重庆大学土木工程弹性力学04

1、前言前言 对于由径向线与圆弧线围成的圆形、圆环对于由径向线与圆弧线围成的圆形、圆环 形、楔形、扇形的弹性体，宜用极坐标求解。采形、楔形、扇形的弹性体，宜用极坐标求解。采 用极坐标表示，这些形状的弹性体体现边界条件用极坐标表示，这些形状的弹性体体现边界条件 的表示和方程的求解得到较大的简化。的表示和方程的求解得到较大的简化。 极坐标和直角坐标都是正交坐标系，但两者有明显 的差别：在直角坐标中，x和y坐标线都是直线，有固定 的方向， x和y坐标的量纲相同，都是L。在极坐标中， 坐标线（ =常数）和 坐标线（ =常数）在不同的点 有不同的方向。 坐标线是直线，而 坐标线为圆弧曲 线； 坐标的量纲是L

2、，而 坐标为量纲为一的量。 4-1 4-1 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程 1. 极坐标中的应力及微元体 x y O d d P A B C dd )( d d d d d d 体力：体力： 应力：应力： PA面面 ,PB面面 , BC面面 d d d BC面面 应力正向规定：应力正向规定： 正应力正应力 拉为正，压为负；拉为正，压为负； ff , f f 剪应力剪应力 的的正面正面上，与坐标方向上，与坐标方向一一 致致时为正；时为正； 、 的的负面负面上，与坐标方向上，与坐标方向相相 反反时为正。时为正。 、 2. 平衡微分方程平衡微分方程 考虑微元体平衡（取厚度为考虑微元体平

3、衡（取厚度为1）：）： , 0 F dd dd )( ddd)( 2 d d 2 d dd d dd dd d dd dd 2 2 d d 2 d dd 2 d d 将上式化开：将上式化开： （高阶小量，舍去）（高阶小量，舍去） x y O d d P A B C dd )( d d d d d f f 0 ddf 0 ddf dd dd dd dd 1 两边同除以两边同除以 ： dd , 0 F dd d d ddd)( 2 d dd 2 d d0f rdrd 两边同除以两边同除以 ，并略去高阶小量：，并略去高阶小量：rdrd 21 0 rr f rrr 0 ddf x y O d d P

4、A B C dd )( d d d d d f f 0 f , 0 M 剪应力互等定理剪应力互等定理 于是，极坐标下的平衡方程为：于是，极坐标下的平衡方程为： 1 0 r f 21 0 rr f rrr （41） 方程（方程（41）中包含三个未知量，而只有二个方程，是一次超静）中包含三个未知量，而只有二个方程，是一次超静 定问题，需考虑变形协调条件才能求解。定问题，需考虑变形协调条件才能求解。 x y O d d P A B C dd )( d d d d d f f 4-2 4-2 极坐标中的几何方程与物理方程极坐标中的几何方程与物理方程 1. 几何方程（位移定义）几何方程（位移定义） d

5、x y O P P A B d uA B 1 d u u du )( d u u (1) 只有径向变形，无环向变形。只有径向变形，无环向变形。 径向线段径向线段PA的相对伸长：的相对伸长： PA PAAP PA PPAA d ud u u u 1r （a） 径向线段径向线段PA的转角：的转角：0 1 （b） 线段线段PB的相对伸长：的相对伸长： PB PBBP d ddu )( u （c） 1 环向线段环向线段PB的转角：的转角： PB PPBB d ud u u )( u 1 11 tan（d） d x y O P B P A B d Au 1 u ud ()ud u ud 径向线段径向线段

6、PA的相对伸长：的相对伸长： u 1 （a） 径向线段径向线段PA的转角：的转角： 0 1 （b） 环向线段环向线段PB的相对伸长：的相对伸长： （c） u 1 环向线段环向线段PB的转角：的转角： 1 u 1 （d） 剪应变为：剪应变为： 111 1 u （e） d y x O P B d A P A B u u ud u ud (2) 只有环向变形，无径向变形。只有环向变形，无径向变形。 径向线段径向线段PA的相对伸长：的相对伸长： PA PAAP 0 dd d 2r （f） 径向线段径向线段PA的转角：的转角： 2 2 u udu d （g） 环向线段环向线段PB的相对伸长：的相对伸长：

7、 PB PBBP PB PPBB u udu d 1u 2 环向线段环向线段PB的转角：的转角： u （h） 2 2 u （i） 剪应变为：剪应变为： 222 uu （j） (3) 总应变总应变 12rrr 0 r ur r ur 21 u rr ur1 21 rrr r u r uu r r 1 整理得：整理得： r ur r u rr ur1 r u r uu r r r 1 （42） 2. 物理方程物理方程 平面应力情形：平面应力情形： )( 1 rr E )( 1 r E rrr EG )1 (21 平面应变情形：平面应变情形： ) 1 ( 1 2 rr E rrr EG )1 (21

