计算机代数系统应用

1、代数系统的应用代数系统的应用 1 代数系统的应用代数系统的应用 2 人们研究和考察现实世界中各种现象或过程，人们研究和考察现实世界中各种现象或过程， 往往要借助某些数学工具。在代数中，可以用正往往要借助某些数学工具。在代数中，可以用正 整数集合上的加法运算来描述企业产品的累计数，整数集合上的加法运算来描述企业产品的累计数， 可以用集合之间的可以用集合之间的“并并”、“交交”运算来描述单运算来描述单 位与单位之间的关系等。我们所接触过的数学结位与单位之间的关系等。我们所接触过的数学结 构，连续的或离散的，常常是对研究对象（自然构，连续的或离散的，常常是对研究对象（自然 数、实数、多项式、矩阵、命

2、题、集合乃至图）数、实数、多项式、矩阵、命题、集合乃至图） 定义各种运算（加、减、乘，与、或、非，并、定义各种运算（加、减、乘，与、或、非，并、 交、补），然后讨论这些对象及运算的有关性质。交、补），然后讨论这些对象及运算的有关性质。 代数系统的应用代数系统的应用 3 针对某个具体问题选用适宜的数学结构去进针对某个具体问题选用适宜的数学结构去进 行较为确切的描述，这就是所谓行较为确切的描述，这就是所谓“数学模型数学模型”。 可见，数学结构在数学模型中占有极为重要的位可见，数学结构在数学模型中占有极为重要的位 置。而代数系统是一类特殊的数学结构置。而代数系统是一类特殊的数学结构由对由对 象集合及

3、运算组成的数学结构，我们通常称它为象集合及运算组成的数学结构，我们通常称它为 代数结构。它在计算机科学中有着广泛的应用，代数结构。它在计算机科学中有着广泛的应用， 对计算机科学的产生和发展有重大影响；反过来，对计算机科学的产生和发展有重大影响；反过来， 计算机科学的发展对抽象代数学又提出了新的要计算机科学的发展对抽象代数学又提出了新的要 求，促使抽象代数学不断涌现新概念，发展新理求，促使抽象代数学不断涌现新概念，发展新理 论。论。 代数系统的应用代数系统的应用 4 格与布尔代数的理论成为电子计算机硬件设格与布尔代数的理论成为电子计算机硬件设 计和通讯系统设计中的重要工具。半群理论在自计和通讯系

4、统设计中的重要工具。半群理论在自 动机和形式语言研究中发挥了重要作用。关系代动机和形式语言研究中发挥了重要作用。关系代 数理论成为最流行的数据库的理论模型。格论是数理论成为最流行的数据库的理论模型。格论是 计算机语言的形式语义的理论基础。抽象代数规计算机语言的形式语义的理论基础。抽象代数规 范理论和技术广泛应用于计算机软件形式说明和范理论和技术广泛应用于计算机软件形式说明和 开发，以及硬件体系结构设计。有限域的理论是开发，以及硬件体系结构设计。有限域的理论是 编码理论的数学基础，在通讯中发挥了重要作用。编码理论的数学基础，在通讯中发挥了重要作用。 在计算机算法设计与分析中，代数算法研究占有在计

5、算机算法设计与分析中，代数算法研究占有 主导地位。主导地位。 代数系统的应用代数系统的应用 5 纠错码纠错码 一、纠错码概述一、纠错码概述 我们知道，在计算机中和数据通信中，我们知道，在计算机中和数据通信中， 经常需要将二进制数字信号进行传递，这经常需要将二进制数字信号进行传递，这 种传递的距离近则数米、数毫米，远则超种传递的距离近则数米、数毫米，远则超 过数千公里。在传递住处过程中，由于存过数千公里。在传递住处过程中，由于存 在着各种干扰，可能会使二进制信号产生在着各种干扰，可能会使二进制信号产生 失真现象，即在传递过程中二进制信号失真现象，即在传递过程中二进制信号0可可 能会变成能会变成1

6、，1可能会变成可能会变成0。 代数系统的应用代数系统的应用 6 图图2.1是一个二进制信号传递的简单模型，它有是一个二进制信号传递的简单模型，它有 一个发送端和一个接收端，二进制信号串一个发送端和一个接收端，二进制信号串 X=x1x2xn 从发送端发出经传输介质而至接收端。从发送端发出经传输介质而至接收端。 由于存在着干扰对传输介质的影响，因而接收端收由于存在着干扰对传输介质的影响，因而接收端收 到的二进制信号串到的二进制信号串 中的中的 可能不一可能不一 定就与定就与xi相等，从而产生了二进制信号的传递错误。相等，从而产生了二进制信号的传递错误。 n xxxX. 21 i x 发送端发送端

