运动学典型问题及解决方法

1、v1.0可编辑可修改物理学科培训师辅导讲义课题运动学典型问题及解决方法教学目标相遇、追及与避碰问题重点、难点相遇、追及与避碰问题考点及考试要求相遇、追及与避碰问题教学内容g第5课：运动学典型问题及解决方法基础知识一、相遇、追及与避碰问题对于追及问题的处理，要通过两质点的速度比较进行分析，找到隐含条件(即速度相同时，而质点距离 最大或最小)。再结合两个运动的时间关系、位移关系建立相应的方程求解，必要时可借助两质点的速度 图象进行分析。二、追击类问题的提示1 .匀加速运动追击匀速运动，当二者速度相同时相距最远.2 .匀速运动追击匀加速运动，当二者速度相同时追不上以后就永远追不上了.此时二者相距最近

2、.3 .匀减速直线运动追匀速运动，当二者速度相同时相距最近，此时假设追不上，以后就永远追不上了.4 .匀速运动追匀减速直线运动，当二者速度相同时相距最远.5 .匀加速直线运动追匀加速直线运动，应当以一个运动当参照物，找出相对速度、相对加速度、相对 位移.规律方法| 1、追及问题的分析思路(1)根据追赶和被追赶的两个物体的运动性质，列出两个物体的位移方程，并注意两物体运动时间之间的关系.(2)通过对运动过程的分析，画出简单的图示，找出两物体的运动位移间的关系式.追及的主要条件是 两个物体在追上时位置坐标相同.(3)寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距

3、离；11v1.0可编辑可修改速度大者减速追赶速度小者，在两物体速度相等时有最小距离，等等.利用这些临界条件常能简化解题 过程.(4)求解此类问题的方法，除了以上所述根据追及的主要条件和临界条件解联立方程外，还有利用二次函数求极值，及应用图象法和相对运动知识求解.【例1】羚羊从静止开始奔跑，经过50m能加速到最大速度 25m/s,并能维持一段较长的时间；猎豹从静止开始奔跑，经过 60 m的距离能加速到最大速度 30m/s,以后只能维持此速度s.设猎豹距离羚羊 xm时x值应在什么范围再分析猎豹追上羚羊前，两者所开时攻击，羚羊则在猎豹开始攻击后s才开始奔跑，假定羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速运动，

4、且均沿同一直线奔跑，求：猎豹要在从最大速度减速前追到羚羊, 解析：先分析羚羊和猎豹各自从静止匀加速达到最大速度所用的时间,发生的位移之差的最大值，即可求x的范围。图 2*2723设猎豹从静止开始匀加速奔跑60m达到最大速度用时间t2,则gvit 2ti2sivi2 60304s羚羊从静止开始匀加速奔跑 50m达到最大速度用时间ti,则s2t22s2v22 50254s猎豹要在从最大速度减速前追到羚羊，则猎豹减速前的匀速运动时间最多4s而羚羊最多匀速3s而被追=55m,所以应取x0也就是vor ja g h/2 ,这就对a与g关系有了限制，而事实上不应有这样的限制的。点评：对追及类问题分析的关键

5、是分析两物体运动的运动过程及转折点的条件.可见，在追赶过程中,速度相等是一个转折点，要熟记这一条件.在诸多的物理问题中存在“隐蔽条件”，这类问题往往是难34题，于是，如何分析出“隐蔽条件”成为一个很重要的问题，一般是根据物理过程确定.该题中“隐蔽条件”就是当两车速度相同时距离最大.解析后，问题就迎刃而解.2、相遇问题的分析思路相遇问题分为追及相遇和相向运动相遇两种情形，其主要条件是两物体在相遇处的位置坐标相同.(1)列出两物体运动的位移方程，注意两个物体运动时间之间的关系.(2)利用两物体相遇时必处在同一位置，寻找两物体位移间的关系.(3)寻找问题中隐含的临界条件.(4)与追及中的解题方法相同

6、【例41.在某铁路与公路交叉的道口外安装的自动拦木装置如图所示，当高速列车到达公路上应显示红灯，警告来越过停车线的汽车迅速制动，而且超过停车线的汽车能在列车到达道口前安全通过道口。已知高速列车的速度vi=120km/h,汽车过道口的速度 v2=5km/h,汽车驶至停车线时立即制动后滑行的距离是 so=5m,道口宽度s = 26m,汽车长l=15m。若栏木关闭时间ti = 16s,为保障安全需多加时间t2=20s。问：列车从a点保行车安全a点时，道口到道口的距离 l应为多少才能确解析：由题意知，关闭道口时间为16s,为安全保障再加 20s,即关闭道口的实际时间为to=20+16=36s,汽车必须

