一元随机变量及分布

1、 一元随机变量及分布 随机变量数字特征 一元随机变量及分布 一、随机变量及分布 二、离散型随机变量及分布 三、分布函数 四、离散型随机变量的分布函数 五、连续型随机变量及概率密度 六、一元随机变量函数的分布 一、随机变量及分布 1、随机变量：对于随机试验的每一个可能结果w (样本 点) ,都有唯一的实数X(w)与之对应，则称X(w)是一 个随机变量，简记为R. V. X 注意： (1)随机变量X(w)实质是函数， X(w)取值是值 域 (2)实验结果是随机的， X(w)取值也是随机 (3)实验的各个结果的出现有一定概率， X(w)取值有一定概 率 离散型 连续型 取值为有限个和至多可列个的 随

2、机变量. 可以取区间内一切值的随机变量. 、分类 、离散型随机变量定义：设X是一个随机变量，如果X 的所有可能取的值为有限个或可数个，则称X为离散型随 机变量，记为 D.R.V X 2、离散型随机变量的概率分布：设X是离散型随机变 量，可能取的值为 ，则称 为X的 概率分布或分布列 3、分布列的性质 （1） （2） 4、求分布列的步骤： （1）明确X的含义及一切可能取 值。（2）利用概率的计算方法，计算X取各值的概率。 , 21 xx, 2 , 1ipxXP ii ,2, 10ip i 1 i i p X 1 x 2 x 3 x i x P 1 p 2 p 3 p i p 例1设某项试验的成功

3、率是失败率的2倍，试用一个 随机变量描述该项一次试验的结果,求分布列。 2/31/3P 10X 解:设X为一次试验的成功次数 由已知条件求随机变量分布列的例题 例、袋中有只同样大小的球，编号为、 、从中同时取出只球，以X表示取 出的球的最大号码，求X的概率分布 6/103/101/10P 543X 解:设X取出的球的最大号码 3 5 3 3 3 C C XP 3 5 2 3 1 1 4 C CC XP 3 5 2 4 1 1 5 C CC XP 例3设一试验成功的概率为p(0p1),接连重复进行 试验,直到首次成功出现为止,求试验次数的概率分布. . 解 设X表示试验次数,X取值为1,2,.,

4、n,., PX=1=p, PX=2=(1-p)p, ., PX=n=(1-p)n-1p., 记 q=1-p, 则X的概率分布为: 几何分布几何分布 例4某射手有五发子弹，每次射击命中目标的概 率为.，如果命中就停止射击，不命中就一直射 到子弹用尽。（1）射击次数X的分布列 8 . 08 . 02 . 08 . 02 . 08 . 02 . 08 . 02 . 02 . 0 12345 2345 p X X 8 . 08 . 02 . 08 . 02 . 08 . 02 . 08 . 02 . 02 . 0 43210 2345 p Y Y Y=5-X （）求子弹剩余数Y的分布列 解:(1) 例

5、5一袋中有5个新球，3个旧球。每次从中任取一 个，有下述两种方式进行抽样，X表示直到取得新 球为止所进行的抽样次数：（1）不放回地抽取； （2）有放回地抽取。求X的分布列。 56 1 56 5 56 15 8 5 4321 X , 3 , 2 , 1 8 5 8 3 ) 2( 1 kkXP k 1 8 1 3 11 C C XP）解：（ 1 7 1 5 1 8 1 3 1 C C C C XP 1 6 1 5 1 7 1 2 1 8 1 3 3 C C C C C C XP14 1 6 1 1 1 7 1 2 1 8 1 3 C C C C C C XP 几何分布 例6一汽车沿一街道行驶，需要

6、通过三个均设有红 绿信号灯的路口。每个信号灯为红或绿与其它信 号灯为红或绿独立，且红绿两种信号显示时间相 等。以X表示汽车首次遇到红灯前已通过的路口 数，求X的概率分布。 8 1 8 1 4 1 2 1 3210 p X X 2 1 0XP解： 2 1 2 1 1XP 2 1 2 1 2 1 2XP 2 1 2 1 2 1 3XP 例7设一个试验只有两个结果：成功或失败， 且每次试验成功的概率为P现反复试验，直 到获得K次成功为止以X表示获得K次成功 时的实验次数，求X的概率分布 iXP解： , 1,)1 ( 1 1 kkipp kik k ic ppp kik k ic )1 ( 1 1 1