8、 ) 1 ( 1 2 r E （43） （44） 弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程： 平衡微分方程：平衡微分方程： （41） r r 1 r r r r 0 r f 21 0 rr f rrr 几何方程：几何方程： r ur r u rr ur1 r u r uu r r r 1 （42） 物理方程：物理方程：)( 1 rr E )( 1 r E rrr EG )1 (21 （43） (平面应力情形平面应力情形) 边界条件：边界条件：位移边界条件：位移边界条件： , rsr uu uu s 应力边界条件：应力边界条件： rrr ss lmf r ss

9、lmf uur,为边界上已知位移，为边界上已知位移， , r ff 为边界上已知的面力分量。为边界上已知的面力分量。 （位移单值条件）（位移单值条件） r r r 0 ar r 0 ar r 0 br r 0 br r 0 0 b a dr 0 0 b a r dr Mrdr b a 0 r r l r 0 0 0 r 0 0 r 0 q l r 0 0 0 0 r 0 180 0 180 r r r a 0sincos 0 ad ar r ar r 0cossin 0 ad ar r ar r 0 0 Mada ar r 0 x F 0 y F 0 O M 取半径为取半径为 a 的半圆分析，

10、由其平衡得：的半圆分析，由其平衡得： 4-3 4-3 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程 1. 直角坐标下变形协调方程（相容方程）直角坐标下变形协调方程（相容方程） yxxy xyy x 2 2 2 2 2 （2-22） 22 22 ()(1) y x xy f f yxxy （2-23） （平面应力情形）（平面应力情形） 0)( 2 2 2 2 yx yx （2-25） 02 4 4 22 4 4 4 4 yyxx (2-27) 2 2 xx f x y 2 2 yy f y x yx xy 2 (2-26) 应力的应力函数表示：应力的应力函数表示： ),(yx 2.

11、极坐标下的应力分量与相容方程极坐标下的应力分量与相容方程 方法方法1：（步骤）：（步骤） （1）利用极坐标下的几何方程，求得应变表示的相容方程：）利用极坐标下的几何方程，求得应变表示的相容方程： r r rr r rrrr rrr )(111 2 2 2 2 （2）利用极坐标下的物理方程，得应力表示的相容方程：）利用极坐标下的物理方程，得应力表示的相容方程： 0)( 11 2 2 2 2 r rrrr （常体力情形）（常体力情形） （3）利用）利用平衡方程平衡方程求出用应力函数表示的应力分量：求出用应力函数表示的应力分量： 2 2 2 11 rrr r 2 2 r rr r 1 （4）将上述应

12、力分量代入应力表示的相容方程，得应力函数表示的相容）将上述应力分量代入应力表示的相容方程，得应力函数表示的相容 方程：方程： 0 11 2 2 2 2 2 rrrr （常体力情形）（常体力情形） 方法方法2：（用极坐标与直角坐标之间的变换关系求得）：（用极坐标与直角坐标之间的变换关系求得） x y O r P x y （1）极坐标与直角坐标间的关系：）极坐标与直角坐标间的关系： 222 yxr x y arctan cosrx sinry cos r x x r sin r y y r rr y x sin 2 rr x y cos 2 （2）应力分量与相容方程的坐标变换：）应力分量与相容方程

13、的坐标变换： xx r rx rr sin cos rr sin cos yy r ry rr cos sin rr cos sin 应力分量的坐标变换应力分量的坐标变换 ),(r x y rrrrx sin cos sin cos 2 2 rrrrr 22 2 2 2 sincossin2 cos 2 2 2 2 2 sincossin2 rr rrrry cos sin cos sin 2 2 rrrrr 22 2 2 2 coscossin2 sin 2 2 2 2 2 coscossin2 rr (a) (b) xx yy rrrryx cos sin sin cos 2 rrrrr

14、cossinsincos cossin 222 2 2 2 2 22 22 cossinsincos rr (c) x y O r P x y 由直角坐标下应力函数与应力的关系（由直角坐标下应力函数与应力的关系（226）：）： 0 2 2 0 y x 0 2 2 0 x y 0 2 0 yx xy x y r r 2 2 2 11 rr rr 1 y rx ,0时当 0 2 2 0 y x r rrrrr 22 2 2 2 sincossin2 cos 0 2 2 2 2 2 sincossin2 rr 2 2 r 0 2 2 0 x y rrrrr 22 2 2 2 coscossin2 s

15、in 0 2 2 2 2 2 coscossin2 rr 2 2 2 11 rrr r 0 2 0 yx xy r rrr 222 2 2 sincos cossin 0 2 2 22 22 cossinsincoscossin rrrr rr r 1 极坐标下应力分量计算公式：极坐标下应力分量计算公式： 2 2 r 2 2 2 11 rrr r rrrrr r 111 2 2 （45） 可以证明：式（可以证明：式（45）满足平）满足平 衡方程（衡方程（41）。）。 相容方程的坐标变换相容方程的坐标变换 说明：说明：式（式（45）仅给出）仅给出体力为零体力为零时的时的 应力分量表达式。应力分量