7、接收端接收端 X=x1x2 xn n xxxX. 21 干扰干扰 图图2.1 代数系统的应用代数系统的应用 7 由于在计算机中和数据通信系统中的由于在计算机中和数据通信系统中的 信号传递是非常的频繁与广泛，因此，如信号传递是非常的频繁与广泛，因此，如 何防止传输错误就变得相当重要了，当然，何防止传输错误就变得相当重要了，当然， 要解决这个问题可以有不同的途径。人们要解决这个问题可以有不同的途径。人们 所想到的第一个途径是提高设备的抗干扰所想到的第一个途径是提高设备的抗干扰 能力和信号的抗干扰能力。但是，大家都能力和信号的抗干扰能力。但是，大家都 知道，这种从物理角度去提高抗干扰能力知道，这种从

8、物理角度去提高抗干扰能力 并不能完全消除错误的出现。并不能完全消除错误的出现。 代数系统的应用代数系统的应用 8 第二个途径就是我们所要谈到的采用采用纠第二个途径就是我们所要谈到的采用采用纠 错码（错码（Error Correcting Code）的方法以提高抗）的方法以提高抗 干扰能力。这种纠错码的方法是从编码上下功夫，干扰能力。这种纠错码的方法是从编码上下功夫， 使得二进制数码在传递过程中一旦出错，在接收使得二进制数码在传递过程中一旦出错，在接收 端的纠错码装置就能立刻发现错误，并将其纠正。端的纠错码装置就能立刻发现错误，并将其纠正。 由于这种方法简单易行，因此目前在计算机中和由于这种方法

9、简单易行，因此目前在计算机中和 数据通信系统中被广泛采用。采用这种方法后，数据通信系统中被广泛采用。采用这种方法后， 二进制信号传递模型就可以变为图二进制信号传递模型就可以变为图2.2所示的模型所示的模型 了。了。 代数系统的应用代数系统的应用 9 图图2.2通信系统模型通信系统模型 信信 源源 信信 源源 编编 码码 加加 密密 信信 道道 编编 码码 信道信道 信信 道道 译译 码码 解解 密密 信信 源源 译译 码码 信信 宿宿 密密 钥钥 源源 噪声噪声 密密 钥钥 源源 该模型按功能分为信源、编码器、信道、译码器、信宿该模型按功能分为信源、编码器、信道、译码器、信宿 代数系统的应用代

10、数系统的应用 10 但是，为什么纠错码具有发现错误、纠但是，为什么纠错码具有发现错误、纠 正错误的能力呢？纠错码又是按什么样的正错误的能力呢？纠错码又是按什么样的 原理去编的呢？为了说明这些问题，我们原理去编的呢？为了说明这些问题，我们 首先介绍一些基本概念。首先介绍一些基本概念。 代数系统的应用代数系统的应用 11 定义定义2.1 由由0和和1组成的串称为字（组成的串称为字（Word），一），一 些字的集合称为码（些字的集合称为码（Code）。码中的字称）。码中的字称 为码字（为码字（Code Word）。不在码中的字称为）。不在码中的字称为 废码（废码（Invalid Code）。码中的每

11、个二进制）。码中的每个二进制 信号信号0或或1称为码元（称为码元（Code Letter）。）。 我们下面举出几个关于纠错码例子。我们下面举出几个关于纠错码例子。 代数系统的应用代数系统的应用 12 例例2.12.1 设有长度为设有长度为2的字，它们一共可有的字，它们一共可有22=4 个，它们所组成的字集个，它们所组成的字集S2=00，01，10， 11。当选取编码为。当选取编码为S2时，这种编码不具有时，这种编码不具有 抗干扰能力。因为当抗干扰能力。因为当S2中的一个字如中的一个字如10，在，在 传递过程中其第一个码元传递过程中其第一个码元1变为变为0，因而整，因而整 个字成为个字成为00时

