广东省高三理科数学专题突破训练：立体几何

1、广东省2015届高三专题突破训练：立体几何1、（2014广东高考）如图4，四边形为正方形，平面，于点，交于点.（1）证明： （2）求二面角的余弦值2、（2013广东高考）如图1,在等腰直角三角形中,分别是上的点,为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中.() 证明:平面； () 求二面角的平面角的余弦值.cobdeacdobe图1图23、（2012广东高考）如图5所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点在线段上，平面.（）证明：平面；（）若，求二面角的正切值.4、（2011广东高考）如图5，在锥体中，是边长为1的菱形，且，分别是的中点（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值图55、（20

2、14广州一模）如图5，在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点在棱上，且满足（1）求证：；（2）在棱上确定一点， 使，四点共面，并求此时的长；（3）求平面与平面所成二面角的余弦值6、（珠海2015届高三9月摸底）如图，长方体中，分别为中点，（1）求证：（2）求二面角的正切值第18题图7、（广州海珠区2015届高三8月）如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，为棱的中点（1）求证：/ 平面；（2）求证：平面平面； （3）求二面角的余弦值8、（2014届肇庆二模）如图5，在四棱锥中，底面abcd是边长为2的菱形，且dab=60. 侧面pad为正三角形，其所在的平面垂直于底面abcd，g为ad边的中点.（1

3、）求证：bg平面pad；（2）求平面pbg与平面pcd所成二面角的平面角的余弦值；（3）若e为bc边的中点，能否在棱pc上找到一点f，使平面def平面abcd，并证明你的结论.9（2014届深圳二模）如图5,已知abc为直角三角形,acb为直角.以ac为直径作半圆o,使半圆o所在平面平面abc,p为半圆周异于a,c的任意一点.(1) 证明:ap平面pbc(2) 若pa=1,ac=bc=2,半圆o的弦pqac,求平面pab与平面qcb所成锐二面角的余弦值.10图,三棱柱中,平面平面,cc1b1aa1bd图5与相交于点.() 求证:平面；() 求二面角的余弦值.11(2014广州二模)图，在五面体

4、中，四边形是边长为的正方形，平面， ，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正切值. 12、（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）如图,在直角梯形中,已知,.将沿对角线折起(图),记折起后点的位置为且使平面平面.(1)求三棱锥的体积;(2)求平面与平面所成二面角的平面角的大小.13、（茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理）如图,在边长为4的菱形abcd中,点e,f分别在边cd,cb上,点e与点c,点d不重合, ,沿ef将折起到的位置,使得平面 平面 (1)求证:平面(2)设aobd=h,当o为ch中点时,若点q满足,求直线oq与平面pbd所成角的正弦值.14

5、、（揭阳市2013高三第二次高考模拟考试理科数学）在图(4)所示的长方形abcd中, ad=2ab=2,e、f分别为ad、bc的中点, m 、n两点分别在af和ce上运动,且am=en=把长方形abcd沿ef折成大小为的二面角a-ef-c,如图(5)所示,其中(1)当时,求三棱柱bcf-ade的体积;(2)求证:不论怎么变化,直线mn总与平面bcf平行; (3)当且时,求异面直线mn与ac所成角余弦值.15、（珠海市2013届高三上学期期末）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形 （1）求证：； （2）求证：； 884主视图侧视图俯视图

6、448 （3）设为中点，在边上找一点，使平面,并求的值.16、(2013广州一模)如图4，在三棱柱中，是边长为的等边三角形，平面，分别是，的中点. （1）求证：平面；（2）若为上的动点，当与平面所成最大角的正切值为时，求平面 与平面所成二面角（锐角）的余弦值.17（2015广州海珠区等四区调研二）如图所示，已知垂直以为直径的圆所在平面，点在线段上，点为圆上一点，且,， （1）求证：；（2）求二面角的余弦值18、（2015届执信中学高三上期中）在三棱柱abca1b1c1中，已知，在底面的射影是线段的中点（）证明：在侧棱上存在一点，使得平面，并求出的长；（ii）求二面角的余弦值19、（2015江门

7、高三调研）如图3，在四棱锥p-abcd中，底面abcd是正方形，侧棱pd底面abcd，pd=dce是pc的中点，作efpb交pb于点f求证：pa/平面edb；求证：pf=pb；求二面角c-pb-d的大小20、（2013广州二模）等边三角形abc的边长为3，点d、e分别是边ab、ac上的点，且满足（如图1）将ade沿de折起到a1de的位置，使二面角a1deb成直二面角，连结a1b、a1c （如图2）（1）求证：a1d丄平面bced；（2）在线段bc上是否存在点p，使直线pa1与平面a1bd所成的角为600？若存在，求出pb的长；若不存在，请说明理由答案：1、（1）证明： 平面，平面 四边形为正