16、表达式。 相容方程的坐标变换相容方程的坐标变换 rrrrrx 22 2 2 2 2 2 sincossin2 cos 2 2 2 2 2 sincossin2 rr rrrrry 22 2 2 2 2 2 coscossin2 sin 2 2 2 2 2 coscossin2 rr (a) (b) 将式将式(a)与与(b)相加，得相加，得 2 2 2 2 yx 2 2 22 2 11 rrrr 2 2 2 2 yx 2 2 22 2 11 rrrr 2 得到极坐标下的得到极坐标下的 Laplace 微分算子：微分算子： 2 2 22 2 2 11 rrrr 极坐标下的相容方程为：极坐标下的相容

17、方程为： 0 1111 2 2 22 2 2 2 22 2 22 rrrrrrrr 0 11 2 2 2 22 2 224 rrrr （46） 方程（方程（46）为）为常体力常体力情形的相容方程。情形的相容方程。说明：说明： 弹性力学极坐标求解归结为弹性力学极坐标求解归结为结论：结论： （1） 由问题的条件求出满足式（由问题的条件求出满足式（46）的应力函数）的应力函数),(r 0 11 2 2 2 22 2 4 rrrr （46） （2） 由式（由式（45）求出相应的应力分量：）求出相应的应力分量： rr , 2 2 r 2 2 2 11 rrr r rr r 1 （45） （3） 将上述应

18、力分量将上述应力分量 rr ,满足问题的边界条件：满足问题的边界条件： 位移边界条件：位移边界条件： , rsr uu uu s 应力边界条件：应力边界条件： rrr ss lmf r ss lmf uur,为边界上已知位移，为边界上已知位移， , r ff 为边界上已知的面力分量。为边界上已知的面力分量。 （位移单值条件）（位移单值条件） 4-4 4-4 应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式 (1) 用用极坐标极坐标下的应力分量表示下的应力分量表示直角坐标直角坐标下的应力分量下的应力分量 2sin2cos 22 r rr x 2sin2cos 22 r rr y 2cos2sin 2 r

19、 r xy (2) 用用直角坐标直角坐标下的应力分量表示下的应力分量表示极坐标下极坐标下的应力分量的应力分量 2sin2cos 22 xy yxyx r 2sin2cos 22 xy yxyx 2cos2sin 2 xy yx r （48） （47） 轴对称轴对称 轴对称轴对称：指物体的形状或某物理量是绕一轴：指物体的形状或某物理量是绕一轴 对称的。凡通过对称轴的任何面都是对称对称的。凡通过对称轴的任何面都是对称 面。如应力是绕面。如应力是绕z轴对称的，则在任一环向轴对称的，则在任一环向 线上的各点，应力分量的数值相同，方向线上的各点，应力分量的数值相同，方向 对称对称z轴。轴。 轴对称的应力

20、，在极坐标平面内应力分量轴对称的应力，在极坐标平面内应力分量 仅为仅为r的函数，不随的函数，不随而变；切应力为零。而变；切应力为零。 应力函数是标量函数，在轴对称应力状应力函数是标量函数，在轴对称应力状 态下，它只是态下，它只是r的函数。的函数。 )(r 4-5 4-5 轴对称应力与相应的位移轴对称应力与相应的位移 求解方法：求解方法： 逆解法逆解法 1. 轴对称问题应力分量与相容方程轴对称问题应力分量与相容方程 （1）应力分量）应力分量 2 2 dr d dr d r r 1 0 r （410） （2）相容方程）相容方程 0 1 2 2 2 4 dr d rdr d 2. 相容方程的求解相容

21、方程的求解 将相容方程表示为：将相容方程表示为： 0 11 2 2 2 2 dr d rdr d dr d rdr d 0 112 32 2 23 3 4 4 dr d rdr d rdr d rdr d 4阶变阶变系数系数齐次微分方程齐次微分方程 2 2 r 2 2 2 11 rrr r rr r 1 0 11 2 2 2 22 2 4 rrrr 0 112 32 2 23 3 4 4 dr d rdr d rdr d rdr d 4阶变阶变系数系数齐次微分方程齐次微分方程 方程两边同乘以方程两边同乘以 ： 4 r 02 2 2 2 3 3 3 4 4 4 dr d r dr d r dr

22、d r dr d r Euler 齐次微分方程齐次微分方程 令：令：)ln(rter t 或有有 , 1 dt d rdr d dt d dt d rdt d rdr d dr d 2 2 22 2 11 ,23 1 2 2 3 3 33 3 dt d dt d dt d rdr d dt d dt d dt d dt d rdr d 6116 1 2 2 3 3 4 4 44 4 代入上述方程代入上述方程 044 2 2 3 3 4 4 dt d dt d dt d 其特征方程其特征方程044 234 为方程的特征值为方程的特征值 044 2 2 3 3 4 4 dt d dt d dt d

23、 044 234 方程的特征根为：方程的特征根为： 2, 0 4321 于是，方程的解为：于是，方程的解为： DCeBteAt tt 22 将将 代代 回回 ：rtln DCrrBrrA 22 lnln （411） 轴对称问题相容方程的通解，轴对称问题相容方程的通解，A、 B、C、D 为待定常数。为待定常数。 3. 应力分量应力分量 2 2 dr d dr d r r 1 0 r （410） 将方程（将方程（4-11）代入应力分量表达式）代入应力分量表达式 CrB r A r 2)ln21 ( 2 CrB r A 2)ln23( 2 0 rr （412） 轴对称平面问题的应力分量表达式轴对称平