12、，由于时，由于00也是也是S2中的字，故我中的字，故我 们不能发现传递中是否出错。们不能发现传递中是否出错。 代数系统的应用代数系统的应用 13 当我们选取当我们选取S2的一个子集如的一个子集如C2=01，10作为作为 编码时就会发生另一种完全不同的情况。编码时就会发生另一种完全不同的情况。 因为此时因为此时00和和11均为废码，而当均为废码，而当01在传递过在传递过 程中第一个码元由程中第一个码元由0变为变为1，即整个字成为，即整个字成为11时，时， 由于由于11是废码，因而我们发现传递过程中出现了是废码，因而我们发现传递过程中出现了 错误。对错误。对10也有同样的情况。也有同样的情况。 0

13、1 第一个码元错成第一个码元错成11 第二个码元错成第二个码元错成00 10 第一个码元错成第一个码元错成00 第二个码元错成第二个码元错成11 代数系统的应用代数系统的应用 14 可见，这种编码有一个缺点，即它只能可见，这种编码有一个缺点，即它只能 发现错误而不能纠正错误，因此我们还需发现错误而不能纠正错误，因此我们还需 要选择另一种能纠错的编码。要选择另一种能纠错的编码。 代数系统的应用代数系统的应用 15 例例2.2 2.2 考虑长度为考虑长度为3的字的字 它们一共可有它们一共可有23=8个，它们所组成的字集个，它们所组成的字集 S3=000，001，010，011，100，101，11

14、0，111 选取编码选取编码C3=101，010。利用此编码我们不。利用此编码我们不 仅能发现错误而且能纠正错误。仅能发现错误而且能纠正错误。 因为码字因为码字101出现单个错误后将变为：出现单个错误后将变为：001， 111，100；而码字；而码字010出现错误后将变为出现错误后将变为110，000， 011。故如码字。故如码字101在传递过程中任何一个码元出在传递过程中任何一个码元出 现了错误，整个码字只会变为现了错误，整个码字只会变为111、100或或001，但，但 是都可知其原码为是都可知其原码为101。对于码字。对于码字010也有类似的也有类似的 情况。故对编码情况。故对编码C3，我

15、们不仅能发现错误而且能，我们不仅能发现错误而且能 纠正错误。纠正错误。 代数系统的应用代数系统的应用 16 当然，上述编码还有一个缺点，就是当然，上述编码还有一个缺点，就是 它只能发现并纠正单个错误。当错误超过它只能发现并纠正单个错误。当错误超过 两个码元时，它就既不能发现错误，更无两个码元时，它就既不能发现错误，更无 法纠正了。法纠正了。 代数系统的应用代数系统的应用 17 二、纠错码的纠错能力二、纠错码的纠错能力 前面例子中我们发现前面例子中我们发现C2编码仅能发现编码仅能发现 错误，按错误，按C3编码可发现并纠正单个错误。编码可发现并纠正单个错误。 可见，不能的编码具有不同的纠错能力。可

16、见，不能的编码具有不同的纠错能力。 下面介绍编码方式与纠错能力之间的联系。下面介绍编码方式与纠错能力之间的联系。 代数系统的应用代数系统的应用 18 设设Sn是长度为是长度为n的字集，即的字集，即 Sn=x1x2xn|xi=0或或1,i=1,2,n 在在Sn上定义二元运算上定义二元运算为：为： X，YSn,X=x1x2xn, Y=y1y2yn, Z=X Y=z1z2zn 其中，其中，zi=xi +2 yi(i=1,2,n)而运算符而运算符+2为模为模2加运算加运算 (即即0+21=1+20=1,0+20=1+21=0)， 我们称运算我们称运算为按位为按位 加。加。 显然，显然，是一个代数系统，

17、且运算是一个代数系统，且运算满足结满足结 合律，它的幺元为合律，它的幺元为000，每个元素的逆元都是它自，每个元素的逆元都是它自 身。因此，身。因此， 是一个群。是一个群。 代数系统的应用代数系统的应用 19 定义定义2.22.2 Sn的任一非空子集的任一非空子集C，如果是，如果是群，群， 即即C是是Sn的子群，则称码的子群，则称码C是群码是群码(Group Code)。 定义定义2.32.3 设设X=x1x2 xn 和和Y=y1y2 yn 是是Sn中的两个中的两个 元素，称元素，称 为为X与与Y的的汉明距离汉明距离（Hamming Distance）。）。 n i ii yxYXH 1 2