7、在关闭道口前已通过道口，汽车从停车线到通过道口实际行程为s=26+5+15=46m，需用时v1.0可编辑可修改t2 .、00 ,由此亮起红灯的时间为 5000t=t0+t2 , 故 a点离道口的距离应为44l=vit=12000036003646 3650=2304m【例5】火车以速度 v匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距s处有另一火车沿同方向以速度 v2 (对地、且viv2)做匀速运动.司机立即以加速度a紧急刹车.要使两车不相撞，a应满足什么条件解法一：后车刹车后虽做匀减速运动，但在其速度减小至和v2相等之前，两车的距离仍将逐渐减小；当后车速度减小至小于前车速度，两车距离将逐渐增大.可见，当

8、两车速度相等时，两车距离最近.若后 车减速的加速度过小，则会出现后车速度减为和前车速度相等之前即追上前车，发生撞车事故；若后车 加速度过大，则会出现后车速度减为和前车速度相等时仍未过上前车，根本不可能发生撞车事故；若后 车加速度大小为某值时，恰能使两车在速度相等时后车追上前车.这正是两车恰不相撞的临界状态，此 时对应的加速度即为两车不相撞的最小加速度.综上分析可知，两车恰不相撞时应满足下列两方程:222s解法二：要使两车不相撞，其位移关系应为vit-at2/22sws+ v2t 即 at 2/2 + (v2vi) t+s0 对任一时2由此得a v2 vi2sv= viv2,加速度为a的匀减速直

9、线运动.当vit - a0t 2/2 =v2t + s v iat=v2解之可得：a= v2 _/1_ .所以当a学，_时，两车即不会相撞间t,不等式都成立的条件为a= (v2vi) 2-2as0解法三：以前车为参照物，刹车后后车相对前车做初速度后车相对前车的速度成为零时，若相对位移s/ws,则不会相撞.故由2s / = v02/2a= (viv2)2/2a v2 vi2s点评：三种解法中，解法一注重对运动过程的分析，抓住两车间距有极值时速度应相等这一关键条件来 求解；解法二中由位移关系得到一元二次方程.然后利用根的判别式来确定方程中各系数间的关系，这 也是中学物理中常用的数学方法；解法三通过

10、巧妙地选取参照物，使两车运动的关系变得简明.说明：本题还可以有多种问法，如“以多大的加速度刹车就可以不相碰”，“两车距多少米就可以不相 碰”，“货车的速度为多少就可以不相碰”等，但不管哪一种问法，都离不开“两车速度相等”这个条 件.【例6】甲、乙两车相距 s,同时同向运动，乙在前面做加速度为ai、初速度为零的匀加速运动，甲在后面做加速度为a2、初速度为v。的匀加速运动，试讨论两车在运动过程中相遇次数与加速度的关系。【分析】由于两车同时同向运动，故有vv0+a2t, v &=ait o当aia2时，aitvazt,可得两车在运动过程中始终有，丫甲丫乙。由于原来甲在后，乙在前，所以甲、乙两车的距离

11、在不断缩短，经过一段时间后甲车必然超过乙车，且甲超过乙后相距越来越大，因此甲、乙两车只能相遇一次。v1.0可编辑可修改当ai=a2时，ait = a2t,可得v甲=丫。+ v乙,同样有v甲丫乙,因此甲、乙两车也只能相遇一次。当aia2时，ata2t, v甲和v乙的大小关系会随着运动时间的增加而发生变化。刚开始， at和 a2t相差不大且甲有初速 v0,所以丫甲丫乙；随着时间的推移，at和a2t相差越来越大；当 ait -a2t = vo 时，v甲二丫乙，接下来ait -a2t vo,则有v甲vv乙,若在v甲二丫乙之前，甲车还没有超过乙车，随后由于v甲vv乙，甲车就没有机会超过乙车，即两车不相遇

12、；若在 丫甲=丫乙时，两车刚好相遇，随后 v甲vv乙，甲 车又要落后乙车，这样两车只能相遇一次；若在vwv乙前，甲车已超过乙车，即已相通过一次，随后由于v甲vv乙，甲、乙距离又缩短，直到乙车后反超甲车时，再相遇一次，则两车能相遇两次。【解】由于 s甲=丫。t +? a2t2, $乙二? ait2,相遇时有 s甲一5乙=$，则 vo t +? a2t2-? ait2=s, ? (ai- a2)t2一 vo t + s= 0.当aia2时，式；只有一个正解，则相遇一次。当 ai = a2时 s 甲一 s 乙7。t +? a2t2 ? ait2=vo t=s ,，t=s/v o t 只有一个解，则相

