2.2_直线与椭圆的位置关系1[教学内容]

1、2.1.2椭圆的简椭圆的简 单几何性质（单几何性质（3） 高二数学高二数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 1优学课堂 1. 倾斜角、斜率：倾斜角、斜率： 一一. .直线复习直线复习 21 21 tan yy k xx （5）一般式：）一般式： （4）截距式：）截距式： （3）两点式：）两点式： （1）点斜式：）点斜式： （2）斜截式：）斜截式： 2. 直线方程的五种形式直线方程的五种形式. ()yyk xx ykxb 11 2121 yyxx yyxx 1 xy ab 0AxByC 2优学课堂 3. 两条直线两条直线的平行与垂直（斜率存在）的平行与垂直（斜率存在）

2、 平行：平行： 垂直：垂直： 4.两条平行线两条平行线l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0的距离的距离 为：为： 22 21 BA CC d 1212 / /llkk 1212 1llk k 3优学课堂 探究探究 点与椭圆有几种位置关系，该怎样判断呢？点与椭圆有几种位置关系，该怎样判断呢？ 类比圆可类比圆可 以吗？以吗？ 点与椭圆的位置关系点与椭圆的位置关系 4优学课堂 5优学课堂 回忆：直线与圆的位置关系回忆：直线与圆的位置关系 1.位置关系：相交、相切、相离位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法判别方法(代数法代数法) 联立直线与圆的方程联立直线与圆的方程 消元得到二元

3、一次方程组消元得到二元一次方程组 (1)0直线与圆相交直线与圆相交有两个公共点；有两个公共点； (2)=0 直线与圆相切直线与圆相切有且只有一个公共点；有且只有一个公共点； (3)0直线与椭圆相交直线与椭圆相交有两个公共点；有两个公共点； (2)=0 直线与椭圆相切直线与椭圆相切有且只有一个公共点；有且只有一个公共点； (3)0 直线与椭圆相离直线与椭圆相离无公共点无公共点 通法通法 知识点知识点1.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系 9优学课堂 例例1：直线：直线y=kx+1与椭圆与椭圆 恒有公共点恒有公共点, 求求m的取值范围。的取值范围。 1 5 22 m yx 22 1 : 1

4、5 ykx xy m 解 22 (5)10550mkxkxm 22 104(5) 550kmkm （）（） 22 (51)0mkm 题型一：直线与椭圆的位置关系题型一：直线与椭圆的位置关系 10优学课堂 设直线与椭圆交于设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线两点，直线P1P2的斜率为的斜率为k 弦长公式：弦长公式：2 2 1 |1|1| ABAB ABkxxyy k 知识点知识点2：弦长公式：弦长公式可推广到任意二次曲线 21 2 21 2 4)(1xxxxk 11优学课堂 设直线设直线 与椭圆交于与椭圆交于P1(x1,y1)， P2(x2,y2)两点，直线两点，直线

5、P1P2的斜率为的斜率为k 弦长 2 21 2 21 )()(bkxbkxxx 21 2 21 2 4)(1xxxxk bkxyl: 12优学课堂 例例1：已知斜率为：已知斜率为1的直线的直线L过椭圆过椭圆 的右焦点，的右焦点， 交椭圆于交椭圆于A，B两点，求弦两点，求弦AB之长之长 题型二：弦长公式题型二：弦长公式 222 :4,1,3.abc解 由椭圆方程知 ( 3,0).F右焦点:3.lyx直线 方程为 2 2 3 1 4 yx x y 2 58 380yxx消 得： 1122 ( ,), (,)A x yB xy设 1212 8 38 , 55 xxxx 222 121212 11()

6、4ABkxxkxxxx 8 5 13优学课堂 例例 2 2: :已知点已知点 12 FF、分别是椭圆分别是椭圆 22 1 21 xy 的左、右的左、右 题型二：弦长公式题型二：弦长公式 14优学课堂 例例 2 2: :已知点已知点 12 FF、分别是椭圆分别是椭圆 22 1 21 xy 的左、右的左、右 15优学课堂 例例3 ：已知椭圆：已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程. 解：解： 韦达定理韦达定理斜率斜率 韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造 题型三

7、：中点弦问题题型三：中点弦问题 (2，1) 16优学课堂 例例 3 已知椭圆已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程. 点差法点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率出中点坐标和斜率 点点 作差作差 题型三：中点弦问题题型三：中点弦问题 17优学课堂 知识点知识点3：中点弦问题：中点弦问题 点差法：点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作利用端点在曲线上，坐标满足方程，作 差构造出中点坐标和斜率差构造出中点坐标和斜率 112200 ( ,),