24、面问题的应力分量表达式 4. 位移分量位移分量),( uur 对于平面应力问题，有物理方程对于平面应力问题，有物理方程 )( 1 rr E CrBB r A E )1 (2ln)1 (2)31 ()1 ( 1 2 r ur )( 1 r E CrBB r A E )1 (2ln)1 (2)3()1 ( 1 2 r uu r r 1 0 1 r u r uu r r r （a） 积分式（积分式（a），有），有 CrB r A r 2)ln21 ( 2 CrB r A 2)ln23( 2 0 rr BrrBr r A E ur)31 () 1(ln)1 (2)1 ( 1 )()1 (2fCr （b

25、） )(f 是任意的待定函数是任意的待定函数 将式（将式（b）代入式（）代入式（a）中第二式，得）中第二式，得 r uCrBB r A E ru )1 (2ln)1 (2)3()1 ( 2 )( 4 f E Br 将上式积分，得将上式积分，得: )()( 4 1 rfdf E Br u （c） )( 1 rf 是是 r 任意函数任意函数 将式（将式（b）代入式（）代入式（c）中第三式，得）中第三式，得 0 1 r u r uu r r r 0 )( )( 1)()(1 11 r rf df rdr rdf d df r 或写成：或写成： df d df dr rdf rrf)( )()( )(

26、 1 1 要使该式成立，两要使该式成立，两 边须为同一常数。边须为同一常数。 F dr rdf rrf )( )( 1 1 Fdf d df )( )( （d） （e） 式中式中F 为常数。对其积分有：为常数。对其积分有： FHrrf)( 1（f） 其中其中 H 为常数。对式（为常数。对式（e）两边求导）两边求导 0)( )( 2 2 f d fd 其解为：其解为：sincos)(KIf（g） cossin )( )(KIF d df Fdf （h） 将式（将式（f） （h）代入式（）代入式（b） （c），得），得 BrrBr r A E ur)31 () 1(ln)1 (2)1 ( 1 )(

27、)1 (2fCr （b） )()( 4 1 rfdf E Br u （c） cossin 4 KIHr E Br u （4-13） sincos)1 (2KICr BrrBr r A E ur)31 () 1(ln)1 (2)1 ( 1 平面轴对称问题小结：平面轴对称问题小结： DCrrBrrA 22 lnln（411）（1） 应力函数应力函数 （2） 应力分量应力分量 CrB r A r 2)ln21 ( 2 CrB r A 2)ln23( 2 0 rr （412） （3） 位移分量位移分量 cossin 4 KIHr E Br u （4-13） sincos)1 (2KICr BrrBr

28、r A E ur)31 () 1(ln)1 (2)1 ( 1 式中：式中：A、B、C、H、I、K 由应力和位移边界条件确定。由应力和位移边界条件确定。 （3）位移分量位移分量 cossin 4 KIHr E Br u （4-13） sincos)1 (2KICr BrrBr r A E ur)31 () 1(ln)1 (2)1 ( 1 式中：式中：A、B、C、H、I、K 由应力和位移边界条件确定。由应力和位移边界条件确定。 由式（由式（4-13）可以看出：）可以看出： 应力轴对称并不表示位移也是轴对称的。应力轴对称并不表示位移也是轴对称的。 但在轴对称应力情况下，若物体的几何形状、受力、位移约

29、束都是但在轴对称应力情况下，若物体的几何形状、受力、位移约束都是 轴对称的，则位移也应该是轴对称的。轴对称的，则位移也应该是轴对称的。 这这 时，物体内各点都不会时，物体内各点都不会 有环向位移，即不论有环向位移，即不论 r 和和 取何值，都应有：取何值，都应有： 。0 u 对这种情形，有对这种情形，有 0KIHB 式（式（4-13）变为：）变为： 0 u Cr r A E ur)1 (2)1 ( 1 4-13（a） （4）位移分量位移分量 cossinKIHru sincosKIur 式中：式中：H、I、K 都是待定的常数，代表都是待定的常数，代表刚体位移刚体位移分量。分量。 0 r ur

30、r 0)sincos( 1 )sincos( 11 KI r KI r u rr ur 0)cossin( 1 )cossin( 11 KIHr r H KI rr u r uu r r r 与形变无关的位移与形变无关的位移 弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程： 平衡微分方程：平衡微分方程： （41） r r 1 r r r r 0 r f 21 0 rr f rrr 几何方程：几何方程： r ur r u rr ur1 r u r uu r r r 1 （42） 物理方程：物理方程：)( 1 rr E )( 1 r E rrr EG )1 (21 （4

