3.5 转动惯量[上课课堂]

1、3.5 3.5 转动惯量转动惯量 1课程章节 3.5 转动惯量转动惯量 角速度 描述刚体的整体转动，我 们希望把刚体的动量矩与动能，和 角速度 联系起来。 这将引出转动惯量的概念。 2课程章节 3.5.1 刚体的动量矩刚体的动量矩 定点转动刚体的动量矩定点转动刚体的动量矩 从质点组的角度来写： i iii mvrJ i iii m)(rr rv )()()(baccabcba i iiii rm)( 2 rr (1) x y z i i v i r O M ziyixii zyxeeer(2) zzyyxx eee(3) (2)(3)代入(1)可得 zzyyxx JJJeeeJ 静止系或活 动

2、系都可以 3课程章节 3.5.1 刚体的动量矩刚体的动量矩定点转动刚体的动量矩定点转动刚体的动量矩 x y z i i v i r O M zzyyxx JJJeeeJ 其中 zzzyzyxzxz zyzyyyxyxy zxzyxyxxxx IIIJ IIIJ IIIJ i iiizz i iiiyy i iiixx yxmI xzmI zymI )( )( )( 22 22 22 i iiizyyz i iiixzzx i iiiyxxy zymII xzmII yxmII 4课程章节 3.5.2 刚体的转动动能刚体的转动动能 i iii mTvv 2 1 i iii m)( 2 1 rv

3、i iii m)( 2 1 vrJ 2 1 )( 2 1 zzyyxx JJJ(1) zzzyzyxzxz zyzyyyxyxy zxzyxyxxxx IIIJ IIIJ IIIJ (2) )()()(bacacbcba (2)代入(1)可得 )222( 2 1 222 xzzxzyyzyxxyzzzyyyxxx IIIIIIT 5课程章节 3.5.3 转动惯量的概念转动惯量的概念 由转动动能引入转动惯量由转动动能引入转动惯量 i iii mTvv 2 1 i iii m)()( 2 1 rr i i i O z e i r iiii rsin|r i ii m 2 | 2 1 r i ii

4、m 22 2 1 记 i ii mI 2 V dm 2 称为刚体对转轴的 转动惯量 2 2 1 IT 6课程章节 3.5.3 转动惯量的概念转动惯量的概念 2 mdII Cl 平行轴定理平行轴定理 C d l C l 已知刚体对通过其质心的某轴线lC 的转动惯量为IC, 则对与lC平行的轴 线l的转动惯量为。 其中 是刚体的总质量； m d是两轴线的垂直距离。 7课程章节 回转半径回转半径 3.5.3 转动惯量的概念转动惯量的概念 有时为了方便，将刚体对某轴线的转动 惯量等效地写为 2 mkI 其中，m是刚体的质量；k叫做刚体对该轴 线的回转半径. 相当于将刚体简化为一个集中了所有质 量的点，

5、此点到转轴的距离就是k. 8课程章节 3.5.4 惯量张量和惯量椭球惯量张量和惯量椭球 转动惯量的一般计算式转动惯量的一般计算式 i i r O M l 某时刻，设转轴l的方向 余弦分别是 ，, , , , zyx 则 )222 ( 2 1 222 xzzxzyyzyxxy zzzyyyxxx III IIIT 转动动能 )222 ( 2 1 2222 zxyzxy zzyyxx III III x y z 建立直角坐标系O-xyz 静止系或活 动系都可以 9课程章节 转动惯量的一般计算式转动惯量的一般计算式3.5.4 惯量张量和惯量椭球惯量张量和惯量椭球 )222 ( 2 1 2222 zx

6、yzxyzzyyxx IIIIIIT 前面已知 2 2 1 IT 两式比较可得刚体对转轴l的转动惯量为 zxyzxyzzyyxx IIIIIII222 222 i iiizz i iiiyy i iiixx yxmI xzmI zymI )( )( )( 22 22 22 i iiizyyz i iiixzzx i iiiyxxy zymII xzmII yxmII 10课程章节 转动惯量的一般计算式转动惯量的一般计算式3.5.4 惯量张量和惯量椭球惯量张量和惯量椭球 zxyzxyzzyyxx IIIIIII222 222 dmyxyxmI dmxzxzmI dmzyzymI V i iiiz

7、z i V iiiyy V i iiixx )()( )()( )()( 2222 2222 2222 V i iiizyyz V i iiixzzx V i iiiyxxy yzdmzymII zxdmxzmII xydmyxmII 即刚体对三 个坐标轴的 转动惯量。 即刚体对三 个坐标轴的 惯量积。 11课程章节 3.5.4 惯量张量和惯量椭球惯量张量和惯量椭球 惯量张量惯量张量 zzzyzx yzyyyz xzxyxx III III III 矩阵元统称 惯量系数 zxyzxyzzyyxx IIIIIII222 222 则对转轴的转动惯量可写成矩阵形式 zzzyzx yzyyyz xzx

8、yxx III III III 12课程章节 3.5.4 惯量张量和惯量椭球惯量张量和惯量椭球惯量张量惯量张量 转动动能的矩阵形式转动动能的矩阵形式 动量矩的矩阵形式动量矩的矩阵形式 13课程章节 3.5.4 惯量张量和惯量椭球惯量张量和惯量椭球 惯量椭球的概念惯量椭球的概念 以刚体自身作为参考系，则瞬轴随时间变化绕O 点转动，不同时刻有不同的瞬轴。 记所有这些瞬轴为ln, n=1,2, 在ln上取一点Qn, 要求满足： ,.2 , 1 , 1 n I OQ n n 刚体对ln的转动惯量为In 则点集Q1,Q2,Qn,在空间密布成一个椭球 面，此椭球称为此刚体的惯量椭球。 1 Q 1 l 2

