人教版初中数学第9章中心对称图形——平行四边形09图形的镶嵌解析

1、图形的镶嵌地板、瓷砖当你在为家庭装修忙碌时，是否知道这其中也有着数学问题呢？例如，最常见的瓷砖拼装，同样都是方方正正的瓷砖，为什么效果不一样呢? 如下图，这是常见的两种瓷砖.如今，家庭装修大多使用第二种正方形瓷砖.这种瓷砖比较适合矩形房间的地面装饰，通常这种瓷砖图案形成中心对称图形.这样无论如何铺设都能形成图 案.而在街道道路上，通常用第一种瓷砖作铺垫.当然，还有其他形状的瓷砖， 这里就不一一作介绍了.显而易见，这两种常规瓷砖都是正多边形.那么，是不是所有的正多边形都 能作为瓷砖拼装呢？显而易见，在现实生活中，一般就只有这几种形状的瓷砖.在 装修中，瓷砖拼装首先要拼基本图案.说到拼装，就要先谈

2、一谈嵌合图形的拼装.在一种拼装图案里，如果基本元 素图案只有一种，这就叫做单元拼装.在单元拼装里，如果基本元素是正多边形， 这种拼装便称为正规拼装.当拼装时各个基本单元图案的边与边完全吻合，这种 拼装可以称为棱对棱拼装.瓷砖拼装其实是正规的棱对棱的单元拼装.如图1,它就是一种棱对棱的单元正规拼装.它的基本元素就是图2的正方形.那么，棱对棱的正规单元拼装有几种呢？是不是所有的正多边形都能进行棱 对棱的单元拼装呢？由图1可以看到，它是一个由4个小正方形组成的大正方形.取它的中心对 称点来分析，在此点周围一共就有4个小正方形，同理可得，该大正方形的其他 的顶点周围应该也有4个小正方形.n -2 18

3、0 m = 360n假设某种n边的正多边形能进行棱对棱的单元拼装，且在它的每一个顶点周 围有m个该正多边形.因为m为顶点，所以m应该能被360整除.由多边形内 角和公式可以得到: 2nm 二n -2因为m、n都是正整数，且n3,所以只有当n为3, 4, 5和6时符合条 件.而当n = 5时，即基本图形为正五边形时，内角为 108 ,而108不能除尽 360,所以也舍去.所以当n = 3、4、6时满足条件.因此，只有3种单元正规棱对棱的拼装.这也就是为什么现代地瓷装修主要 是这几种形式.以上三种就是正多边形棱对棱正规拼装的一些示例.在三角形、四边形和六边形中，当多边形的边数为3时，它的一个顶点可

4、容 纳6个此种多边形.当多边形的边数为4时，它的一个顶点可容纳4个此种多边 形.当多边形的边数为6时，它的一个顶点可容纳3个此种多边形.当基本元素 是三角形或矩形时，环绕在一个顶点的多边形的棱正好形成以此点为中心的中心 对称图形.又因为正方形与现代居室相近，所以现代装修中瓷砖拼装以正方形为 主.变换一下颜色或是改变一下摆放次序，就能产生新的图案.在公园或街道上有时会有一种呈矩形的地砖.在这种地砖的镂空处可以种植也有像正方形的镂空地砖，如:在嵌合图形的拼装中，正多边形的棱对棱的正规拼装只是其中极小的一小块 而已.有时候，为了达到美观效果，还会采取多元拼装，就是一个基本单元里有 两种以上的基本图案

5、.以上图中的左图来分析，在它的一个基本单元里，有两种正多边形一一正方形和正八边形.它的一个顶点有一个正方形和两个正八边形. 为什么会这样排列 呢？因为正八边形的一个内角为 135 ,正方形的一个内角为 90 ,而135x2+ 90=360,所以这个组合可以成功.再以上图中的右图来分析，在它的一个基本单元里，它虽然也只有两种正多边形一一正六边形和正三角形， 但它的顶点就 有两种情况：一是周围有六个正三角形，二是周围有两个正三角形和两个正六边 形.再以下图为例，它的基本单元里仍是正六边形和正三角形两种，在它的一个顶点周围只有两个正三角形和一个正六边形. 可见，同样的基本图形组成的不同的图形之间有着