31、3） (平面应力情形平面应力情形) 弹性力学平面问题极坐标求解步骤：弹性力学平面问题极坐标求解步骤： （1） 由问题的条件求出满足式（由问题的条件求出满足式（46）的应力函数）的应力函数),(r 0 11 2 2 2 22 2 4 rrrr （46） （2） 由式（由式（45）求出相应的应力分量：）求出相应的应力分量： rr , 2 2 r 2 2 2 11 rrr r rr r 1 （45） （3） 将上述应力分量将上述应力分量 rr ,满足问题的边界条件：满足问题的边界条件： 位移边界条件：位移边界条件： , rsr uu uu s 应力边界条件：应力边界条件： rrr ss lmf r

32、ss lmf uur,为边界上已知位移，为边界上已知位移，, r ff 为边界上已知的面力分量。为边界上已知的面力分量。 （位移单值条件）（位移单值条件） 平面轴对称问题的求解：平面轴对称问题的求解： DCrrBrrA 22 lnln（411）（1）应力函数应力函数 （2）应力分量应力分量 CrB r A r 2)ln21 ( 2 CrB r A 2)ln23( 2 0 rr （412） （3）位移分量位移分量 cossin 4 KIHr E Br u （4-13） sincos)1 (2KICr BrrBr r A E ur)31 () 1(ln)1 (2)1 ( 1 式中：式中：A、B、C

33、、H、I、K 由应力和位移边界条件确定。由应力和位移边界条件确定。 对于对于多连体多连体问题，位移须满足问题，位移须满足位移单值条件位移单值条件。 极坐标下的极坐标下的平面问题的基本平面问题的基本方程方程 r r 1 r r r r 0 r f 0 21 f rrr rr r ur r u rr ur1 r u r uu r r r 1 （42） 几何几何方程：方程： （41） 物理物理方程：方程： )( 1 rr E )( 1 r E rrr EG )1 (21 （43） 平面应力情形平面应力情形 ) 1 ( 1 2 rr E rrr EG )1 (21 ) 1 ( 1 2 r E （44）

34、 平面应变情形平面应变情形 平衡平衡微分微分方程：方程： 边界条件边界条件： 位移边界条件：位移边界条件： , rsr uu uu s 应力边界条件：应力边界条件： rrr ss lmf r ss lmf uur,为边界上已知位移，为边界上已知位移， , r ff 为边界上已知的面力分量。为边界上已知的面力分量。 （位移单值条件）（位移单值条件） 相容方程相容方程： 0 11 2 2 2 22 2 224 rrrr （46） 常体力常体力情形的相容方程。情形的相容方程。 应力分量计算式应力分量计算式： 2 2 r 2 2 2 11 rrr r rrrrr r 111 2 2 （45） 弹性力学

35、极坐标求解归结为弹性力学极坐标求解归结为 （1） 由问题的条件求出满足式（由问题的条件求出满足式（46）的应力函数）的应力函数),(r 0 11 2 2 2 22 2 4 rrrr （46） （2） 由式（由式（45）求出相应的应力分量：）求出相应的应力分量： rr , 2 2 r 2 2 2 11 rrr r rr r 1 （45） （3） 将上述应力分量将上述应力分量 rr ,满足问题的边界条件：满足问题的边界条件： 位移边界条件：位移边界条件： , rsr uu uu s 应力边界条件：应力边界条件： rrr ss lmf r ss lmf （位移单值条件）（位移单值条件） （1）应力分

36、量）应力分量 2 2 dr d dr d r r 1 0 r （410） （2）相容方程）相容方程 0 1 2 2 2 4 dr d rdr d 轴对称问题的应力分量与相容方程：轴对称问题的应力分量与相容方程： 平面轴对称问题小结：平面轴对称问题小结： DCrrBrrA 22 lnln（411）（1）应力函数应力函数 （2）应力分量应力分量 CrB r A r 2)ln21 ( 2 CrB r A 2)ln23( 2 0 rr （412） （3）位移分量位移分量 cossin 4 KIHr E Br u （4-13） sincos)1 (2KICr BrrBr r A E ur)31 () 1

37、(ln)1 (2)1 ( 1 式中：式中：A、B、C、H、I、K 由应力和位移边界条件确定。由应力和位移边界条件确定。 4-6 4-6 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力 压力隧洞压力隧洞 1. 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力 已知：已知：baqq ba ,求：应力分布。求：应力分布。 确定应力分量的表达式：确定应力分量的表达式： CrB r A r 2)ln21 ( 2 CrB r A 2)ln23( 2 0 rr （412） 边界条件：边界条件： 0 ar r 0 br r a ar r q b br r q （a） 将式（将式（4-12）代入，有：）代入，有： a qCa

38、B a A 2)ln21 ( 2 b qCbB b A 2)ln21 ( 2 （b） a qCaB a A 2)ln21 ( 2 b qCbB b A 2)ln21 ( 2 （b） 式中有三个未知常数，二个方程不通用确定。式中有三个未知常数，二个方程不通用确定。 对于对于多连体多连体问题，位移须满足问题，位移须满足位移单值条件位移单值条件。 sincos)1 (2KICr BrrBr r A E ur)31 () 1(ln)1 (2)1 ( 1 cossin 4 KIHr E Br u 位移多值项位移多值项 要使单值，须有：要使单值，须有：B = 0 ，由式（，由式（b）得）得 ),( 22