13、遇一次。当aia2时，若vo2 (ai-a2)s,式t有两个正解，即相遇两次。解法2：利用v t图象求解。当aiva2时，甲、乙车的运动图线分别为如图，其中划斜线部分的面积表示t时间内甲车比乙车多发生的位移，着此而积为s,则t时刻甲车追上乙车而相遇，以后在相等时间内甲车发生的位移都比乙车多， 所以只能相遇一次。当a产出时，甲、乙两车的运动图线分别如图，讨论方法同，所以两车也只能相遇一次。当aia2时，甲、乙两车的运动图线分别为如图的i和ii,其中划实斜线部分面积表示用车比乙车多发生的位移，划虚斜线部分的面积表示乙车比甲车多发生的位移。若划线部分的面积小于 s,说明甲追不上乙车，则不能相遇；若划

14、实斜线部分的面积等于s,说明甲车刚追上乙车又被反超，则相遇一次；若划实斜线部分的面积大于 s,说明ti内划实线部分的面积为 s,说明ti时刻甲车追上乙车，以后在 ti t时间内，甲车超前乙车的位移为tit时间内划实线部分的面积，随后在t t 2时间内，乙车比甲车多发生划应线部分的面积，如果两者相等，则t 2时刻乙车反超甲车，故两车先后相遇两次。【例7】在空中足够高的某处，以初速度v竖直上抛一小球，t s后在同一地点以初速度 v/竖直下抛另一个小球，若使两个小球在运动中能够相遇，试就下述两种情况讨论t的取值范围：(i) ov v/vv, (2) v/55v1.0可编辑可修改【解析】若两小球在运动

15、中能够在空中相遇，必须是下抛小球刚抛出时，上抛小球已进入下降阶段，且 速度大的小球在后，追赶前面速度小的球，(1) 如图甲所示.上抛小球速度方向变为向下，大小达v/时所经历的时间为t0,则to=v+ vl.当tt0时，上抛小球的即时速度 vtv/,上抛小球能够追上下抛小球，但是，若g g上抛小球已越过抛出点，再向下抛出另一个小球时，两球就不会相遇，而上抛球回到抛出点的时间ti为:ti=2v 即：当上工t 2v时两球能够在运动中相遇ggg/(2)如图乙所示，上抛小球速度方向变为向下，大小达v/时所经历时间为t。/,则：t o/= v _v_g当tvt。/时，上抛时即时速度 vtv/,但若使上抛球

16、在前，t还大于11 =2v/g才行，因此，两球在运动中相遇的条件为:例8在同一水平面上，一辆小车从静止开始以1m/s2的加速度前进。有一人在车后与车相距s。 25m处，同时开始以6m/s的速度匀速追车，人与车前进方向相同，则人能否追上车若追不上,求人与车的最小距离。解析：如图1所示解法一：判别式法。假设人能追上车，则人与车的位置坐标相等，即:图1s1 s2 s s01 1 o. .一at2 25 vt 即：-t2 25 6t整理得，t2 12t 50 02 2人与车能够相遇的条件是：0而 b2 4ac 144 20056 0例9客车以的速度行驶，突然发现同轨道的前方120m处有一列货车正以 6

17、m/s的速度同向行驶，于问两车能否相碰客车紧急刹车，以0.8m/s2的加速度作匀减速运动,解析：如图2所示。解法一：判别式法。由图示可知，s2120120r12即：v1tat2 t2 35t 300则,b2 4ac 352 4 300 25 0方程有解，即两车能够相碰。解法二：两车应该相距最远时，即二者速度相等时，所需时间:v1 v220 617.5s0.8此时，客车的位置坐标:v0 vt20 60 t t17.5 227.5m22货车的位置坐标：s2120 6 17.5 120 225ms s2两车能够相碰。解法三：相对运动。以货车为参照物，在初始状态，客车相对货车的初速度v相对=206=1

18、4m/s,客车相对货车做的是初速度为v相对的匀减速直线运动，最后相对货车静止。相对位移：s 匚 122.5m2a 2 0.8 s120m，两车会相碰。拓展：要使两者不会相碰，则最初的距离至少为多少（122.5m)m/s2的加速度开始行驶，恰好此时一辆例题10. 一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3 自行车以6 m/s速度驶来，从后边超越汽车.试求:v1.0可编辑可修改 汽车从路口开动后，追上自行车之前经过多长时间两车相距最远最远距离是多少经过多长时间汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少解一：速度关系，位移关系v汽 atv自 t=2s1at2 2_2_26(m)89解二：极值法1at2