18、)(),( 代数系统的应用代数系统的应用 20 从定义可以看出，从定义可以看出，X和和Y的汉明距离是的汉明距离是 X和和Y中对应位码元不同的个数。设中对应位码元不同的个数。设S3中两中两 个码字为：个码字为：000和和011，这两个码字的汉明距，这两个码字的汉明距 离为离为2。而。而000和和111的汉明距离为的汉明距离为3。关于汉。关于汉 明距离，我们有以下结论：明距离，我们有以下结论： （1）H(X,X)=0; （2）H(X,Y)=H(Y,X); （3）H(X,Y)+H(Y,Z)H(X,Z)。 代数系统的应用代数系统的应用 21 （3）H(X,Y)+H(Y,Z)H(X,Z)的证明的证明 证

19、明：定义证明：定义 H(xi,yi)= 则则H(xi,zi)H(xi,yi)+H(yi,zi) 从而从而 0 xi=yi 1 xiyi ),(),( ),(),(),(),( 11 ZYHYXH zyHyxHzxHZXH n i ii n i ii n i ii 代数系统的应用代数系统的应用 22 定义定义2.42.4一个码一个码C中所有不同码字的汉明距中所有不同码字的汉明距 离的极小值称为码离的极小值称为码C的最小距离（的最小距离（Minimum Distance）,记为记为dmin(C)。即。即 例如，例如， dmin(S2)= dmin(S3)=1， dmin(C2)=2， dmin(C

20、3)=3。 利用编码利用编码C的最小距离，可以刻画编码方式与的最小距离，可以刻画编码方式与 纠错能力之间的关系，我们有以下两定理：纠错能力之间的关系，我们有以下两定理： ),(,)( min min YXHCYXCd YX 代数系统的应用代数系统的应用 23 定理定理2.1一个码一个码C能检查出不超过能检查出不超过k个错误个错误 的充分必要条件为的充分必要条件为dmin(C) k+1。 定理定理2.2 一个码一个码C能纠正能纠正k个错误的充分必个错误的充分必 要条件是要条件是dmin(C) 2k+1。 代数系统的应用代数系统的应用 24 例子例子2.32.3 对于对于C2=01，10，因为，因

21、为dmin(C2)=2=1+1,所以所以 C2可以检查出单个错误；可以检查出单个错误； 对于对于C3=101，010，因，因dmin(C3)=3，故，故C3能能 够发现并纠正单个错误；够发现并纠正单个错误； 对于对于S2和和S3分别包含了长度为分别包含了长度为2、3的所有码，的所有码， 因而因而dmin(S2)= dmin(S3)=1，从而，从而S2、S3既不能检查既不能检查 错误也不能纠正错误。从而我们知道一个编码如错误也不能纠正错误。从而我们知道一个编码如 果包含了某个长度的所有码字，则此编码一定无果包含了某个长度的所有码字，则此编码一定无 抗干扰能力。抗干扰能力。 代数系统的应用代数系统

22、的应用 25 例子例子2.42.4奇偶校验码（奇偶校验码（Parity code)Parity code)的编码的编码 我们知道，编码我们知道，编码S2=00，01，10，11没有抗没有抗 干扰能力。但我们可以在干扰能力。但我们可以在S2的每个码字后增加一的每个码字后增加一 位（叫奇偶校验位），这一位是这样安排的，它位（叫奇偶校验位），这一位是这样安排的，它 使每个码字所含使每个码字所含1的个数为偶数，按这种方法编码的个数为偶数，按这种方法编码 后后S2就变为就变为 S2=000，011，101，110 而它的最小距离而它的最小距离dmin(S2)=2，故定理，故定理2.1可知，可知， 它可想

23、出单个错误。而事实也是如此，当传递过它可想出单个错误。而事实也是如此，当传递过 程中发生单个错误则码字就变为含有奇数个程中发生单个错误则码字就变为含有奇数个1的废的废 码。码。 代数系统的应用代数系统的应用 26 类似地，增加奇偶校验位使码字所含类似地，增加奇偶校验位使码字所含1 的个数为奇数时也可得到相同的效果。的个数为奇数时也可得到相同的效果。 我们可以把上述结果推广到我们可以把上述结果推广到Sn中去，中去， 不管不管n多大，只要增加一奇偶校验位总可能多大，只要增加一奇偶校验位总可能 查出一个错误。这种方法在计算机中是使查出一个错误。这种方法在计算机中是使 用很普遍的一种纠错码，它的优点是

