互换性与技术测量 测量误差及数据处理.

1、3.2 测量误差及数据处理 主要内容 v本节介绍测量误差的基本概念，测量 误差产生的原因，测量误差的特性及 分类，测量误差的数据处理方法及如 何获得测量结果等内容。 一、概述 1、测量误差的概念 定义：测得值与被测量的真值之差。测得值与被测量的真值之差。 由于真值是难以得到的，常用相对真值 或不存在系统误差下的算术平均值来 代替真值。 分类：绝对误差和相对误差。分类：绝对误差和相对误差。 （1）绝对误差（） 是指被测量的实际值x与真值0之差。 =x -0 绝对误差是代数值，即它可能是正值、 负值或零。 如千分尺测得某轴35.005mm，高精度测量结 果35.012mm（看作是约定真值），千分尺

2、 测量的绝对误差为-0.007mm。 （2）相对误差（） 定义：绝对误差的绝对值与被测量的真 值（或约定测得值xi代替）之比。 %100%100 0 i x 0.007 100%0.02% 35.012 上例千分尺测量的相对误差为 注解1 v在实际测量中，虽真值不能得到，但往往要 求分析或估算测量误差的范围，即求出真值 必落在测得值附近的最小范围，称之为测量 极限误差lim。 v它应满足 x-lim0 x+lim 注解2 被测量大小相同，可用绝对误差比较测量精度 高低； 被测量大小不同，只能用相对误差比较测量精 度高低。 例：1000.008(mm) 800.007(mm)比较测量精度高低。

3、%008. 0%100 100 008. 0 1 %00875. 0%100 80 007. 0 2 2、测量误差的来源 （1）计量器具误差 它是指计量器具设计、 制造和装配调整不 准确而产生的误差， 分为原理误差、仪 器制造和装配调整 误差。 测量误差的来源.1 基准件误差：基准件误差：刻线尺制造过程中的划线 误差、量块使用过程中磨损产生的误差等； 原理误差：原理误差：用近似机构代替理论要求的 机构所产生的误差； 制造误差：制造误差：量具本身的制造误差； 测量力引起的误差：测量力引起的误差：测量力引起计量器 具和被测工件的变形。 测量误差的来源.2 （2）测量方法误差 指测量时选用的测量方法

4、不完善（包括 工件安装不合理、测量方法不当、计 算公式不准确等）或对被测对象认识 不全面引起的误差。 测量误差的来源.3 （3）环境误差 指测量时的环境条件不符合标准所引起的误 差，包括温度、湿度、气压、振动、灰尘 等因素。 温度：20-20 1122 ttLL 测量误差的来源.4 （4）人为误差 指测量人员的主观因素（技术熟练程度、疲 劳程度、测量习惯等）引起的误差。 总之，产生误差的因素很多，分析时应找出 主要因素，采取相应措施，设法消除减小其 影响，以保证测量结果的精确。 二、测量误差的分类及数据处理 根据误差性质和出现规律分为： 系统误差系统误差 多次测量同一量值时，误差的 绝对值和符

5、号保持不变，或按一定的规律变 化的误差。 随机误差随机误差 在同一条件下，对同一被测值 进行多次重复测量时，绝对值和符号以不可 预定方式变化的误差。 粗大误差粗大误差 超出一定测量条件下预计的误 差。 1、系统误差 v定值系统误差 在全部测量过程中， 它的数值和符号 均不变的误差。 特点：使随机误差 曲线产生平移。 v变值系统误差 在相同测量条件下， 多次测量同一量值 时，其大小和方向 按一定规律变化的 误差。 特点：使随机误差曲 线改变形状，不具 备抵偿性。 系统误差的消除 （1）分析可能产生系统误差的各个环节，从 产生误差根源上消除系统误差。 （2）预先将计量器具的系统误差检定或计算 出来

6、，用修正法消除系统误差。 （3）在对称位置上分别测量一次，用抵消法 消除定值系统误差。 （4）周期性系统误差可每相隔半个周期测量 一次，用半周期法消除周期性系统误差。 2、随机误差特征及其评定 （1）随机误差的分布及其特征 在同一条件下，对同一被测值进行多次重复 测量时，绝对值和符号以不可预定方式变 化的误差。 每一单次测量所产生的误差绝对值和符号不 能预料，但以足够多的次数重复测量，随 机误差的总体服从一定的统计规律。 表3.4 测量数据统计表 序号测量值范围测量中值出现次数ni相对出现频率ni/n 17.13057.1315x1=7.131n1=10.007 27.13157.1325x2