6、很大的差异.倘若有一个图形的基本元素由m个正m多边形和n个正n多边形组成，且该图形为多元正规棱对棱拼装， 那么会有几种这样的图 形呢？这个问题的答案就留给读者思考吧.上述的图形拼装都建立在正规棱对棱拼装的基础上，其实嵌合图形的种类很多，只要是能填满一个平面的图案就叫做嵌合图.嵌合图形是数学和美术的结合，而瓷砖拼装是其中的一个典范.怎么样？小小的瓷砖拼装还是大有学问的吧？只要稍微留心一下，生活中处处都可以发现数学的所在.以下是一些是埃舍尔（ maurits cornelis escher, 1898-1972）荷兰最著名的版画，大家可从中感受镶嵌图形的魅力.，心 埃舍飙的教学的替萧埃舍尔(mau

7、hts cornelis escher, 1898-1972)是荷兰最著名的版画家，1937 年以前埃舍尔并没有多大的名气，那时他的作品尽可能真实地描绘现实客观世界.一次到西班牙的alhambra宫殿访问激发了他新的创作灵感并使他成名.他 不再描绘他所看到的而是开始构思他自己的视觉观念.这就有了他后来流行的 规则的平面分割、转变，错综复杂的谜一般的版画和他天才的空间建筑.他的 家庭设想他将来能跟随他的父亲从事建筑事业，但是他在学校里那可怜的成绩 以及对于绘画和设计的偏爱最终使得他从事图形艺术的职业.他的工作成果直 到五十年代才被注意，1956年他举办了他的第一次重要的画展，这个画展得到 了时代

8、杂志的好评，并且获得了世界范围的名望.在他的最热情的赞美者 之中不乏许多数学家，他们认为在他的作品中数学的原则和思想得到了非同寻 常的形象化.因为这个荷兰的艺术家没有受过中学以外的正式的数学训练，因 而这一点尤其令人赞叹.随着他的创作的发展，他从他读到的数学的思想中获 得了巨大灵感，他工作中经常直接用平面几何和射影几何的结构，这使他的作 品深刻地反映了非欧几里德几何学的精髓，下面我们将看到这一点.他也被悖 论和“不可能”的图形结构所迷住，并且使用了罗杰彭罗斯的一个想法发展 了许多吸引人的艺术成果.这样，对于学数学的学生，埃舍尔的工作围绕了两 个广阔的区域：“空间几何学”和我们或许可以叫做的“空

9、间逻辑学”.镶嵌图形：规则的平面分割叫做镶嵌，镶嵌图形是完全没有重叠并且没有空隙的封闭图形的排列.一般来说，构成一个镶嵌图形的饕幽 基本单元是多边形或类似的常规形状，例如经常在地板上使用的方瓦.然而，埃舍尔被每种镶嵌图形迷住了，不论 是常规的还是不规则的；并且对-种他称为metamorphoses,（变形）的形状特别感兴趣，这其中的图形相互变化影响，.并且有时突破平面的自由.他的兴趣是从1936年开始的，j铮童卑 那年他旅行到了西班牙并且在 alhambra看到了当地使用的瓦的图案.他花了好几天勾画这些瓦面，过后宣称这些“是我所遇到的最丰富 的灵感资源”，1957年他写了一篇关于镶嵌图形的文章

10、，其中评论道：“在数 学领域，规则的平面分割已从理论上研究过了，难道这意味着它只是一个 严格的数学的问题吗？按照我的意见，它不是.数学家们打开了通向一个广阔 领域的大门，但是他们自己却从未进入该领域.从他们的天性来看他们更感兴 趣的是打开这扇门的方式，而不是门后面的花园. ” 无论这对数学家是否公平， 有一点是真实的一一他们指出了在所有的常规的多边形中，仅仅三角形，正方 形，和正六边形能被用于镶嵌.但许多其他不规则多边形平铺后也能形成镶嵌， 例如有许多镶嵌就使用了不规则的五角星形状.埃舍尔在他的镶嵌图形中利用 了这些基本的图案，他用几何学中的反射、平滑反射、变换和旋转来获得更多 的变化图案.他也精心地使这些基本图案扭曲变形为动物、 鸟和其他的形状.这 些改变不得不通过三次、四次甚至六次的对称以便得到镶嵌图形.这样做的效 果既是惊人的，又是美丽的.鸟分割的平面（21k）、蜥蜴（65k）、循环（40k）、逐步展开1 （59k）.在“蜥蜴”里，镶嵌而成的蜥蜴嬉笑地逃离二维平面的束缚到桌面放风， 然后又重新陷入原来的图案.埃舍尔在许多六边形的镶嵌图形