24、所付用很普遍的一种纠错码，它的优点是所付 出的代价较小（只增加一位附加的奇偶校出的代价较小（只增加一位附加的奇偶校 验位），而且这种码的生成与检查也很简验位），而且这种码的生成与检查也很简 单，它的缺点是不能纠正错误。单，它的缺点是不能纠正错误。 代数系统的应用代数系统的应用 27 三、纠错码的选择三、纠错码的选择 前面分析，我们发现前面分析，我们发现S2无纠错能力，但无纠错能力，但 在在S2中选取中选取C2后，后，C2具有发现单错的能力。具有发现单错的能力。 同样，同样，S3无纠错能力，但在无纠错能力，但在S3中选取中选取C3后，后， C3具有纠正单错的能力。从这里可以看出，具有纠正单错的能

25、力。从这里可以看出， 如何从一些编码中选取一些码字组成新码，如何从一些编码中选取一些码字组成新码， 使其具有一定的纠错能力是一个很重要的课使其具有一定的纠错能力是一个很重要的课 题。题。 下面我们介绍一种很重要的编码下面我们介绍一种很重要的编码汉汉 明编码，这种编码能发现并纠正单个错误。明编码，这种编码能发现并纠正单个错误。 代数系统的应用代数系统的应用 28 （一）汉明编码的特例（一）汉明编码的特例 设有编码设有编码S4，S4中每个码字为中每个码字为a1a2a3a4， 若增加三位校验位若增加三位校验位a5a6a7，从而使它成为长度，从而使它成为长度 为为7的码字的码字a1a2a3a4 a5a

26、6a7。其中校验位。其中校验位a5a6a7 应满足下列方程：应满足下列方程： a1 +2 a2 +2 a3 +2 a5=0（21） a1 +2 a2 +2 a4 +2 a6=0 （22） a1 +2 a3 +2 a4 +2 a7=0 （23） 也就是说要满足：也就是说要满足： a5= a1 +2 a2 +2 a3 a6= a1 +2 a2 +2 a4 a7= a1 +2 a3 +2 a4 代数系统的应用代数系统的应用 29 因此，因此，a1,a2,a3,a4一旦确定，则校验位一旦确定，则校验位a5,a6,a7可可 根据上述方程唯一确定。这样我们由根据上述方程唯一确定。这样我们由S4就可以就可以

27、 得到一个长度为得到一个长度为7的编码的编码C，如表，如表21所示。所示。 代数系统的应用代数系统的应用 30 表表21 a1a2a3a4a5a6a7a1a2a3a4a5a6a7 00000001000111 00010111001100 00101011010010 00111111011001 01001101100001 01011011101010 01100111110100 01110001111111 代数系统的应用代数系统的应用 31 上述的编码上述的编码C能发现一个错误并纠正单个错误。能发现一个错误并纠正单个错误。 因为如果因为如果C中码字发生单错，则上述三个方程必定至中码字

28、发生单错，则上述三个方程必定至 少有一个等式不满足；当少有一个等式不满足；当C中码字发生单错后，不同中码字发生单错后，不同 的字位错误可使方程中不同的等式不成立，如当的字位错误可使方程中不同的等式不成立，如当a2发发 生错误时必有方程（生错误时必有方程（21）、（）、（22）不成立，而当）不成立，而当 a3发生错误时必有方程（发生错误时必有方程（21）、（）、（23）不成立，）不成立， 方程中三个等式的方程中三个等式的8种组合可对应种组合可对应a1a7的七个码元每的七个码元每 个码的错误以及一个正确无误的码字。个码的错误以及一个正确无误的码字。 代数系统的应用代数系统的应用 32 为讨论方便，

29、我们建立三个谓词：为讨论方便，我们建立三个谓词： P1(a1,a2,a7): a1 +2 a2 +2 a3 +2 a5=0 P2(a1,a2,a7): a1 +2 a2 +2 a4 +2 a6=0 P3(a1,a2,a7): a1 +2 a3 +2 a4 +2 a7=0 这三个谓词的真假与对应等式是否成立相一致。这三个谓词的真假与对应等式是否成立相一致。 我们建立三个集合我们建立三个集合S1，S2，S3分别对应分别对应P1，P2， P3。令。令 S1a1,a2,a3,a5 S2a1,a2,a4,a6 S3a1,a3,a4,a7 代数系统的应用代数系统的应用 33 显然，显然，Si是使是使Pi为