7、=7.132n2=30.020 37.13257.1335x3=7.133n3=80.054 47.13357.1345x4=7.134n4=180.120 57.13457.1355x5=7.135n5=280.187 67.13557.1365x6=7.136n6=340.227 77.13657.1375x7=7.137n7=290.193 87.13757.1385x8=7.138n8=170.113 97.13857.1395x9=7.139n9=90.060 107.13957.1405x10=7.140n10=20.013 117.14057.1415x11=7.141n11=1

8、0.007 测得值的平均值：7.136n=ni=150(ni/n)=1 随机误差的正态分布曲线 7.131 7.133 7.135 7.137 7.139 7.141 （2）随机误差的基本特性 单峰性单峰性 绝对值小的随机误差比绝对值大 的出现的概率大。 离散性离散性 随机误差的绝对值有大有小，呈 离散分布。 对称性对称性 绝对值相等的正负随机误差出现 的概率相同。 有界性有界性 一定测量条件下，随机误差的绝 对值不会超过一定的界限。 （3）正态分布的随机误差 根据概率论，正态分布曲线数学表达式 式中 y概率密度； 标准偏差； 随机误差； e自然对数的底。 2 2 2 e 2 1 y （3）正

9、态分布的随机误差 概率密度y与随机误差及标准偏差有关， 当=0时，概率密度最大，且有 标准偏差是各随机误差平方和的平均值 的正平方根。 2 1 n i i n 2 1 max y 正态分布的概率计算.1 v标准偏差表示了随机 误差的离散程度， 越 小，ymax越大，分布曲线 越陡峭，测得值越集中， 测量精度越高。 v反之，越大， ymax越 小，分布曲线越平坦， 测得值越分散，测量精 度越低。 图3.5 不同标准偏差的正态分布曲线 0 63 3 62 2 61 1 正态分布的概率计算.2 v由概率论 v随机误差落在（+、-）之间的概率p为1 v随机误差出现在（+、-）内的概率为 1e 2 1

10、2 2 2 dydP dP 2 2 2 e 2 1 tdtdtP t t t t t 2e 2 2 e 2 1 0 22 22 v由拉普拉斯函数 v知当t=1时，= ，2(t)=68.27%； 当t=2时，=2，2(t)=95.44%； 当t=3时，=3，2(t)=99.73%。 正态分布的概率计算.3 v令t=/，则 dt=d/ t t dtt 0 2 2 e 2 1 测量的极限误差 由于超出范围的随机 误差的概率仅为 0.27，因此，可 将随机误差的极限 值取作3，并记 作：min=3， 如图3.6所示。 图3.6 随机误差的极限误差 0 33 123123 （4）随机误差的评定 实际测量

11、，被测真值0未知，i也未知，故 无法求出标准偏差。 假设有测量列x1、x2、xn，则有 算术平均值 作为被测真值0的最佳估计值。 残余误差 n i i n x nn xxx x 1 21 1. nixxv ii ,.,2 , 1 x 评定指标 用贝塞尔(Bessel) 公式计算标准偏差 的估计值： 1 1 2 n v n i i 单次测量结果可表示为单次测量结果可表示为 X = xi3 这表示被测量真值0在 （xi3）中的概率 是99.73%。 评定指标 测量列算术平均值的标准偏差 相同条件下，对同一被测量重复进行若干组 的“n次测量”，每组n次测量的算术平均 值的标准偏差为 n x 测量列算

12、术平均值的极限偏差取作：测量列算术平均值的极限偏差取作： 99.73%3 lim 置信概率为 xx x 3、粗大误差 v定义：由于测量不正确等原因引起的 明显歪曲测量结果的误差或大大超出 规定条件下预期的误差。 v3(拉依达)准则： 服从正态分布的随机误差 残余误差：|i|3（剔除） 三、测量精度 v测量精度：测量精度： 是指测得值与其真值的接近程度。 v测量误差：测量误差： 是指测得值与其真值的差别量。 v测量误差越大，测量精度就越低；反 之，测量精度就越高。 测量精度的分类.1 精密度精密度 指在一定的条件下 进行多次测量时， 各测得值的一致程 度。 v反映随机误差随机误差对测 量结果的影

