向量的概念及其线性运算

1、向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算数学：安送杰1、 教学目标： 1、知识与技能：掌握平面向量的相关概念，线性运算的规律与几何意义，理解并熟练运用共线向量进行解题，体会数形结合的数学思想方法； 2、过程与方法：在复习回忆之前学习的知识点的同时，通过习题巩固知识，加强理解，掌握运用知识的技巧与方法； 3、情感、态度与价值观：通过对一些实际问题的解答，体会知识与生活的紧密联系，学习与生活是密不可分的。二、重点与难点：重点难点 了解向量的实际背景；理解平面向量的基本概念和几何表示；理解向量相等的含义. 掌握向量加、减法和数乘运算，理解其几何意义；理解向量共线定理. 了解向量的线性运算性质

2、及其几何意义运用向量加、减法、数乘运算进行解题，以及两个向量共线的充要条件的运用.3、 教学设计：1、知识点回顾：（1）、向量的概念及表示；（2）、和向量相关的一些概念： 、向量的模； 、零向量； 、单位向量； 、平行向量（共线向量）； 、相等向量和相反向量； 、一个规定；（3）、向量的线性运算： 、向量的加法运算； 、向量的减法运算； 、向量的数乘运算；2、 复习知识，练习巩固：（1） 、向量的概念及表示：、定义：既有大小，又有方向的量叫向量。与数量相比，数量只有大小，可比大小；向量既有大小又有方向，无法比较大小。、向量的表示方法：A、几何表示法：用有向线段表示向量，三个要素：起点、方向和长

3、度；B、字母表示法：手写使用或 ，印刷使用黑体小写字母。（2） 、和向量相关的一些概念：、向量的模：向量的模（或长度），就是向量的大小，记作：，向量的模可以比较大小；、零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作：，其方向是任意的；、单位向量：长度等于1的向量叫做单位向量；、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也称为共线向量；、相等向量和相反向量：长度相等方向相同的向量叫做相等向量，长度相同方向相反的向量叫做相反向量；、一个规定：零向量与任一向量平行；习题一：1、给出下列六个命题： 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； 若两向量|a|b|，则ab； 若向量AB=DC,则A

4、、B、C、D构成平行四边形；在平行四边形ABCD中，一定有向量AB=DC；若向量m=n，n=p，则m=p；若向量a/b，b/c，则a/c；其中错误的命题为：（）解析：对而言，起点相同，终点相同的两个向量肯定相等，但反之不一定； 对而言，向量是有方向的，模相等，方向不一定一样； 对而言，向量相等可能会共线，共线则不能构成平行； 对而言，若向量b为零向量，则不成立；2、设a为单位向量，判断下列命题为假命题的个数（3）若b为平面内的某个向量，则b|b|a；若b与a平行，则b|b|a；若b与a平行且|b|1，则ba。注意：向量的方向，两向量平行可同向也可异向。（3） 、向量的线性运算：1、向量的加法：

5、、定义：求两个向量的和的运算叫做向量的加法；、运算法则：三角形法则与平行四边形法则；、运算律：交换律与结合律 (1)、a+b=b+a; (2)、a+b+c=a+(b+c)2、向量的减法：、相反向量：我们规定，与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做向量a的相反向量，记作-a。即有:a=-(-a),a+(-a)=(-a)+a=0 、向量的减法：我们定义a-b=a+(-b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。、几何意义：已知向量a与向量b，则a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量。3、向量的数乘运算：、定义：我们规定实数与向量a的积仍是向量，这种运算称为向量的数乘运算，记作a

6、,它的长度与方向规定为：长度：|a|a|；方向：当0时，向量a的方向与的方向相同；当0时，向量a的方向与向量a的方向相反；当=0时，a=0。、向量数乘的运算律：结合律与分配律；(1)( a)()a (2)()aa a (3)(ab)ab 、向量共线：向量a与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使b=a。向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。习题二：1、 在ABC中，E、F分别为AC、AB的中点，BE与CF相交于G点，设向量AB=a，向量AC=b，试使用a、b表示向量AG。解法一：()()(1)(1)ab.又m()(1m)a(1m)b， 解得m， ab.解法二：点G为重心，所以AG=（AB+AC）;2. 如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设a，b，若2，则_(用向量a和b表示)答案：ab解析：因为ab，又2，所以ab.3、已知点P在ABC所在的平面内，若2343，则PAB与PBC的面积的比值为_答案：解析：由2343，得2433， 243，即45. ，.4. 已知点G是ABO的重心，M是AB边的中点(1)求；(2)若PQ过ABO的重心G，且a，b，ma，nb，求证：3.(1) 解：因为2，又2，所以0.(2) 证明：解法一：因为(ab)，且G是ABO的重心，所以(ab)由P、G、Q三点共线，得，所以有且只有一个实数，使.又(ab)m