39、22 ab qq ab ba A 22 22 )( 2 ab bqaq C ba 将其代回应力分量式（将其代回应力分量式（4-12），得到），得到圆筒受均布压力圆筒受均布压力的的拉梅解答拉梅解答： b qC b A 2 2 a qC a A 2 2 bar q b a r a q a b r b 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ba q b a r a q a b r b 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 （4-14） （1）若：）若：0, 0 a qa, br q b q ( 二向等压情况二向等压情况) （2）若：）若：)0(0 ab qq而 ar q a b

40、r b 1 1 2 2 2 2 a q a b r b 1 1 2 2 2 2 )0( （压应力）（压应力） )0( （拉应力）（拉应力） r 即：只有内压力即：只有内压力 （3）若：）若：)0( , 0 ba qq br q b a r a 2 2 2 2 1 1 b q b a r a 2 2 2 2 1 1 )0()0( （压应力）（压应力）（压应力）（压应力） r （4）若：）若：)0( a qb 具有圆形孔道的无限大弹性体具有圆形孔道的无限大弹性体。 ar q a b r b 1 1 2 2 2 2 a q a b r b 1 1 2 2 2 2 ar q r a 2 2 a q r

41、 a 2 2 r r 边缘处的应力：边缘处的应力： a q a q 即：只有外压力即：只有外压力 2. 压力隧洞压力隧洞 ,E , E 问题：问题：厚壁圆筒埋在无限大弹性体内，受内压厚壁圆筒埋在无限大弹性体内，受内压 q 作作 用，求圆筒的应力。用，求圆筒的应力。 1. 分析：分析： 与以前相比较，相当于两个轴对称问题：与以前相比较，相当于两个轴对称问题： (a) 受内外压力作用的厚壁圆筒；受内外压力作用的厚壁圆筒； (b) 仅受外压作用的无限大弹性体。仅受外压作用的无限大弹性体。 确定外压确定外压 p 的两个条件：的两个条件： 径向变形连续：径向变形连续： br r br r uu 径向应力

42、连续：径向应力连续： br r br r ,E , E 2. 求解求解 ,E , E ,E , E 2. 求解求解 (1) 圆筒的应力与边界条件圆筒的应力与边界条件 C r A r 2 2 C r A 2 2 应力：应力： （a） 边界条件：边界条件： q ar r p br r (2) 无限大弹性体的应力与边界条件无限大弹性体的应力与边界条件 应力：应力： C r A r 2 2 C r A 2 2 （b） 边界条件：边界条件： p br r 0 r r 将式（将式（a）、（）、（b）代入相应的边界）代入相应的边界 条件，得到如下方程：条件，得到如下方程： ,E , E qC a A 2 2

43、 pC b A 2 2 pC b A 2 2 02C 4个方程不能解个方程不能解5个未知量，个未知量，需由位移连续条件确定。需由位移连续条件确定。 br r br r uu sincos)1 (2KICr BrrBr r A E ur)31 () 1(ln)1 (2)1 ( 1 sincosKI Cr r A E ur) 1 1 (2) 1 1 ( 1 2 rC r A E ur) 1 1 (2) 1 1 ( 1 2 sincosKI 上式也可整理为：上式也可整理为： (c) (d) sincos)21 (2 1 KI r A Cr E ur sincos)21 (2 1 KI r A rC

44、E ur 利用：利用： br r br r uu sincos)21 (2 1 KI b A Cb E sincos)21 (2 1 KI b A bC E (e) 要使对任意的要使对任意的 成立，须有成立，须有 b A Cb E )21 (2 1 b A bC E )21 (2 1 IIKK (f) 对式（对式（f）整理有，有）整理有，有 0 0)21 (2 22 b A b A Cn (g) 式（式（g）中：）中： )1 ( )1 ( E E n 将式（将式（g）与式（）与式（c）（）（d）联立求解）联立求解 qC a A 2 2 pC b A 2 2 pC b A 2 2 02C (c)

45、 (d) )1 ()21 (1 )1 ()21 (1 2 2 2 2 n a b n n r b n q r )1 ()21 (1 )1 ()21 (1 2 2 2 2 n a b n n r b n q )1 ()21 (1 )1 (2 2 2 2 2 n a b n r b n q r （4-16） 当当 n a），）， 圆孔半径为圆孔半径为 a，在无限远处受有均匀，在无限远处受有均匀 拉力拉力 q 作用。作用。 求：孔边附近的应力。求：孔边附近的应力。 （2）问题的求解）问题的求解 问题分析问题分析 坐标系：坐标系： 就外边界（直线），宜用直角坐标；就外边界（直线），宜用直角坐标； 就内