30、假的所有出错字的集合。我为假的所有出错字的集合。我 们可构成下面们可构成下面7个非空集合：个非空集合： , 3211 SSSa , 3212 SSSa , 3213 SSSa, 3214 SSSa , 3215 SSSa, 3216 SSSa , 3217 SSSa 从这七个集合我们可以决定出错位。例如，从这七个集合我们可以决定出错位。例如， 即表示即表示a3S2， a3S1， a3S3， 所以所以a3出错，则必有出错，则必有P2为真，为真，P1、P3为假。反之亦然。为假。反之亦然。 如此类推，可得到表如此类推，可得到表22所示的纠错对照表。从表中所示的纠错对照表。从表中 可看出这种编码可看出

31、这种编码C能纠正一个错误。能纠正一个错误。 , 3213 SSSa 代数系统的应用代数系统的应用 34 22纠错对照表纠错对照表 P1P2P3出错码元出错码元 000a1 001a2 010a3 011a4 100a5 101a6 110a7 111无无 代数系统的应用代数系统的应用 35 我们将上例加以抽象，首先将方程（我们将上例加以抽象，首先将方程（21）、）、 （22）、（）、（23）表示为矩阵形式：）表示为矩阵形式： HXTT 1110100 其中其中H1101010 1011001， X(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7), =(0,0,0),XT、 T分别是分别是X、 的转

32、置矩阵，这里加法运算为的转置矩阵，这里加法运算为2。 可见，一个编码可由矩阵可见，一个编码可由矩阵H确定，而它的纠错确定，而它的纠错 能力可由能力可由H的特性决定。下面讨论矩阵的特性决定。下面讨论矩阵H。 代数系统的应用代数系统的应用 36 定义定义2.52.5重量（重量（WeightWeight） 一个码字一个码字X所含所含1的个数称为此码字的的个数称为此码字的 重量，记为重量，记为W(X)。 例如，码字例如，码字001011的重量为的重量为3，码字，码字100000的的 重量为重量为1，码字，码字000的重量为的重量为0，通常将，通常将000记为记为 0或或。利用码字的重量，我们有如下结论

33、：。利用码字的重量，我们有如下结论： （1）设有码）设有码C，对任意，对任意X,YC，有，有 H(X,Y)=H(X Y, )=W(X Y)； 代数系统的应用代数系统的应用 37 （2）群码）群码C中非零码字的最小重量等于此中非零码字的最小重量等于此 群码的最小距离。即群码的最小距离。即 )()( min min CdZW CZ Z （3）设）设H是是k行行n列矩阵，列矩阵，X=x1x2xn,并设集并设集 合合GXHXTT，这里加法运算为，这里加法运算为2， 则则G， 是群，即是群，即G是群是群码。码。 上述介绍的汉明码就是群码。上述介绍的汉明码就是群码。 代数系统的应用代数系统的应用 38 定

34、义定义2.6群码群码GXHXTT称为由称为由H 生成的群生成的群码，而码，而G中每一个码字称为由中每一个码字称为由H生成生成 的码字，矩阵的码字，矩阵H称为一致校验矩阵（称为一致校验矩阵（Uniform Check Matrix） 。 代数系统的应用代数系统的应用 39 现在我们介绍矩阵列向量的概念，设矩阵现在我们介绍矩阵列向量的概念，设矩阵H为为 ni h h h h hhh hhh hhh H mi i i i mnmm n n , 2 , 1, 2 1 21 22221 11211 令 此时矩阵此时矩阵H可记为可记为 H（h1 h2 h3 hn) 而而hi叫做矩阵叫做矩阵H的第的第i个列

35、向量（个列向量（Column Vector). mjmi ji ji ji hh hh hh hh 2 122 121 代数系统的应用代数系统的应用 40 我们有如下结论：我们有如下结论： （1）一致校验矩阵）一致校验矩阵H生成一个重量为生成一个重量为p的码字的充分必的码字的充分必 要条件是在要条件是在H中存在中存在p个列向量，它们的按位加为个列向量，它们的按位加为T 。 （2）由）由H生成的群码的最小距离等于生成的群码的最小距离等于H中列向量按位加中列向量按位加 为为T的最小列向量数。的最小列向量数。 这个结论建立了最小距离与列向量之间的联系。这个结论建立了最小距离与列向量之间的联系。 前面结论我们知道：一个码的纠错能力由其最小距离前面结论我们知道：一个码的纠错能力由其最小距离 决定。故有：一个群码的纠错能力可由其一致校验矩决定。故有：一个群码的纠错能力可由其一致校验矩 阵阵H中列向量按位加为中列向量按位加为T的最小列向量数决定。的最小列向量数决定。 代数系统的应用代数系统的应用 41 故只要选取适当的故只要选取适当的H就可使其