8、 (,),(,)A x yB xyABM xy设中点， 012012 2,2xxxyyy则有： 12 12 AB yy k xx 又 22 11 22 1 xy ab 22 22 22 1 xy ab 两式相减得： 222222 1211 ()()0bxxayy 1122 ( ,), (,)A x yB xy在椭圆上， 18优学课堂 222222 1211 ()()0bxxayy由 222 11 222 12 yyb xxa 即 2 1112 2 1211 AB yyxxb k xxayy 2 0 2 0 xb ay 直线和椭圆相交有关弦的中点问题，常用设而不求的 思想方法 19优学课堂 例例

9、3已知椭圆已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程. 所以所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得，整理得x+2y-4=0 从而从而A ,B在直线在直线x+2y-4=0上上 而过而过A,B两点的直线有且只有一条两点的直线有且只有一条 解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点中点”这这 一一 条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理， 题型三：中点弦问题题型三：中点弦问题 20优学课堂 例例4、如图，已知椭圆、如图，已

10、知椭圆 与直线与直线x+y-1=0交交 于于A、B两点，两点， AB的中点的中点M与椭圆中心连线的与椭圆中心连线的 斜率是斜率是 ，试求，试求a、b的值。的值。 22 1axby 2 2,AB 2 2 ox y A B M 22 1 10 axby xy 解: 2 )210yab xbxb 消 得:( 2 )(1)0bab b =4-4( abab 1122 ( ,), (,)A x yB x y设 1212 21 , bb xxx x abab (,) ba ABM ab ab 中点 22 121 2 1()4ABkxxx x又 MO a k b 2 2 2ba 2 21 2 22 ()4

11、bb abab 12 , 33 ab 21优学课堂 练习练习： 1、如果椭圆被、如果椭圆被 的弦被（的弦被（4，2）平分，那）平分，那 么这弦所在直线方程为（么这弦所在直线方程为（ ） A、x-2y=0 B、x+2y- 4=0 C、2x+3y-12=0 D、x+2y-8=0 2、y=kx+1与椭圆与椭圆 恰有公共点，则恰有公共点，则m的范围的范围 （ ） A、（、（0，1） B、（、（0，5 ） C、 1，5）（5，+ ） D、（、（1，+ ） 3、过椭圆、过椭圆 x2+2y2=4 的左焦点作倾斜角为的左焦点作倾斜角为300的直线，的直线， 则弦长则弦长 |AB|= _ , D C 1 936

12、 22 yx 1 5 22 m yx 16 5 22优学课堂 练习：练习： 已知椭圆已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为，椭圆的右焦点为F， (1)求过点求过点F且斜率为且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长的直线被椭圆截得的弦长. (2)判断点判断点A(1,1)与椭圆的位置关系与椭圆的位置关系,并求以并求以A为中点为中点 椭圆的弦所在的直线方程椭圆的弦所在的直线方程. 22 :(1)1 95 xy 解椭圆 (2,0)F2lyx直线 ： 22 2 5945 yx xy 由 2 143690 xx得： 1212 189 , 714 xxxx 22 1212 6 11 1()4 7 kxxxx弦

13、长 23优学课堂 练习：练习： 已知椭圆已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为，椭圆的右焦点为F， (1)求过点求过点F且斜率为且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长的直线被椭圆截得的弦长. (2)判断点判断点A(1,1)与椭圆的位置关系与椭圆的位置关系,并求以并求以A为中点为中点 椭圆的弦所在的直线方程椭圆的弦所在的直线方程. 22 :(2)5 19 145 解 (1,1)A在椭圆内。 1122 ( ,),(,)AMNM x yN x y设以 为中点的弦为且 1212 2,2xxyy 22 11 5945xy 22 22 5945xy 2222 1212 590 xxyy两式相减得： （）

14、（） 1212 1212 5 9 MN yyxx k xxyy 5 9 5 1(1) 9 AMNyx 以 为中点的弦为方程为: 59140 xy 24优学课堂 3、弦中点问题弦中点问题的两种处理方法：的两种处理方法： （1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理； （2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。 1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法； 2、弦长的计算方法：、弦长的计算方法： 弦长公式：弦长公式： |AB|= = （适用于任何曲线）（适用于任

15、何曲线） 2121 2 4 1 1yyyy k ）（ 21 2 21 2 41xxxxk ）（ 小小 结结 解方程组消去其中一元得一元二次型方程解方程组消去其中一元得一元二次型方程 0 相交相交 25优学课堂 26优学课堂 27优学课堂 12 :( 2,0),(2,0)FF解 椭圆的焦点为 200 (2,0)60(,)FxyF xy设关于直线的对称点 0 0 00 ( 1)1 2 2 60 22 y x xy 由 0 0 6 4 x y 解得： (6,4)F 1 24 5FFa 2 5a2c 4b 22 1 2016 所求椭圆方程为： xy 28优学课堂 1 2 2 yxb yxm 分析：存在直线与椭圆交与两点， 且两交点的中点