7、 10-1分布 均匀分布 . 1 , 0)1 ( 1 kPPKXP kk .2 , 1 1 nk n xXP k .2 , 1)1 ( 1 kPpKXP K 几何分布 常用离散型分布 1、定义：设X是一个随机变量，x为任意实数，函 数 称为X的分布函数 2、性质： （1） （2） 是非减函数 （3） （4） 右连续， 即 xxXPxF)( xxF1)(0 )(xF 0)()(1)()( limlim xFFxFF xx )()( 0lim 0 xFxF xx 11 10 2 00 )()( 2 1 x x x x xFA 21 21 2 1 10 3 1 00 )()( 2 x x x x x

8、FB 00 0 1 )1ln( )()( 3 x x x x xFC 00 01 )()( 4 x xe xFD x 10 1 1 1 1 )1ln( )( limlimlim3 x x x xF xxx 00 0 1 )1ln( )()( 3 x x x x xFC 下列四个函数中，不能作为随机变量分布函数的是 解: 故选 2 1 2 1 10 p X )(xXPxF 0 x0)(xXPxF 10 x 2 1 )(xXPxF 1x 1)(xXPxF 11 10 2 1 00 )( x x x xF 例.X 的概率分布 是： 求其分布函数 解：当解：当 分布函数为分布函数为 0 1 xxx x

9、x i i pxXPxF)( 1、分布列与分布函数的关系： xx i i pxF)( )0()(aFaFaXP )(xF xx i i p )(.2xF分布列 bxa i i paFbFbXaP)()( 3、分布函数、分布列与事件概率的关系 ax i i paFaXP)( )(1aXPaXP 4 .06 .0 10 p X )(xXPxF 0 x0)(xXPxF 10 x 6 . 0)(xXPxF 1x 1)(xXPxF 11 106.0 00 )( x x x xF 例X的概率分布是： 则其分布函数 解：当解：当 分布函数为 - 0XP 1XP 6 .0)0(F 1)1 (F 10 XP4

10、.0)0()1 (FF 例2.若X的概率分布如下，分别求其分布函数 X01 P1/32/3 X 345 P1/103/106/10 11 10 3 1 00 )( x x x xF 51 54 10 4 43 10 1 30 )( x x x x xF 41XP 10 4 )1()4(FF 54 XP 10 3 )5()4()54(XPXPXP 10 6 10 3 )4()5(FF 10 6 10 3 10 4 1 1 1、定义：、定义：设随机变量X的分布函数为F(x)，如 果存在非负函数f(x)，使得对任意实数X有： 则称X是连续型随机变量，记为:C.R.V X 称f(x)是X的概率密度函数

11、，简称概率密度 xdttfxF x )()( 0)()1(xf 0)4( aXP bXaPbXaPbXaP b a dxxfbXaP)() 3 ( )()(xfxF 的连续点处，有）在（)(5xf 2、概率密度的性质： 连续型随机变量的分布函数处处连续 1)()2( dxxf 3、密度函数和分布函数与事件概率的关系 )()(2aFdxxfaXP a ）（ )()()(1aFbFdxxfbXaP b a ）（ )(1)(3aFdxxfaXP a ）（ )()(xfxF x dxxfxF)()( )()(xfxF )()(xFxf 4、密度函数和分布函数的关系 例下列函数可以作为某一连续型随机变量

12、的概率密度的 是_ 其它0 2 , 2 sin )()( 3 xx xfC 其它0 , 0sin )()( 1 xx xfA 其它0 2 3 , 0sin )()( 2 xx xfB 其它0 2 , 0sin )()( 4 xx xfD Dxdxdxxfxf故选且1sin)(0)( 2 0 44 解:(A) 20sin0)( 0 0 1 dxxdxdxdxxf （B），（C）中的函数不是非负函数 1234 -1 -0.5 0.5 1 -1.5 -1 -0.50.511.5 -1 -0.5 0.5 1 判断函数是否为某连续随机变量的密度函数 例若f(x),g(x)均在同一区间a,b上是概率密度函

13、数试证 (1) f(x)+g(x)不是这区间上的概率密度函数 (2)对任一数 （0 ）, f(x)( ) g(x)是 这个区间上的概率密度函数 1)()(0)(, 0)() 1 ( b a b a dxxfdXxfxgxf且解： 2)()( b a dxxgxf又 故f(x)+g(x)不是这区间上的概率密度函数 1)1()()1()()2( b a dxxgxf 故 f(x)( ) g(x)是 这个区间上的概率密度函数 例若C. R .V X的概率密度是， 求待定参数B及P0X0.5 其它0 10 1 )( 2 x x B xf 1 02 1 )(1dx x B dxxf解： 2 arcsin