19、 26t3t22由二次函数的极值条件可知：2 ( 3/2)2s 时，s最大sm 6 2 3 226(m)2(2)汽车追上自行车时，二车位移相等vtlat22 j _. 一 ,v at 3 4 12m/ s解三：用相对运动求解选匀速运动的自行车位参照物，则从运动开始到相距最远,这段时间内，起初相对此参照物的各个物理量为初速： v0 v汽初 v自0 66m/ s ； 末速vt v汽末 v自 6 602加速度 a a汽 a自 3 0 3m/s相距最远 s2 2vt vo2a0 ( 6)22 36m (负号表示汽车落后)解四：图象求解2ss vt 1 at226 2 1 3 22 6m2(2) t 2

20、t 4sv 2v自 12m/s例11 .公共汽车从车站开出以 4m/s的速度沿平直公路行驶，2s后一辆摩托车从同一车站开出匀加速2 一 .追赶，加速度为 2m/s。试问(1)摩托车出发后，经多少时间追上汽车(2)摩托车追上汽车时，离出发点多远(3)摩托车追上汽车前，两者最大距离是多少解：开始一段时间内汽车的速度大，摩托车的速度小，汽车和摩托车的距离逐渐增大，当摩托车的速度 v1.0可编辑可修改大于汽车的速度后，汽车和摩托车的距离逐渐减小，直到追上，显然，在上述过程中，摩托车的速度等于汽车速度时，它们间的距离最大。(1)摩托车追上汽车时，两者位移相等，即v(t+2)= 1at2解得摩托车追上汽车

21、经历的时间为t=2(2)摩托车追上汽车时通过的位移为s= at 2=29.9m2(3)摩托车追上汽车前，两车速度相等时相距最远，即 v=at/ t /=v=2s a最大距离为 s=v(t /+2) at /2=12m2小结：求解追及问题要注意明确三个关系：时间关系、位移关系、速度关系，这是我们求解列方程的依据，涉及临界问题时要抓住临界条件。例12、火车以速度v1匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距s处有另一火车沿同方向以速度v2做匀速运动，已知v1 v2司机立即以加速度 a紧急刹车，要使两车不相撞，加速度a的大小应满足什么条件解法一：由分析运动过程入手后车刹车后虽做匀减速运动，但在速度减小到和v

22、2相等之前，两车的距离将逐渐减小；当后车速度减小到小于前车速度，两车距离将逐渐增大。可见，当两车速度相等时，两车距离最近。若后车减速的加速度过小，则会出现后车速度减为和前车速度相等即追上前车，发生撞车事故；若后车加速度过大，则会出现后车速度减为和前车速度相等时仍为追上前车，若后车加速度大小为某一值时，恰能使两车速 度相等时后车追上前车，这是两车不相撞的临界条件，其实对应的加速度即为两车不相撞的临界最小加 速度。综合以上分析可知，两车恰不相撞时应满足下列方程：vit aot 2= v 2t+svt -a ot=v 22联立上式可解得：ao= (v2 v1)2s所以不a v2立时时两车即不会相撞。

23、2s99解法二：要使两车不相撞，其位移关系应为vit at20对于位移s和时间t,上面不等式都成立的条件为 =(v2-v i)2-2as 0v1.0可编辑可修改解法三：以前车为参考系，刹车后后车相对于前车做初速度v0=v1-v2、加速度为a的匀减速直线运动，当后车相对前车的速度为零时，若相对位移s/ws时，则不会相撞。得 an (v2v1)22s2/、2由 s/ = vl=，1lws2a 2a小结：上述三种解法中，解法一注重了对物体运动过程的分析，抓住两车间距离有极值时速度应相等这一关键条件来求解；解法二中由位移关系得到一元二次不等到式（一元二次方程）运用数学知识，利用根的判别式 =b2-4ac来确定方程中各系数间的关系，这也是中学物理中常用的数学方法；解法三通过巧妙选取参考系，使两车的运动变为后车相对于前车的运动，运算简明。例13、某人骑自行车以4m/s的速度匀速前进，某时刻在他前面7 m处以10m/s的速度同向行驶的汽车开始关闭发动机，而以2m/s2的加速度减速前进，求：自行车未追上前，两车的最远距离；自行车需要多长时间才能追上汽车.4 4 10216m解：当v汽=、自时，有最远距离16 100s 7 sn s 自 7 221,2 r s自 s汽 7v1t v0t - at7/a* 一 ,一 、 s末汽车已停下，经