8、方形 平面平面 即 且平面（2）方法1（传统法）过作交于，过作交于，连接就是所求二面角的平面角（过程略）方法2（向量法）由（1）可得，建立空间直角坐标系，如图所示.设在中，则；由（1）知，所以，因为，所以，所以，所以，所以，则设平面的法向量为，则，得，取，则，所以由（1）可知，平面的法向量为，所以设二面角为，则 2、() 在图1中,易得cdobeh连结,在中,由余弦定理可得由翻折不变性可知,所以,所以,理可证, 又,所以平面.() 传统法:过作交的延长线于,连结,因为平面,所以,所以为二面角的平面角.结合图1可知,为中点,故,从而cdoxe向量法图yzb所以,所以二面角的平面角的余弦值为.向量

9、法:以点为原点,建立空间直角坐标系如图所示,则,所以,设为平面的法向量,则,即,解得,令,得由() 知,为平面的一个法向量,所以,即二面角的平面角的余弦值为.3、解析：（）因为平面，平面，所以.又因为平面，平面，所以.而，平面，平面，所以平面.（）由（）可知平面，而平面，所以，而为矩形，所以为正方形，于是.法1：以点为原点，、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.则、，于是，.设平面的一个法向量为，则，从而，令，得.而平面的一个法向量为.所以二面角的余弦值为，于是二面角的正切值为3.法2：设与交于点，连接.因为平面，平面，平面，所以，于是就是二面角的平面角.又因为平面，平面，所以是直角三角形.由可

10、得，而，所以，而，所以，于是，而，于是二面角的正切值为.4、（1）证明：取的中点，连接，在边长为1的菱形中，是等边三角形，平面分别是的中点，平面（2）解：由（1）知，是二面角的平面角易求得二面角的余弦值为5、推理论证法：（1）证明：连结，因为四边形是正方形，所以 在正方体中，平面，平面，所以 因为，平面，所以平面 因为平面，所以（2）解：取的中点，连结，则 在平面中，过点作，则连结，则，四点共面 因为，所以故当时，四点共面 （3）延长，设，连结， 则是平面与平面的交线过点作，垂足为，连结，因为，所以平面因为平面，所以所以为平面与平面所成二面角的平面角 因为，即，所以 在中，所以 即因为，所以所

11、以所以故平面与平面所成二面角的余弦值为空间向量法：（1）证明：以点为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图的空间直角坐标系，则，所以， 因为，所以所以 （2）解：设，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以（所以存在实数，使得因为，所以所以，所以故当时，四点共面（3）解：由（1）知，设是平面的法向量，则即取，则，所以是平面的一个法向量而是平面的一个法向量，设平面与平面所成的二面角为，则故平面与平面所成二面角的余弦值为6、解：(1)证明：在长方体中，分别为中点，且四边形是平行四边形 3分， 5分 (2)长方体中，分别为中点， 7分过做于，又 就是二面角的平面角 9分，在中，11分直角三角形

12、中 13分二面角的正切值为 14分78、（1）证明：连结bd. 因为abcd为棱形，且dab=60，所以dabd为正三角形. （1分）又g为ad的中点，所以bgad. （2分）又平面pad平面abcd，平面pad平面abcd=ad， bg平面pad. （4分）解：（2）pad为正三角形，g为ad的中点，pgad.pg平面pad，由（1）可得：pggb. 又由（1）知bgad.pg、bg、ad两两垂直. （5分）故以g为原点，建立如图所示空间直角坐标系， （6分）所以， ， ， （7分）设平面pcd的法向量为， 即 令，则 （8分）又平面pbg的法向量可为， （9分）设平面pbg与平面pcd所成

13、二面角的平面角为，则即平面pbg与平面pcd所成二面角的平面角的余弦值为. （10分）（3）当f为pc的中点时，平面def平面abcd. （11分）取pc的中点f，连结de，ef，df，cg，且de与cg相交于h.因为e、g分别为bc、ad的中点，所以四边形cdge为平行四边形，故h为cg的中点. 又f为cp的中点，所以fh/pg. （12分）由（2），得pg平面abcd，所以fh平面abcd. （13分）又fh平面def，所以平面def平面abcd. （14分）9、10. 18.【解析】()依题意,侧面是菱形,是的中点,因为,所以,又平面平面,且平面,平面平面cc1b1aa1bdh第18题传

14、统法图所以平面.5分()传统法由()知平面,面,所以, 又,所以平面,过作,垂足为,连结,则,所以为二面角的平面角. 9分在中,所以,12分所以,即二面角的余弦值是. 14分 向量法以为原点,建立空间直角坐标系如图所示, 6分由已知可得 c1b1aca1bdxzy第18题向量法图故, 则,8分设平面的一个法向量是,则,即,解得令,得11分显然是平面的一个法向量, 12分所以,即二面角的余弦值是.14分11. （1）证明：取的中点，连接，则， 平面，平面，平面平面， ，即. 1分 四边形是平行四边形. 2分 ，. 在rt中，又，得. . 3分 在中， ，. 4分，即.四边形是正方形，. 5分，平