14、 1 11 0 1 02 BxBdx x B 2 B b a dxxfbXaP)( 5 . 0 0 )(5 . 00dxxfXP 5 . 0 02 1 12 dx x 3 1 6 2 arcsin 2 5 .0 0 x 已知某连续随机变量的密度函数或分布函数求其中的未知 参数并利用密度函数或分布函数求事件的概率 例2设连续型随机变量X的概率密度为 试确定常数b的值及PX2 其它0 1ln )( bxx xf 1lnlnln)(1 1 1 1 bbbdxxxxdxdxxf b b b 解： eb 2 )(2dxxfXP 2 1 ln xdx 122ln2ln 2 1 2 1 dxxx 12ln2

15、 例3连续型随机变量X的概率密度为： （1）试确定常数的值 （）如果概率 试确定常数b 的值。 其它0 )1( 2 )( 2 xa x xf a 5 . 0bXaP arctgaarctgxdx x dxxf a a 2 1 2 )1 ( 2 )(1).1 ( 2 解： 00aarctga b b arctgdx x bXaP 0 0 2 2 1 12 ).2( 5 . 0 2 arctgb 4 arctgb 书P68 6 1 b 21 211 2 1 10 0 )( 2 2 x xxCx xBx xA xF 21 211 2 1 2 10 2 1 00 )( 2 2 x xxx xx x x

16、F （2）求P1X3 例4.若C .R. V X的分布函数是 求（）待定参数A，B，C。 Axf x 0)(lim)1(解： ,1)(lim 2 xf x 又32)(lim 2 Cxf x 2 C ,)(lim 1 Bxf x 而 2 1 )(lim 1 xf x 2 1 B 0 A ) 1 ()3(31)2(FFXP 2 1 （2）求PX 例.服从柯西分布的随机变量X的分布函数是 .)(BarctgxAxF 求（）待定参数A，B 0) 2 ()(lim)(lim)1 ( BABarctgxAxF xx 解： 1 2 )(lim)(lim BABarctgxAxF xx 1 2 0 2 BA

17、BA 1 , 2 1 BA 5 . 0) 1() 1 ( 11) 2 (FFXP 例1服从指数分布的RVX的概率密度为 求：X的分布函数 解： ) 0( 00 0 )( x xe xf x )0( 00 01 )( x xe xF x 00)(01 0 dxxFx）（ x x x ee 1 0 x dxxfxFx)()(0)2( x dxxfxXPxF)()()( )( 0 xde x x 0 xx dxedx x x 0 0 0 已知密度函数求分布函数；已知分布函数求密度 函数 例例2若若C. R .V XC. R .V X的概率密度是，的概率密度是， 求求X的分布函数的分布函数 其它0 1

18、0 1 12 )( 2 x x xf 0)(01xFx）（ x dxxfxF)()( dx x dxdxxfxFx xx 02 0 1 12 0)()(10)2( 10 1 12 0)(1) 3( 1 1 02 0 x dxdx x dxxFx xx x arcsin 2 arcsin 2 0 11 10arcsin 2 00 )( x xx x xF 例3设连续型随机变量X的概率 密度为试求X的分布函数 其它0 1ln )( exx xf ex exxxx x xF 1 11ln 10 )( 0)(11xFx）解：（ x dxxfxF)()( dxxdxxfxFex xx 1 ln)()(1

19、 )2( 10ln0)()3( 1 0 x e e dxdxxdxxFex 1lnln 1 1 xxxdxxx x x 例4连续型随机变量X的概率密度为： 其它0 0 )1( 2 )( 2 x x xf 求X的分布函数 x dxxfxF)()( 0)(01xFx）（ dx x xFx x 0 2 1 12 )(0)2( arctgx 2 其它0 0 2 )( xarctgx xF 书P68 6 解解: 求X的密度函数 例5.服从柯西分布的随机变量X的分布函数是 .)(BarctgxAxF )1( 1 )( 2 x xf )()(xfxF解： 例6.若C .R. V X的分布函数是 求X的密度函

20、数 21 211 2 1 2 10 2 1 00 )( 2 2 x xxx xx x xF 其它 解： 0 212 10 )()(xx xx xFxf x dxxdxxdxxFx 1 1 0 0 )2(0)(21)3( dxxdxxFx x 0 0 0)(10)2( x dxdxxdxxdxxFx 2 2 1 1 0 0 0)2(0)(2)4( x odxxFx)(01 ）（ 求X的分布函数 例7.某型号电子管，其寿命为一随机变量，概率密度 为 某一个电子设备内配有三个这样的电子管， 求电子管使用小时都不需要换的概率 其它0 100 100 )( 2 x x xf 为电子管寿命解：设 X 3 2100100 150 150 150 2 x dx x XP则 又设A为个电子管使用小时都不需要换 27 8 ) 3 2 ()( 3 AP则 例8.某城市每天用电量不超过百万千瓦小时，以X表 示每天的耗电率（用电