46、边界（圆孔），宜用极坐标。就内边界（圆孔），宜用极坐标。 ),(rA 取一半径为取一半径为 r =b (ba）的圆，在其）的圆，在其 上取一点上取一点 A 的应力：的应力： O x y b A q x A r r r A 由应力转换公式：由应力转换公式： 2sin2cos 22 xy yxyx r 2cos 22 qq 2cos2sin 2 xy yx r 2sin 2 q 原问题转化为：原问题转化为： 无限大圆板中间开有一圆孔的新问题。无限大圆板中间开有一圆孔的新问题。r r b r r 新问题的边界条件可表示为：新问题的边界条件可表示为： x y b a 内边界内边界 0 ar r 0 a

47、r r 外边界外边界 2cos 22 qq br r 2sin 2 q br r （a） 问题问题1 2 q br r 0 br r 2cos 2 q br r 2sin 2 q br r （b）（c） 2 q r b a 2cos 2 q r 2sin 2 q r b a 问题问题2 将外边界条件（将外边界条件（a）分解为两部分：）分解为两部分： 问题问题1 2 q r b a 问题问题1的解：的解： 内边界内边界 0 ar r 0 ar r 外边界外边界2 q br r 0 br r （b） 该问题为轴对称问题，其解为该问题为轴对称问题，其解为 2 1 1 2 2 2 2 q b a r

48、a r 2 1 1 2 2 2 2 q b a r a 0 r 当当 ba 时，有时，有 2 1 2 2 q r a r 2 1 2 2 q r a 0 r （d） 问题问题2的解：的解： r r b a 问题问题2 （非轴对称问题）（非轴对称问题） 内边界内边界 0 ar r 0 ar r 外边界外边界 2cos 2 q br r 2sin 2 q br r （c） 2sin 2 q r 2cos 2 q r 由边界条件（由边界条件（c），可假设：），可假设： 为为 r 的某一函数的某一函数 乘以乘以 ； 为为r 的某一函数乘以的某一函数乘以 。 r 2cos r 2sin 又由极坐标下的应

49、力分量表达式：又由极坐标下的应力分量表达式： 2 2 2 11 rrr r rr r 1 可假设应力函数为：可假设应力函数为： 2cos)(rf 将其代入相容方程：将其代入相容方程： 0 11 2 2 2 22 2 rrrr 02cos )(9)(9)(2)( 32 2 23 3 4 4 dr rdf rdr rfd rdr rfd rdr rfd 0 )(9)(9)(2)( 32 2 23 3 4 4 dr rdf rdr rfd rdr rfd rdr rfd 与前面类似，与前面类似，令： 令：)ln(rter t 或有有 0 )( 16 )( 4 )( 4 )( 2 2 3 3 4 4

50、dt tdf dt tfd dt tfd dt tfd 该方程的特征方程：该方程的特征方程：01644 234 特征根为：特征根为： , 4 1 , 2 2 , 0 3 2 4 方程的解为：方程的解为： ttt DeCBeAetf 224 )( 2 24 1 )( r DCBrArrf 2cos)(rf 2cos 1 2 24 r DCBrAr 2cos 1 2 24 r DCBrAr r r b a 问题问题2 2sin 2 q r 2cos 2 q r 相应的应力分量：相应的应力分量： 2 2 2 11 rrr r 2cos) 64 2( 42 r D r C B 2 2 r 2cos)

51、6 212( 4 2 r D BAr rr r 1 2sin) 62 26( 42 2 r D r C BAr 对上述应力分量应用边界条件（对上述应力分量应用边界条件（c）, 有有 内边界内边界 0 ar r 0 ar r 外边界外边界 2cos 2 q br r sin 2 q ar r （c） （e） 2 64 2 42 q b D b C B 2 62 26 42 2 q b D b C BAb 0 64 2 42 a D a C B 0 62 26 42 2 a D a C BAa 求解求解A、B、C、D，然后，然后 令令 a / b = 0，得，得 r r b a 问题问题2 2si

52、n 2 q r 2cos 2 q r , 0A, 4 q B , 2 qaC 4 4 qa D 代入应力分量式（代入应力分量式（e）, 有有 2cos31 2 4 4 r aq 2cos) 3 1)(1 ( 2 2 2 2 2 r a r aq r 2sin) 3 1)(1 ( 2 2 2 2 2 r a r aq rr （f） 将将问题问题1和和问题问题2的解相加的解相加, 得全解：得全解： 2cos31 2 1 2 4 4 2 2 r aq r aq 2cos) 3 1)(1 ( 2 )1 ( 2 2 2 2 2 2 2 r a r aq r aq r 2sin) 3 1)(1 ( 2 2

53、 2 2 2 r a r aq rr （4-17） 讨论：讨论： （1）沿孔边，沿孔边，r = a，环向正应力：，环向正应力：)2cos21 ( q （4-18） 3q2qq0q 906045300 （2）沿沿 y 轴，轴， =90，环向正应力：，环向正应力：) 2 3 2 1 1 ( 4 4 2 2 r a r a q 1.04q1.07q1.22q3q 4a3a2aar ),(rA b 基尔斯（基尔斯（G. Kirsch）解）解 （3）沿沿 x 轴，轴， =0，环向正应力：，环向正应力： ) 1 2 3 ( 2 2 2 2 2 r a r aq , ar ; q ,3ar 0 （4）若矩形

