江苏省高三历次模拟数学试题分类汇编：第12章计数原理、概率

1、目录（基础复习部分）第十二章计数原理、统计与概率2第01课计数原理2第02课排列与组合（）3第03课排列与组合（）4第04课二项式定理6第05课抽样方法12第06课用样本估计总体13第07课随机事件的概率、古典概型14第08课几何概型17第09课随机变量及其概率分布17第10课独立性、二项分布22第11课随机变量的均值与方差23第十二章 计数原理、统计与概率第01课 计数原理（南京盐城模拟一）设集合1，2，3，n*，是的两个非空子集，且满足集合中的最大数小于集合中的最小数，记满足条件的集合对的个数为（1）求，的值；（2）求的表达式解：（1）当时，即，此时，所以 2分当时，即若，则，或，或；若或

2、，则所以 4分（2）当集合中的最大元素为“”时，集合的其余元素可在1，2，中任取若干个（包含不取），所以集合共有种情况 6分此时，集合的元素只能在，中任取若干个（至少取1个），所以集合共有种情况，所以，当集合中的最大元素为“”时，集合对共有对 8分当依次取1，2，3，时，可分别得到集合对的个数，求和可得10分（扬州期末）对于给定的大于1的正整数，设，其中0，1，2，0，1，2，且，记满足条件的所有的和为（1）求；（2）设，求（1）当时， 故满足条件的共有4个，分别为，它们的和是22 4分（2）由题意得，各有种取法；有种取法，由分步计数原理可得，的不同取法共有，即满足条件的共有个 6分当分别取0

3、，1，2，时，各有种取法，有种取法，故中所有含项的和为；同理，中所有含项的和为；中所有含项的和为；中所有含项的和为；当分别取1，2，时，各有种取法，故中所有含项的和为；所以；故 10分第02课 排列与组合（）（南通调研二）设a，b均为非空集合，且ab，ab，(3，)记a，b中元素的个数分别为a，b，所有满足“ab，且b”的集合对(a，b)的个数为 （1）求a3，a4的值； （2）求解：（1）当3时，ab1，2，3，且ab， 若a1，b2，则1，2，共种； 若a2，b1，则2，1，共种， 所以a3； 2分 当4时，ab1，2，3，4，且ab， 若a1，b3，则1，3，共种； 若a2，b2，则2，

4、2，这与ab矛盾； 若a3，b1，则3，1，共种， 所以a4 4分 （2）当为偶数时，ab1，2，3，n，且ab， 若a1，b，则1，共（考虑）种； 若a2，b，则2，共（考虑）种； 若a，b，则，共（考虑）种；若a，b，则，这与ab矛盾；若a，b，则，共（考虑）种； 若a，b，则，1，共（考虑）种， 所以an； 8分 当为奇数时，同理得，an， 综上得， 10分第03课 排列与组合（）23.已知整数，集合1，2，3，的所有含有3个元素的子集记为，设，中所有元素之和为.（1）求，并求出；（2）证明：.（南京三模）已知集合a是集合pn1，2，3，n (n3，nn*)的子集，且a中恰有3个元素，同

5、时这3个元素的和是3的倍数记符合上述条件的集合a的个数为f(n)（1）求f(3)，f(4)；（2）求f(n)（用含n的式子表示）解：（1）f(3)1，f(4)2； 2分（2）设a0mm3p，pn*，p，a1mm3p1，pn*，p，a2mm3p2，pn*，p，它们所含元素的个数分别记为a0，a1，a2 4分当n3k时，则a0a1a2kk1，2时，f(n)(c)3k3；k3时，f(n)3c(c)3k3k2k从而 f(n)n3n2n，n3k，kn* 6分当n3k1时，则a0k1，a1a2kk2时，f(n)f(5)2214；k3时，f(n)f(8)1133220；k3时，f(n)c2cc (c)2k3

6、3k2k1； 从而 f(n)n3n2n，n3k1，kn* 8分当n3k2时，a0k1，a1k1，a2kk2时，f(n)f(4)2112；k3时，f(n)f(7)132213；k3时，f(n)2cc(c)2 ck3k25k2；从而 f(n)n3n2n，n3k2，kn*所以f(n) 10分第04课 二项式定理（南京盐城二模）已知m，nn*，定义fn(m) （1）记amf6(m)，求a1a2a12的值；（2）记bm(1)mmfn(m)，求b1b2b2n所有可能值的集合解：（1）由题意知，fn(m)所以am 2分所以a1a2a12ccc63 4分（2）当n1时， bm(1)mmf1(m)则b1b21