15、面，平面，平面. 6分（2）证法1：连接，与相交于点，则点是的中点， 取的中点，连接， 则，. 由（1）知，且， ，且. 四边形是平行四边形. ，且 .7分 由（1）知平面，又平面， . 8分 ，平面，平面， 平面. 9分 平面. 平面， . 10分 ，平面，平面， 平面. 11分 是直线与平面所成的角. 12分 在rt中，. 13分 直线与平面所成角的正切值为. 14分证法2：连接，与相交于点，则点是的中点， 取的中点，连接， 则，. 由（1）知，且， ，且. 四边形是平行四边形. ，且. 7分 由（1）知平面，又平面， . ，平面，平面， 平面. 平面. 8分 以为坐标原点，所在直线为轴，

16、所在直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系，则，. ，. 9分 设平面的法向量为，由， 得，得. 令，则平面的一个法向量为. 10分 设直线与平面所成角为， 则. 11分 ，. 13分 直线与平面所成角的正切值为. 14分12、解:(1)平面平面, 平面,平面平面, 平面, 即是三棱锥的高, 又, , , , 三棱锥的体积. (2)方法一: 平面,平面, 又,平面, 平面, , ,即 由已知可知, ,平面 平面,平面平面 所以平面与平面所成二面角的平面角的大小为. 方法二: 过e作直线,交bc于g,则, 如图建立空间直角坐标系,则, , 设平面的法向量为, 则,即化简得 令,得,所以是平

17、面的一个法向量. 同理可得平面pcd的一个法向量为 设向量和所成角为,则 平面与平面所成二面角的平面角的大小为. 13、 14、解:(1)依题意得平面,= 由得, (2)证法一:过点m作交bf于, 过点n作交bf于,连结, 又 四边形为平行四边形, 【法二:过点m作交ef于g,连结ng,则 , 同理可证得,又, 平面mng/平面bcf mn平面mng, 】 (3)法一:取cf的中点为q,连结mq、nq,则mq/ac, 或其补角为异面直线mn与ac所成的角, 且, 即mn与ac所成角的余弦值为 法二:且 分别以fe、fb、fc所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系 则 , 所以与ac所成

18、角的余弦值为 cbac1b1nmp15、解：（1）证明：该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，两两互相垂直。以分别为轴建立空间直角坐标系，则， ， 2分 ， 4分（2），又 8分（3） 设为上一点，为的中点，设平面的一个法向量为，则有，则有，得，10分/平面，于是解得： 12分平面，/平面，此时， 14分16、【解析】（1）证明：延长交的延长线于点，连接. ，且， 为的中点. 为的中点，. 平面，平面，平面。 （2）平面，平面， 是边长为的等边三角形，是的中点， ，。 平面，平面，平面. 为与平面所成的角. ，在rt中，当最短时，的值最大，则最大. 当时，最大. 此

19、时，. ，平面，平面. 平面，平面，. 为平面 与平面所成二面角（锐角）. 在rt中，。平面 与平面所成二面角（锐角）的余弦值为。17解：（1）由, ，知，点为的中点1分连接，为等边三角形 2分又点为的中点，3分平面，平面， 4分又，平面，平面，平面 5分又平面， 6分（2）解法1:过点作，垂足为，连接由（1）知，平面，又平面，7分又，平面 又平面， 8分为二面角的平面角 9分因为， ，则12分在中，由（1）可知， 13分，即二面角的余弦值为 14分解法2: 由（1）可知，三线两两垂直，以原点，以分别为轴建立空间直角坐标系. 7分则, 8分, 9分 设平面与平面的法向量分别为,显然平面法向量为

20、，10分由，,，解得 11分 12分，13分二面角的余弦值为14分18、解析：()证明:连接ao,再中,作于点e,因为,所以,因为,所以,所以,所以，又得.()如图,分别以oa,ob, 所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则,由,得点e的坐标是,由()知平面的一个法向量为设平面的法向量是,由得可取,所以.19、连接ac，交bd于o，连接oe，则o是ac的中点1分oe是pac的中位线，oe/pa2分oe平面edb，pa平面edb，pa/平面edb4分pd底面abcd，bc平面abcd，pdbc5分abcd是正方形，bccd，pdcd=d，bc平面pcd6分bcpc，efpb，bpc是公共角，pefpbc7分设pd=dc，则pc，pb，=pb8分由知bc平面pcd，bcde9分pd=dc，e是pc的中点，pcde，pcbc=c，de平面pbc10分depb，efpb，deef=e，pb平面def11分pbdf，dfe是二面角c-pb-d的平面角12分在dfe中，de平面pbc，deef，de13分，tandfe，dfe14分（方法二）以d为原点，、分别为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