9、Q 2 l n Q n l O 做定点转动的刚体 14课程章节 3.5.4 惯量张量和惯量椭球惯量张量和惯量椭球惯量椭球的概念惯量椭球的概念 求证：定点转动刚体上满足 所有点Q 构成一个椭球面。 I OQ 1 证明证明： 在刚体上建立活动系O-xyz, 并设瞬轴l的方 向余弦为 。, x y z 令R I OQ 1 设Q点的坐标为(x,y,z)，则 RzRyRx , , (2) R z R y R x , , (1) 2 1 R I Q l O 做定点转动的刚体 15课程章节 3.5.4 惯量张量和惯量椭球惯量张量和惯量椭球惯量椭球的概念惯量椭球的概念证明证明 zxyzxyzzyyxx III

10、IIII222 222 已知 (3) (2)代入(3), 并利用(1)消去I和R可得 1222 222 zxIyzIxyIzIyIxI zxyzxyzzyyxx 因为是活动系，或上式中惯量系数均为常数。 上式即点Q的坐标必须满足的方程，这是一个 椭球面方程。得证。 16课程章节 3.5.4 惯量张量和惯量椭球惯量张量和惯量椭球惯量椭球的概念惯量椭球的概念 惯量椭球方程惯量椭球方程 x y z O 做定点转动的刚体 Q l 综上所述，任何做定点转 动的刚体都“背着一个隐 形的包袱”即惯量椭 球。 在转动定点O上架设一个 活动系O-xyz。 其中，Ixx,Iyy,Izz分别是刚体对三个坐标轴的转动

11、惯 量，Ixy,Iyz,Izx分别是惯量积，它们都是常数。 1222 222 zxIyzIxyIzIyIxI zxyzxyzzyyxx 则此椭球面方程为 17课程章节 3.5.4 惯量张量和惯量椭球惯量张量和惯量椭球惯量椭球的概念惯量椭球的概念 惯量椭球的意义惯量椭球的意义 x y z O 做定点转动的刚体 Q l 惯量椭球的矢径 OQR 与刚体对 轴的转动惯量 有如下关系： OQ 2 1 R I 因此如果知道了惯量椭球，可以利用上式 计算刚体对任意瞬轴的转动惯量。 18课程章节 3.5.5 惯量主轴惯量主轴 x y z O 惯量主轴 Q l 惯量椭球是在活动系下 描述的结果。 所以，惯量椭球

12、也是固连 在刚体上的。 于是我们可以选择一个 特殊的活动系： 以惯量椭球的三条互相垂直的对称轴作为活动 系的三条坐标轴。这样的活动系称为主轴坐标 系。三条坐标轴称为惯量主轴。 主轴坐标系和惯量主轴的概念主轴坐标系和惯量主轴的概念 19课程章节 3.5.5 惯量主轴惯量主轴 主轴系的特点主轴系的特点惯量积均为零惯量积均为零 x y z O Q l 证明： 在椭球面上任取一点Q(x,y,z) 根据对称性， Q(x,y, z) 也必在椭球面上. 将这两点分别代入椭球面方程，可得 1222 222 zxIyzIxyIzIyIxI zxyzxyzzyyxx (1) 1222 222 zxIyzIxyIz

13、IyIxI zxyzxyzzyyxx (2) 两式相减可得 Iyzy+Izxx=0. 因为x,y是任意的，故必须Iyz=Izx=0 同理可证0 xy I 20课程章节 3.5.5 惯量主轴惯量主轴 主轴系的优点主轴系的优点简洁简洁 3 2 1 00 00 00 I I I 在主轴系下，惯量张量对角化为 zzyyxx IIIIII 321 , ,其中 对瞬轴 的转动惯量：),(l 惯量椭球方程简化为 对转动定点的动量矩简化为 转动动能简化为 21课程章节 3.5.5 惯量主轴惯量主轴 判断刚体惯量主轴的方法判断刚体惯量主轴的方法 (1) 若均匀刚体有对称轴，且通过转动定点， 则此对称轴必是其惯量

14、主轴。 证明： 设此对称轴为z轴。则点(xi, yi, zi)与点(xi,yi, zi) 必同在刚体上。于是与z轴相关的两个惯量积： 0 , 0 i iiiyz i iiixz zym IzxmI 所以，z轴必是惯量主轴。 22课程章节 3.5.5 惯量主轴惯量主轴判断刚体惯量主轴的方法判断刚体惯量主轴的方法 (2) 若均匀刚体有对称面，且转动定点在此对 称面上，则与该面垂直且通过转动定点的轴必 是其惯量主轴。 证明： 以转动定点O为原点，以此对称面为xy平面建 立活动坐标系O-xyz。 则点(xi, yi, zi)与点(xi, yi, zi)必同在此刚体上。 因此惯量积： i iiizx x

15、zmI0 i iiizy yzmI0， 故，z轴必是惯量主轴。 23课程章节 3.5 转动惯量转动惯量例题例题 均匀长方形薄片的边长为a和b, 质量为m，求此长 方形薄片绕其对角线转动时的转动惯量。 x y O 解：如图建立主轴 坐标系。 l b a 薄板对对角线l的转 动惯量，在主轴坐标 系下的计算式为 2 3 2 2 2 1 IIII l (1) 其中I1,I2,I3分别是薄板对三个坐标轴的转动惯量， 是对角线l的三个方向余弦。 , 24课程章节 3.5 转动惯量转动惯量例题例题 22 cos ba a 22 ) 2 cos( ba b 0 2 cos (2) 对角线l的三个方向余弦分别为 设薄板质量密度为 ，厚度为t, 则图中与x轴平 行的长条状体积元的质量为 。 atdydm 薄板对x轴的转动惯量为 1212 23 2