圆中常用的辅助线添法

1、圆中常用的辅助线添法在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常 需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁， 因此，灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对 提高同学们分析问题和解决问题的能力是大有帮助 的，下面就讲解几种圆中常用辅助线的添法。一、遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加 弦心距， 或作垂直于弦的半径 （或直径），或连结过弦 的端点的半径 .作用：利用垂径定理；利用圆心角及其所对 的弧、弦和弦心距之间的关系；利用弦的一半、弦 心距和半径组成直角三角形，再根据勾股定理求有关 量.例 1 如图 1，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大 圆的弦 AB 交小圆于 C，D 二点 .求证： A

2、C=BD.证明：过0作OE丄AB于E,v 0为圆心，0E丄AB, AE=BE , CE=DE, AC=BD.例2如图2,已知AB是O 0的直径，M , N分 别是AO , BO的中点，CM丄AB , DN丄AB，求证: AC=BD.证明:连结 OC， OD， M , N分别是AO , BO的中点，AO=BO , OM=ON ,又 CM 丄 OA, DN 丄 OB , OC=OD, RtA COM 坐RtA DON ,/ COA= Z DOB , AC=BD.例3如图3,已知M , N分别是O O的弦AB , CD 的中点，AB=CD，求证：Z AMN= Z CNM.证明:连结 OM， ON，

3、MN，v O为圆心，M , N分别是弦AB , CD的中点， OM 丄 AB , ON 丄 CD,v AB=CD ， OM=ON ,Z OMN= Z ONM ,vZ AMN=90-ZOMN，Z CNM=90-ZONM，Z AMN= Z CNM.二、当题目已知直径时，常常添加直径所对的圆 周角，利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形； 当题目已知有 90的圆周角时， 常常连结两条弦没有 公共点的另一端，利用圆周角的性质得到直径 .例4如图4, AB为O O的直径，AC为弦，P为 AC延长线上一点，且AC=PC, PB的延长线交O O于 D，求证：AC=DC.证明：连结 AD ，v AB为O O的

4、直径，/ ADP=90 ,又 AC=PC，AC=CD= 12 AP.三、遇到等弧时，常作的辅助线有这么几种： 作等弧所对的弦；作等弧所对的圆心角；作等弧 所对的圆周角 .例5如图5,已知在O O中，AB丄CD, 0E丄BC 于E,求证：0E= 12 AD.证明：作直径CF,连结DF, BF, AD ,v CF为O O的直径， CD 丄 FD,v CD 丄 AB , AB / DF,AD=BF, AD=BF ,又OE丄BC,且O为圆心，CO=FO, CE=BE,OE= 12 BF= 12 AD.四、遇到题目中已知有切线时，常常添加过切点 的半径（连结圆心和切点），利用切线的性质定理， 得 到直角

5、或直角三角形 .例 6 如图 6,在 Rt ABC 中，/ C=90,AC=12, BC=9, D在AB上，以BD为直径的O O切AC于E, 求 AD 的长 .解：连结OE,贝U OE丄AC ,v BC 丄 AC ,OE/ BC, OEBC = AOAB ,v AO=AB-OB , OB=OE OEBC = AB-OEAB ，在 Rt ABC 中，AB=AC2+BC2 =122+92 =15 , OE9 = 15-OE15 ，解得 OE= 458 ， BD=2OB=2OE= 454 ， AD=AB-DB=15- 454 = 154 .答：AD的长为154 .五、遇到需要证明某一直线是圆的切线时

6、，当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和 圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂 直即可；例7如图7,点P是O O的弦CB延长线上的一 点，点A在O O上，且/ BAP= Z C.求证：PA是O O 的切线.证明：作O O的直径AD ,连结BD ,则Z C=Z D,Z ABD=90。，即 / D+ Z BAD=90 ,/ C+ Z BAD=90 ,vZ C= Z BAP,Z BAD+ Z BAP=90 .即PA丄DA，所以PA为O O的切线.如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心 作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长 即可.例8如图8,已知AB是O O的直径，AC丄L于 C, BD丄L于D，且AC+BD=AB ,求证：直线L 与O O 相切 .证明：过O作OE丄L于E,v O 是 AB 的中点，且 AC / BD / OE, OE 是梯形 ACDB 的中位线， OE= 12 （AC+BD ），又 AC+BD=AB ， OE= 12 AB. OE是O O的半径，直线L是O O的切线.六、当圆上有四点时，常构造圆内接四边形 .例9如图, ABC内接于O O, F是BA延长 线上的一点.直线DA平分/ FAC,交O O于E,交BC 的延长线于D，求证：AB?