13、响。 正确度正确度 指在一定的条件下进行 多次测量时，各测得 值的平均值与其真值 的一致程度。 v反映定值系统误差定值系统误差对 测量结果的影响。 准确度 指在一定的条件下进行多次测量时，各测得 值与其真值的一致程度。 v表示系统误差和随机误差对测量结果的综 合影响。 精密度高 正确度低 精密度低 正确度高 精密度低 正确度低 精密度高 正确度高 测量精度的分类.2 靶示测量精度与测量误差 (a)(b)(c)(d) 四、等精度等精度直接测量列的数据处理 v等精度测量等精度测量是指采用相同的测量基准、 测量工具与测量方法，在相同的测量 环境下，由同一个测量者进行的测量。 v在这种条件下获得的一组

14、数据，每个 测量值都具有相同的精度。 1、直接测量数据的处理 （1）粗大误差：剔除 （2）系统误差：已定系统误差按代数和合成 （3）彼此独立的随机误差和未定系统误差， 按方和根法合成 n i i 1 ,系系总 n i i 1 2 lim,lim,总 数据处理步骤 （1）检查测量列中有无系统误差，如为定值或 已知规律的系统误差，加以清除或修正。 （2）计算测量列的 、vi和。 （3）判断粗大误差，若存在剔除重新计算 、 vi和。 （4）计算测得值的算术平均值的极限误差 （5）写出多次测量结果的表达式。 x x 2、处理事例 例:以一个30mm的5等量块为标 准，用立式光学比较仪对一 圆柱轴进行十

15、次等精度测量， 测得值如表所示，已知量块 长度的修正值为-1m，试对 其进行数据处理后写出测量 结果。 序号 测量值 xi(mm) 130.050 230.048 330.049 430.047 530.051 630.052 730.044 830.053 930.046 1030.050 处理过程.1 解(1) 实测数据列于 表中第二列 (2) 系统误差修正， 全部测得值分别加 上量块的修正值- 0.001mm，如表第 三列。 序号 测量值 xi(mm) 去除系统误 差的测量值xi 130.05030.049 230.04830.047 330.04930.048 430.04730.04

16、6 530.05130.050 630.05230.051 730.04430.043 830.05330.052 930.04630.045 1030.05030.049 处理过程.2 (3) 求算术平均值 10 11 10 30.048() n ii ii xx x n mm 序号 测量值 xi(mm) 去除系统误 差的测量值xi 130.05030.049 230.04830.047 330.04930.048 430.04730.046 530.05130.050 630.05230.051 730.04430.043 830.05330.052 930.04630.045 1030.

17、05030.049 30.048 i x x n (5) 求标准偏差： 处理过程.3 (4) 求残余误差： xxv ii 序号 去除系统误 差的测量值xi 残余误 差vi(mm) 残余误差的 平方vi2(mm) 130.049+0.0010.000 001 230.047-0.0010.000 001 330.04800 430.046-0.0020.000 004 530.050+0.0020.000 004 630.051+0.0030.000 009 730.043-0.0050.000 025 830.052+0.0040.000 016 930.045-0.0030.000 009

18、1030.049+0.0010.000 001 0 1 n i i v00007. 0 1 2 n i i v30.048 i x x n mm n v n i i 0028. 0 110 00007. 0 1 1 2 等精度直接测量的数据处理表 序号 测量值 xi(mm) 去除系统误差 的测量值xi 残余误差 vi(mm） 残余误差的平 方vi2（mm） 130.05030.049+0.0010.000 001 230.04830.047-0.0010.000 001 330.04930.04800 430.04730.046-0.0020.000 004 530.05130.050+0.0020.000 004 630.05230.051+0.0030.000 009 730.04430.043-0.0050.000 025 830.05330.052+0.0040.000 016 930.04630.045-0.0030.000 009 1030.05030.049+0.0010.000 001 048.30 n x x i 0 1 n i i v00007. 0 1 2 n i i v 处理过程.3 (6) 判断粗大误差 用