高一数学等差数列及其前n项和人教版【会员独享】

1、高一数学等差数列及其前高一数学等差数列及其前 n 项和项和人教版人教版 【同步教育信息同步教育信息】 一. 本周教学内容： 等差数列及其前 n 项和 二. 重点、难点： 1. 等差数列的概念：), 1( * 1 Nnndaa nn 2. 等差数列的通项公式：), 1() 1( * 1 Nnndnaan 3. 等差数列的前 n 项和公式：； 2 )( 1n n aan S d nn naSn 2 ) 1( 1 【典型例题典型例题】 例 1 设等差数列的前 n 项和为，令，且 n a n S * , 1 Nn S b n n ，求数列的前 n 项和。21, 2 1 5333 SSba n b n

2、T 解：解：由为等差数列，设公差为 d，则， n ad nn naSn 2 ) 1( 1 d nn na bn 2 ) 1( 1 1 由已知，即，（1） 2 1 33 ba 2 1 33 2 1 1 da da 0 1 da 又由，即，（2）21 53 SS2110533 11 dada21138 1 da 由（1）、（2）联立，解得： 1 1 1 d a 故 2 ) 1( nn Sn) 1 11 (2 ) 1( 21 nnnnS b n n nn bbbT . 21 1 2 ) 1 11 . 3 1 2 1 2 1 1 (2 n n nn 例 2 已知等差数列的首项，公差，它的前 n 项和为

3、， n a100 1 a8d n S （1）若，求 n 的最小值。0 n S （2）求的最小值。 n S 解：解： （1）由已知，即。8 2 ) 1( 100 nn nSnnnSn1044 2 ，即，故0 n S0)26(4nn26n 因此 n 的最小值为 27。 （2）当且仅当时，最小 0 0 1n n a a n S 由，得 08100 08) 1(100 n n 5 . 12 5 . 13 n n 即，所以最小。13n 13 S 另解：另解：，nnSn1044 2 676)13(4 2 nSn 故时，取最小值。13n n S 例 3 设数列的前 n 项和为，试证为等差数列的充要条件是 n

4、 a n S n a 。)(, 2 )( *1 Nn aan S n n 证明：证明：（）若为等差数列，则 n a ，故 23121nnn aaaaaa )( . )()(2 1221 aaaaaaS nnnn 2 )( 1n n aan S （）当时，由题设，2n 2 )(1( 11 1 n n aan S 2 )( 1n n aan S 故 1 nnn SSa 2 )(1( 2 )( 111 nn aanaan 同理 2 )( 2 )(1( 111 1 nn n aanaan a 从而 2 )(1( )( 2 )(1( 11 1 11 1 n n n nn aan aan aan aa )

5、(1()(2)(1()(2 111111 nnnnn aanaanaanaa 11 ) 1() 1(2) 1( nnn ananan 11 2 nnn aaa 11 nnnn aaaa 由此式对任意，成立，即2n * Nn 1211 . aaaaaa nnnn 故为等差数列。 n a 例 4 已知数列的前 n 项和为，数列的每一项都有，求 n a 2 12nnSn n b| nn ab 数列的前 n 项和。 n b n T 解：解：当时，由2n 1 nnn SSa ) 1() 1(12)12( 22 nnnnann213 当时，适合上式。故1n11 11 Sa)(213 * Nnnan 由|

6、nn ab 当，即时，故；0213nan5 . 6n nn ab 2 12nnST nn 当，即时，故0213nan5 . 6n nn ab 7212)12()6612(22)( 222 666 nnnnSSSSST nnn 综上，数列的前 n 项和为 n b *) , 7 (,7212 *), 6(,12 2 2 Nnnnn Nnnnn Tn 【模拟试题模拟试题】 一. 选择题： 1. 对是数列成等差数列的（ ） nn nn aa aa Nn 1 12 *,1 n a A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 2. 等差数列中，则 n a2d50 .

7、 31741 aaaa 等于（ ） 421062 . aaaa A. 60B. C. 182D. 8296 3. 在等差数列中，已知，且其中奇数项之和与偶数顶之和的比 n a354 12 S 奇 S ，则公差 d 等于（ ） 偶奇 SS:32:27 A. 10B. 30C. 5D. 15 4. 数列成等差数列的充要条件为（ ） n a *), 2(,2 21 Nnnaaa nnn ),*,(,为常数BANnBAnan ),*,(, 2 为常数BANnBnAnSn （，A、B、C 为常数且）CBnAnSn 2 *Nn0C A. 和B. 和C. 和D. 和 二. 填空题： 1. 设等差数列的前 n

8、 项和为，已知，则该数列前 n a n S0, 0,12 13123 SSa 项和最大。 2. 设有两等差数列 2，6，10，190 与 2，8，14，200。则这两个数列之间 共有 个相同的项。 3. 已知等差数列的公差为， n a 2 1 d 99531100 . ,145aaaaSS 奇 ，则 ， 。 99963 . aaaaS 奇 SS 4. 等差数列的前 n 项和为 30，前 2n 项和为 100，则前 3n 项和为 。 n a 三. 解答题： 1. 已知两个等差数列：3，7，11，695，：2，9，16，709，则 n a n b 这两个数列有多少相同的项，并求所有相同项的和。 2

9、. 已知数列和的通项满足，求证：是等 n a n b n naaaa b n n . 321 . 32 321 n b 差数列的充要条件是是等差数列。 n a 【试题答案试题答案】 一. 1. A 2. B 3. C 4. C 二. 1. 6 2. 16 3. 60，56.1 4. 210 三. 1. 解：由已知57, 14nbna nn 令，即，得 kn ba 5714kn1 4 7 k n 由，故 k 为 4 的倍数，*Nn*,4Nmmk 即中项数为的项为两数列的公共项。 n b*)(,4Nmm 528 4 mb m 令，即得695 4 m b695528m25m 故共有 25 项相同，它

10、们的和设为 S，则 8975 2 2510)1004(7 25 2 1004 bb S 2. 解：先证充分性，由等差，设公差为 d，由已知 n adnaan) 1( 1 ) 1( . )2(3)(2) . 21 ( 1111 dnandadaabn n dnnanbnn n ) 1( . 433221 ) . 321 () 1( 2 1 1 而nn) 1( . 433221 ) 1)(1( 3 1 ) 1( 2 1 ) 12)(1( 6 1 ) . 321 () . 321 ( )( . )33()22( 2222 222 nnn nnnnn nn nn 故dnnnannbnn n ) 1)(1( 3 1 ) 1( 2 1 ) 1( 2 1 1 dnabn) 1( 3 2 1 dbb nn 3 2 1 所以是公差为，首项的等差数列。 n bd 3 2 1 a 再证必要性，由等差，设公差，则，由已知 n b d dnbbn) 1( 1 nn bnnaaaa) . 321 ( . 32 321 即 nn bnnnaaaa) 1( 2 1 . 32 321 则 11321 )2)(1( 2 1 ) 1( . 32 nnn bnnannaaaa 两式相减 )2)