2.67-3-17 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x

13、曲面及其方程曲面及其方程 )0, 0, 0( cba 由方程可知：由方程可知：, 1, 1, 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 即即 ,|,|,|czbyax 说明椭球面包含在由平面说明椭球面包含在由平面 围成的长方体内围成的长方体内. czbyax , 第16页/共36页 2009.2.67-3-18 曲面及其方程曲面及其方程 先考虑椭球面与坐标面的截痕：先考虑椭球面与坐标面的截痕： 0 1 2 2 2 2 y c z a x 0 1 2 2 2 2 z b y a x 去截这个曲面去截这个曲面,所得截痕的方程是所得截痕的方程是 )|0( 11 czzz 0 1 2 2 2

14、 2 x c z b y 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 1 z 000 这些截痕都是这些截痕都是椭圆椭圆. 再用平行于再用平行于xOy面的平面面的平面 1 2 2 1 2 2 2 2 1 zz c z b y a x 这些截痕也都是这些截痕也都是椭圆椭圆. 第17页/共36页 2009.2.67-3-19 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化. 曲面及其方程曲面及其方程 与平面与平面 , 1 xx 1 yy 椭圆椭圆.同理同理,的截痕也是的截痕也是 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x1x 1 y z x y O x y

15、z O 第18页/共36页 2009.2.67-3-20 椭球面的几种特殊情况椭球面的几种特殊情况: )1(1 2 2 2 2 2 2 c z a y a x 旋转旋转椭球面椭球面 1 2 2 2 2 c z a x 由椭圆由椭圆 旋转椭球面与椭球面的旋转椭球面与椭球面的区别区别： 1 2 2 2 22 c z a yx 方程可写为方程可写为 与平面与平面 1 zz )| ( 1 cz ba 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x a 绕绕z轴旋转而成轴旋转而成. 的交线为的交线为圆 圆. 曲面及其方程曲面及其方程 第19页/共36页 2009.2.67-3-21 cba )2(1

16、 2 2 2 2 2 2 a z a y a x 球面球面 2222 azyx 方程可写为方程可写为 曲面及其方程曲面及其方程 x y z O 第20页/共36页 2009.2.67-3-22 z q y p x 22 22 （ 与与 同号）同号）pq椭圆抛物面椭圆抛物面 用截痕法讨论用截痕法讨论 用平面用平面)0( zxOy 设设0, 0 qp 原点叫做椭圆抛物面的原点叫做椭圆抛物面的 去截这曲面去截这曲面, 顶点顶点. 0 (1) 曲面及其方程曲面及其方程 截痕为截痕为原点原点. 用平面用平面 1 zz 1 1 2 1 2 1 22 zz qz y pz x )0( 1 z去截这曲面去截这

17、曲面,截痕为截痕为椭圆椭圆. ,0 1 时时当当z截痕退缩为原点截痕退缩为原点;,0 1 时时当当 z截痕不存在截痕不存在. 1 z 第21页/共36页 2009.2.67-3-23 用坐标面用坐标面)0( yxOz 0 2 2 y pzx 截痕为截痕为抛物线抛物线. z q y p x 22 22 (2) 0 曲面及其方程曲面及其方程 去截这曲面去截这曲面, 用平面用平面 1 yy 1 2 1 2 2 2 yy q y zpx 它的轴平行于它的轴平行于 轴轴z 顶顶 点点 q y y 2 , 0 2 1 1 去截这曲面去截这曲面, 截痕为截痕为抛物线抛物线. 1 y 第22页/共36页 20

18、09.2.67-3-24 用坐标面用坐标面)0( xyOz 1 xx 同理当同理当 0, 0 qp z q y p x 22 22 (3) 时可类似讨论时可类似讨论. 01x 曲面及其方程曲面及其方程 去截这曲面去截这曲面, 及平面及平面 截痕为截痕为抛物线抛物线. 0, 0 qp0, 0 qp 椭圆抛物面的图形如下：椭圆抛物面的图形如下： z x y O O z x y x y z O 第23页/共36页 2009.2.67-3-25 ,时时当当qp z p y p x 22 22 旋转抛物面旋转抛物面)0( p (由由 面上的抛物线面上的抛物线xOzpzx2 2 1 1 22 2 zz p

19、zyx 用平面用平面 1 zz )0( 1 z 当当 变动时，这种圆变动时，这种圆 的的中心中心都在都在 轴上轴上. 1 z z 特殊地特殊地方程变为方程变为 z q y p x 22 22 而成而成 的的) p p 1 z 曲面及其方程曲面及其方程 去截这曲面去截这曲面,截痕为截痕为圆圆. 绕绕z轴旋转轴旋转 第24页/共36页 2009.2.67-3-26 z q y p x 22 22 （ 与与 同号）同号）pq双曲抛物面双曲抛物面 用截痕法讨论：用截痕法讨论：设设 0, 0 qp图形如下：图形如下： 有两个异号的平方项有两个异号的平方项,另一变量另一变量 方程方程 z = xy表表 示

20、什么曲面？示什么曲面？ 马鞍面马鞍面 特点是特点是 :是一次项是一次项, 无常数项无常数项. (马鞍面马鞍面) 曲面及其方程曲面及其方程 x y z O 第25页/共36页 2009.2.67-3-27 单叶双曲面单叶双曲面1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 特点是特点是: 平方项有一个取负号平方项有一个取负号,另两个取正号另两个取正号. 曲面及其方程曲面及其方程 O x y z x y z O 第26页/共36页 2009.2.67-3-28 类似地类似地,1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 亦表亦表 示示

21、单叶双曲面单叶双曲面. 方程方程 曲面及其方程曲面及其方程 第27页/共36页 2009.2.67-3-29 双叶双曲面双叶双曲面 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 或或 特点是特点是:平方项有一个取正号平方项有一个取正号,另两个取负号另两个取负号. 它分成上、下两个曲面它分成上、下两个曲面. 注注 曲面及其方程曲面及其方程 x y z O 类似地类似地, 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 或或 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 亦表示亦表示 方程方程 双叶双曲面双叶双曲面. 第28页/共

22、36页 2009.2.67-3-30 方程方程 表示表示( ) (A) 双曲柱面双曲柱面; (D) 锥锥面面. (C)双叶双曲面双叶双曲面; (B)旋转旋转双曲面双曲面; B 椭圆抛物面椭圆抛物面 双曲抛物面双曲抛物面(马鞍面马鞍面 ） 填空填空 设有曲面方程设有曲面方程 则方程表示的曲面为则方程表示的曲面为 ,0,2 22 时时当当 pqz q y p x 方程表示的曲面为方程表示的曲面为 ,0时时当当 pq 1 4 2 2 2 z y x 曲面及其方程曲面及其方程 选选 择择 第29页/共36页 2009.2.67-3-31 上海交大上海交大,填空填空,(90级级) 是是0132 222 zyx 双叶双双叶双曲面曲面, 它的对称轴在它的对称轴在 轴上轴上. y 上海交大上海交大,填空填空,(95级级) .43 222 面面所表示的曲面是所表示的曲面是方程方程yxz 椭圆锥椭圆锥 曲面及其方程曲面及其方程 第30页/共36页 2009.2.67-3-32 截痕法截痕法; (熟知这几个常见曲面的特性熟知这几个常见曲面的特性) 椭球面、抛物面、双曲面椭球面、抛物面、双曲面. 曲面方程的概念曲面方程的概念 旋转曲面的概念旋转曲面的概念(轴、母线轴、母线)及求法及求法; 柱面的概念柱面的概念(母线、准线母线、准线); ; 0),( zyxF 曲面及其方