利用导数求参数的取值范围

1、利用导数求参数的取值范围课型：专题复习课复习重点：利用导数的有关知识，求参数的取值范围基础知识：导数的几何意义、函数的极值和最值的求法、函数单调性的充要条 件的应用.复习难点：解题方法灵活变通.一.已知函数单调性，求参数的取值范围类型1 .参数放在函数表达式上例 1.设函数 f(x) 2x3 3(a 1)x2 6ax 8其中 a r.(1)若f(x)在x 3处得极值,求常数a的值.(2)若f (x)在(，0)上为增函数，求a的取值范围略解：(1)由f(3) 0解得a 3.经检验知a 3blx 3为f(x)的极值点(2)方法 1 : f(x) 6x2 6(a 1)x 6a 6(x a)(x 1)

2、当a 1时，“乂)在(，1),(a,)上递增，符合条件.当a 1时，f(x) 6(x 1)20恒成立，“乂)在(,)上递增.当a 1时，f(x(,a),(1,)上递增,要保证f仪)在(，0)上递增，则0 a综上所述.a 0时，f (乂)在(，0)上递增.方法2 :因为(刈在(，0)上递增所以f(x) 0在x (,0)上恒成立即x(x 1) a(x 1)在x (,0)上恒成立x 0, x 1 0 x a从而a 0方法3 .,0上最小值大于或等于零保证 f(x) 6x2 6(a 1)x 62在(a 10 a 1故有 2 或 2 0 f (0)可解得a 0解题方法总结：求f(x)后，若能因式分解则先

3、因式分解，讨论 f(x)=0两根的大小判断函数f(x)的单调性，若不能因式分解可利用函数单调性的充要条件转化为恒成 立问题.基础训练：1设函数 f(x) 2x3 3(a 1)x2 1,其中 a 1(1) .求f(x)的单调区间;(2) .讨论f(x)的极值.类型2.参数放在区间边界上例2.已知函数f (x) ax3 bx2 cx d在x 0处取得极值，曲线y f(x)过原点和点p (-1,2),若曲线yf (x)在点p处的切线与直线y 2x的夹角为45且切线的倾斜角为钝角.(1)求f(x)的表达式(2)若f(x)在区间2m-1,m+1上递增，求m的取值范围.略解f(x) x3 3x2(2)f(

4、x) 3x2 6x 3x(x 2)可知 (刈在(，2),(0,)上递增，在(2,0)上递减从而只要保证2m 1,m 1是(，2)或(0,)的一个子区间m 12_ 2m 1 0所以或m 1 2m 1 m 1 2m 1-1解彳导 m (, 3 -,22总结:先判断函数的单调性，再保证问题中的区间是函数单调递增(递减)区间的一个子 区间即可.基础训练：2.已知函数f(x)x3 3x2 7,若f(x)在a,a 1上单调递增，求a的取值范围.二.已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围类型1 .参数放在不等式上 c 22 .例3.已知f (x) x ax bx c在x一与x 1时都取得极值3(1)求

5、a、b的值及函数f(x)的单调区间.若对x 1,2,不等式f(x) c2恒成立，求c的取值范围.一一1略解：(1)a-,b22，2,2222232 2).f (x) 3x2x 2,由3x2x 2 04x或x1且( -)c,f -c1f( 1) c, f (2) 2 c,所以0)在1,2上的最大值为f (2) 2 c从而c由 f (x) 0 得 x11,x2 3 当 x (0,1)时 f (x) 0, f(x)单倜递增，所以 f(x) f (0) 92 c,解得c1或c 2总结:区间给定情况下，转化为求函数在给定区间上的最值.基础训练：23 .已知函数f(x) x31当 x (,3)时f (x)

6、 0, f(x)单倜递减，所以 f(x) f (3) 0 2x 5,若对任意x 1,2都有f(x) m则实数m的取值范围是2类型2.参数放在区间上例4.已知三次函数f(x) ax3 5x2 cx d图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0)，并且f (x)在x=3处有极值.(1)求f(x)的解析式.(2)当x (0,m)时，f(x)0包成立，求实数m的取值范围.分析：(1)f(x) x3 5x2 3x 9一 一- 2 一 一一(2).f(x)3x210x3(3x1)(x 3)设切点为m(xo,x3 3xo)，因为f(x) 3x2 3所以切线方程为 y m (3x02 3)(x 1),又切线过点

7、 m所以 x03 3x0 m (3x02 3)( x0 1)即2x0 3x2 m 3 0因为过点a可作曲线的三条切线，所以关于x0的方程有三个不同的实数根设 g(x0)2x03x2 m 3 则 g(x0)6x26x0由 g (x0 )0得x00或 x0 1所以g(x0)在(，0),(1,)上单调递增，在(0,1)上单调递减，故函数g(x0)的极值点为x00, x0所以关于x0的方程有三个不同实根的充要条件是g(0) 0解得3 m 20g(1) 0所求的实数m的取值范围是(3, 2)总结 :从函数的极值符号及单调性来保证函数图象与x 轴交点个数.基础训练：5.设a为实数，函数f (x) x3 x

8、2 x a(1)求f (x)的极值(2)当a在什么范围内取值时，曲线yf (x)与x轴仅有一个交点四 . 开放型的问题，求参数的取值范围。例 6.已知 f(x) x2 c,且 ff(x) f (x2 1)。(1)设 g(x) f f(x) ，求 g(x) 的解析式。(2)设(x) g(x) f (x),试问：是否存在r,使在(，1)上是单调递减函数，且在( 1,0 )上是单调递增函数；若存在，求出 的值；若不存在，说明理由。分析： ( 1)易求 c=1,g(x) x4 2x2 2(2) (x) g(x) f(x) = x4 (2)x2(2),.(x) 2x2x2 (2)由题意 (x) 在( ,

9、 1 )上是单调递减函数，且在( 1,0)上是单调递增函数知，(1) 0是极小值，由(1) 0得 4当 4, x ( 1,0)时，(x) 0,(x)是单调递增函数；4 ， 使原命题成立。x ( , 1)时，(x) 0,(x)是单调递减函数。所以存在在文科数学中 ,涉及到高次函数问题一般可用导数知识解决,只要把导数的几何意义,用导数求函数的极值及最值,用导数求函数单调性等这些基础知识搞清弄懂,那么 ,利用导数求参数的取值范围这个问题即可迎刃而解.113所以当m 3tf (x) 0在(0,m)内不恒成立，当且仅当m (0,3日tf (x) 0在(0,m)内恒成立所以m的取值范围为(0,3基础训练：4.若不等式x4 4x3 2 a对任意实数x都成立