7、6分当n2时，bm又mcmnnc，所以b1+b2b2nncccc(1)nc0所以b1+b2b2n的取值构成的集合为1，0 10分（泰州二模）已知（），是关于的次多项式；（1）若恒成立，求和的值；并写出一个满足条件的的表达式，无需证明（2）求证：对于任意给定的正整数，都存在与无关的常数，使得解：（1）令，则，即，因为，所以；令，则，即，因为，因为，所以；例如 4分（2）当时，故存在常数，使得假设当（）时，都存在与无关的常数，使得，即则当时，；令，（），；故存在与无关的常数，；使得综上所述，对于任意给定的正整数，都存在与无关的常数，使得 10分（苏北三市调研三）设，且，对于二项式(1)当n=3，4

8、时，分别将该二项式表示为()的形式；(2)求证：存在，使得等式与同时成立(1)当n=3时, 2分当n=4时, . 4分(2)证明:由二项式定理得,若为奇数,则 分析各项指数的奇偶性易知,可将上式表示为的形式,其中, 也即,其中,.6分若为偶数,则 类似地,可将上式表示为的形式,其中，也即,其中,. 8分同理可得可表示为, 从而有,综上可知结论成立. 10分（盐城三模）设.（1）若数列的各项均为1，求证：；（2）若对任意大于等于2的正整数，都有恒成立，试证明数列是等差数列.证：（1）因数列满足各项为1，即，由，令，则，即.3分（2）当时，即，所以数列的前3项成等差数列.假设当时，由，可得数列的前

9、项成等差数列，5分因对任意大于等于2的正整数，都有恒成立，所以成立，所以，两式相减得，因，所以，即，由假设可知也成等差数列，从而数列的前项成等差数列.综上所述，若对任意恒成立，则数列是等差数列. 10分（苏锡常镇二模）（南师附中四校联考）设，（1）当时，试指出与的大小关系；（2）当时，试比较与的大小，并证明你的结论.（1）n=1时，；时，当时，；当时，；当时，3分（2）时，x=0时，4分x0时，令则=当x0时，单调递减；当x0时，当x0时，；当x0时，10分法二：可用数学归纳法证明当x0时，如下：当n=3时，成立5分假设时有，则当时，又6分时也成立当x0时，用法一证明10分 法三：用二项式定理

10、证明当x0时，如下：时，当x0时，用法一证明10分 （金海南三校联考）设数列an的通项公式，nn*，记sn=(1)求s1，s2的值；(2)求所有正整数n，使得sn能被8整除.解：（1）s1cf11，s2cf1cf232分 （2）记a，b则snc(ii)c(ii)(cici) (1a)n(1b)n()n()n6分注意到()()1故sn2()n1()n1 ()()()n()n3sn1sn因此，sn2除以8的余数完全由sn1，sn除以8的余数确定由（1）可以算出sn各项除以8的余数依次是1，3，0，5，7，0，1，3，这是一个以6为周期的周期数列从而sn能被8整除，当且仅当n能被3整除10分第05课

11、 抽样方法某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一年级抽取 名学生32（南通调研一）某中学共有学生2800人，其中高一年级970人，高二年级930人，高三年级900人现采用分层抽样的方法，抽取280人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为 .93（苏州期末）某课题组进行城市空气质量监测，按地域将24个城市分成甲、乙、丙三组，对应区域城市数分别为4，12，8.若用分层抽样抽取6个城市，则乙组中应该抽取的城市数为 . 3（镇江期末）某校共有师生1600人，其中教师有100人现用分层抽样的方法，从所有师生中

12、抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为 . 75（淮安宿迁摸底）若采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为 1，2，420，则抽取的21人中，编号在区间241，360内的人数是 （泰州二模）某高中共有人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列现用分层抽样的方法从中抽取人，那么高二年级被抽取的人数为 16（盐城三模）某单位有840名职工, 现采用系统抽样抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, , 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间61, 120的人数为 (苏锡常镇二模)某工厂生产某种产品5000件，它们来自甲、乙、丙3条不同的生产

13、线为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样若从甲、乙、丙3条生产线抽取的件数之比为，则乙生产线生产了 件产品2000（金海南三校联考）对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为400，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间25，30)的为一等品，在区间20，25)和30,35)的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 .100第06课 用样本估计总体1 右图是小王所做的六套数学附加题得分（满分40）的茎叶图则其平均得分为 31若数据2，2，2的方差为0，则 答案：；若一组样本数据8，10，11，9的平均数为10，则该组样本数据的方差为

14、 .2（南京盐城模拟一）在一次射箭比赛中，某运动员5次射箭的环数依次是9，10，9，7，10，则该组数据的方差是 .甲组乙组89015826（苏北四市）答案：（扬州期末）已知样本6，7，8，9，的平均数是8，则标准差是. （苏北四市期末）如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为 （南京盐城二模）.某工厂为了了解一批产品的净重（单位：克）情况，从中随机抽测了100件产品的净重， 所得数据均在区间96，106中，其中频率分布直方图如图所示，则在抽测的100件产品中，净重在区100，104上的产品件数是 。55南通调研三时间（小时）频率组距0.0