54、薄板（或长柱）受双向拉应力若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力 q1、q2 作用作用 x y q1 q2 q2 q1 x y q1q1 x y q2 q2 （4）若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力 q1、q2 作用作用 x y q1 q2 q2 q1 x y q1q1 x y q2 q2 叠加后的应力：叠加后的应力： 2cos31 2 1 2 4 4 21 2 2 21 r aqq r aqq 2cos) 3 1)(1 ( 2 )1 ( 2 2 2 2 2 21 2 2 21 r a r aqq r aqq r 2sin) 3 1)(1 ( 2 2 2 2 2 21

55、r a r aqq rr （4-19） （5）任意形状薄板（或长柱）受面力任意形状薄板（或长柱）受面力 作用，在距边界较远处有一小孔。作用，在距边界较远处有一小孔。 只要知道无孔的应力，就可计算孔边的应力，如：只要知道无孔的应力，就可计算孔边的应力，如： （5）任意形状薄板（或长柱）受面力任意形状薄板（或长柱）受面力 作用，在距边界较远处有一小孔。作用，在距边界较远处有一小孔。 只要知道无孔的应力，就可计算孔边的应力，如：只要知道无孔的应力，就可计算孔边的应力，如： q q q q q q q q 45 小孔口问题的应力集中现象：小孔口问题的应力集中现象： 一、集中性一、集中性 孔附近的应力远

56、大于较远处的应力，且最大和孔附近的应力远大于较远处的应力，且最大和 最小的应力一般都发生在孔口边上。最小的应力一般都发生在孔口边上。 二、局部性二、局部性 由于开孔引起的应力扰动，主要发生在距孔边由于开孔引起的应力扰动，主要发生在距孔边 1.5倍孔口尺寸（例如圆孔的直径）的范围内。在倍孔口尺寸（例如圆孔的直径）的范围内。在 此区域外，由于开孔引起的应力扰动值一般小于此区域外，由于开孔引起的应力扰动值一般小于 5%，可以忽略不计。，可以忽略不计。 4-8 4-8 楔形体的楔顶与楔面受力楔形体的楔顶与楔面受力 x y O 2 2 M P 1. 楔顶受有集中力楔顶受有集中力P作用作用 楔形体顶角为楔

57、形体顶角为，下端为无限长（单位厚度），下端为无限长（单位厚度）， 顶端受有集中力顶端受有集中力 P ，与中心线的夹角为，与中心线的夹角为，求：，求： r r （1）应力函数的确定）应力函数的确定 因次分析法：因次分析法： r r ,rP )N/m( : 2 单位)N/m( :单位 r r r P 由应力函数与应力分量间的微分关系，由应力函数与应力分量间的微分关系， 2 2 2 11 rrr r 2 2 r rr r 1 可推断：可推断： )(rf （a） 将其代入相容方程，以确定函数：将其代入相容方程，以确定函数： )(f 0 11 2 2 2 22 2 rrrr 得：得： x y O 2 2

58、 P 0)( )( 2 )(1 2 2 4 4 3 f d fd d fd r 0)( )( 2 )( 2 2 4 4 f d fd d fd 4阶常系数齐次的常微分方程阶常系数齐次的常微分方程 其通解为：其通解为： )sincos(sincos)(DCBAf 其中其中A，B，C，D为积分常数。为积分常数。 将其代入前面的应力函数表达式：将其代入前面的应力函数表达式： )(rf)sincos(sincosDCrBrAr xy )sincos(DCr （4-20） （对应于无应力状态）（对应于无应力状态） （2）应力分量的确定）应力分量的确定 x y O 2 2 P 2 2 2 11 rrr r

59、 2 2 r rr rr 1 )sincos(DCr )sincos( 2 CD r 0 0 边界条件：边界条件： 0 2 r , 0 2 （1） 自然满足自然满足 （2）楔顶的边界条件：楔顶的边界条件： ab r r r 任取一圆弧任取一圆弧 ，其上的应力应与楔顶的力，其上的应力应与楔顶的力 P 平衡。平衡。ab :0 x F 0coscos 2 2 Prd r :0 y F 0sinsin 2 2 Prd r （b） 将式（将式（b）代入，有：）代入，有： x y O 2 2 P ab r r r 0cos)cossincos(2 2 2 2 PdCD 0sin)sincossin(2 2

60、 2 2 PdCD 积分得：积分得： 0cos)(sinPD 0sin)(sinPC 可解得：可解得： sin sin P C sin cos P D 代入式（代入式（b）得：）得： 0 0 rr ) sin sinsin sin coscos ( 2 r P r （4-21） 基尔斯（基尔斯（ J. H. Michell ）解答）解答 ) sin sinsin sin coscos ( 2 r P r 讨论：讨论：当r趋于无限小时， 无限增大。实际上当最 大的 超过楔形体材料的比例极限，弹性力学的基 本方程就不再适用，以上的解答也就不再适用。 楔形体在O点附近受有一定的面力，这个面力以 及所