15、040.0080.0120.01605075100125150（南通调研二）一种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/hm2)如下：9.8，9.9，10.1，10，10.2，则该组数据的方差为 【答案】0.02（南通调研三）为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在50，150中，其频率分布直方图如图所示已知在中的频数为100，则n的值为 【答案】100041 51 61 71 81 91 101 111污染指数苏北三市（苏北三市调研三）如图是某市2014年11月份30天的空气污染指数的频率分布直方图根据国家标准，污染指数在区间内，空气质量为优；在区间

16、内, 空气质量为良；在区间内, 空气质量为轻微污染；由此可知该市11月份空气质量为优或良的天数有 天28（南京三模）如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则 甲 乙 8 9 7 8 9 3 1 0 6 9789南京三模成绩较为稳定（方差较小）的运动员是 甲（南师附中四校联考）下表是某同学五次数学附加题测试的得分情况，则这五次测试得分的方差为 .4 次数12345得分3330272931（南师附中）对某种花卉的开放花期追踪调查，调查情况如下：花期(天)1113141617192022个数20403010则这种花卉的平均花期为 天解析(1220154018302110)15

17、.9(天)答案15.9第07课 随机事件的概率、古典概型现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙类试题的概率为 2 一只口袋内装有大小相同的5只球其中3只白球2只黑球从中一次性随机摸出2只球则恰好有1只是白球的概率为 从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是 某班要选1名学生做代表，每个学生当选是等可能的，若“选出代表是男生”的概率是“选出代表是女生”的概率的，则这个班的女生人数占全班人数的百分比为 袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为 答案：；注意：写成算错，不给分

18、；写成也不给分在一次满分为160分的数学考试中，某班40名学生的考试成绩分布如下：成绩（分）80分以下80，100）100，120）120，140）140，160人数8812102在该班随机抽取一名学生，则该生在这次考试中成绩在120分以上的概率为 0.3（南京三模）经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：排队人数012345概率0.10.160.30.30.10.04则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是 0.74将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为 . （南通调研一）同时抛掷两枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标

19、有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)，观察向上的点数，则两个点数之积不小于4的概率为 .（南京盐城模拟一）甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5，则乙获胜的概率为 .答案：0.3（苏州期末）设，则以为坐标的点落在不等式所表示的平面区域内的概率为 . （扬州期末）在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为. （镇江期末）设，分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量，则向量，的夹角为锐角的概率是 . （苏北四市期末）某用人单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，若每名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙2人中至少

20、有1人被录用的概率为 （盐城三模）某公司从四名大学毕业生甲、乙、丙、丁中录用两人，若这四人被录用的机会均等，则甲与乙中至少有一人被录用的概率为 （淮安宿迁摸底）若将甲、乙两个球随机放入编号为，的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在，号盒子中各有一个球的概率是 （南京盐城二模）答案:（南通调研三）从集合1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取一个数记为x，则log2x为整数的概率为 【答案】（苏北三市调研三）已知集合，若从a，b中各取一个数，则这两个数之和不小于4的概率为 （苏锡常镇二模）从3名男生和1名女生中随机选取两人，则两人恰好是一名男生和一名女生的概率为 （南师附中四校联考）将一颗质

21、地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6）先后抛掷两次得到的点数、分别作为点的横、纵坐标，则点不在直线下方的概率为 .（前黄姜堰四校联考）从集合中任取个不同的数，这个数的和为的倍数概率为 .（金海南三校联考）从集合1，2，3中随机取一个元素，记为a.从集合2，3，4中随机取一个元素，记为b，则ab的概率为 .（南通调研二）体育测试成绩分为四个等级：优、良、中、不及格某班50名学生参加测试的结果如下：等级优良中不及格人数519233（1）从该班任意抽取1名学生，求这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率；（2）测试成绩为“优”的3名男生记为，2名女生记为，现从这5人中 任选2

22、人参加学校的某项体育比赛 写出所有等可能的基本事件； 求参赛学生中恰有1名女生的概率解：（1）记“测试成绩为良或中”为事件，“测试成绩为良”为事件，“测试成绩为中” 为事件，事件，是互斥的. 2分 由已知，有 4分 因为当事件，之一发生时，事件发生， 所以由互斥事件的概率公式，得 6分 （2） 有10个基本事件：， ， 9分 记“参赛学生中恰好有1名女生”为事件在上述等可能的10个基本事件中， 事件包含了， 故所求的概率为 答：（1）这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率为； （2）参赛学生中恰有1名女生的概率为 14分（注：不指明互斥事件扣1分；不记事件扣1分，不重复扣分；不答扣1分事件包

23、含的6种基本事件不枚举、运算结果未化简本次阅卷不扣分）第08课 几何概型（泰州二模）小明通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆中投掷一点，若此 点到圆心的距离大于，则周末看电影；若此点到圆心的距离小于，则周末打篮球；否则就在家看书那么小明周末在家看书的概率是 (南师附中) 在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆(圆中阴影部分)中的概率是 解析设正方形的边长为2，则豆子落在正方形内切圆的上半圆中的概率为.答案第09课 随机变量及其概率分布23某商店为了吸引顾客，设计了一个摸球小游戏，顾客从装有1个红球，1个白球，3个黑球的袋中一次随机的摸2个球，设计奖励方式如

24、下表：结果奖励1红1白10元1红1黑5元2黑2元1白1黑不获奖（1）某顾客在一次摸球中获得奖励x元，求x的概率分布表与数学期望；（2）某顾客参与两次摸球，求他能中奖的概率23解：（1）因为p(x10)，p(x5)，p(x2)，p(x0) ，所以x的概率分布表为：x10520p 4分从而e(x)105203.1元 6分（2）记该顾客一次摸球中奖为事件a，由（1）知，p(a)，从而他两次摸球中至少有一次中奖的概率p11p(a)2答：他两次摸球中至少有一次中奖的概率为 10分某校要进行特色学校评估验收，有甲、乙、丙、丁、戊五位评估员将随机去三个不同的班级进行随班听课，要求每个班级至少有一位评估员（1

25、）求甲、乙同时去班听课的概率；（2）设随机变量为这五名评估员去班听课的人数，求的分布列和数学期望（1）五名评估员随机去三个班级听课，要么一个班级有三个、其余两个班级各一个；要么两个班级各两个、另一个班级一个。故总共的听课可能性有种，其中甲乙同时去a班听课的可能性有种-2分所以所求概率为-4分（2）可取值为1，2，3-8分从而分布列为：123p-10分记为从个不同的元素中取出个元素的所有组合的个数随机变量表示满足的二元数组中的，其中2，3，4，5，6，7，8，9，10，每一个（0，1，2，）都等可能出现求解析：，当时，当时，的解为； 3分当，由可知：当时，成立，当时，（等号不同时成立），即6分2

26、345678910 10分评：这道题实在是故弄玄虚，很简单的问题，弄得如此复杂！且看下页另解吧！23.解：下列“无尖金字塔”表示意思是：上面的是组合数形式，下面的是其值形式；红数字是不适合的 - - - - - - - - -1 2 1- 1 3 3 1- 1 4 6 4 1- 1 5 10 10 5 1- 1 6 15 20 15 6 1- 1 7 21 35 35 21 7 1- 1 8 28 56 70 56 28 8 1- 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1- 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1- 以上两塔相结合起来看，适合的数字

27、总数是.0123456789108分10分（扬州期末）射击测试有两种方案，方案1：先在甲靶射击一次，以后都在乙靶射击；方案2：始终在乙靶射击某射手命中甲靶的概率为，命中一次得3分；命中乙靶的概率为，命中一次得2分若没有命中则得0分用随机变量表示该射手一次测试累计得分，如果的值不低于3分就认为通过测试，立即停止射击；否则继续射击，但一次测试最多打靶3次，每次射击的结果相互独立（1）如果该射手选择方案1，求其测试结束后所得部分的分布列和数学期望；（2）该射手选择哪种方案通过测试的可能性大？请说明理由在甲靶射击命中记作，不中记作；在乙靶射击命中记作，不中记作，其中， 2分（1）的所有可能取值为0，2

28、，3，4， ，的分布列为：0234 7分（2）射手选择方案1通过测试的概率为，选择方案2通过测试的概率为，；9分因为，所以应选择方案1通过测试的概率更大 10分（苏锡常镇二模）第10课 独立性、二项分布（南京盐城二模）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是假设各局比赛结果相互独立（1）分别求甲队以30，31，32获胜的概率；（2）若比赛结果为30或31，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为32，则胜利方得2分、对方得1分求甲队得分x的分布列及数学期望 解：（1）记甲队以30，31，32获胜分别为事件a，

29、b，c由题意得p(a)，p(b)c，p(c) c 5分（2）x的可能取值为0，1，2，3p(x3)p(a)p(b)； p(x2)p(c)，p(x1)c， p(x0)1p(1x3) 所以x的分布列为：x0123p从而e(x)0123 答：甲队以30，31，32获胜的概率分别为，甲队得分x的数学期望为 10分（泰州二模）某班组织的数学文化节活动中，通过抽奖产生了名幸运之星这名幸运之星可获得、两种奖品中的一种，并规定：每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品，抛掷点数小于的获得奖品，抛掷点数不小于的获得奖品（1）求这名幸运之星中获得奖品的人数大于获得奖品的人数的概率；（2）设、分别为获得、两种奖品的人数，并记，求随机变量的分布列及数学期望解：这名幸运之星中，