高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳

1、【基本概念与公式】平面向量【任何时候写向量时都要带箭头】1.向量：既有大小又有方向的量。记作:uuu rab 或 a。2.向量的模：向量的大小(或长度)uuu r，记作:|ab向|a|。3.单位向量：长度为1的向量。若e是单位向量，则|e| 1。104.零向量：长度为0的向量。记作:r r0。10方向是任意的，且与任意向量平行】5 .平行向量6 .相等向量(共线向量)：方向相同或相反的向量。 :长度和方向都相同的向量。7.相反向量：长度相等,方向相反的向量。uuuabuuuba。8 .三角形法则:uur uuur uur uurab bc ac ; abuuur uuur umr bc cd

2、deuuiraeuuuabuuuracuuucb(指向被减数)9 .平行四边形法则：r r以a,b为临边的平行四边形的两条对角线分别为a与b同向；当r r0时，a与b反向。r r r r10 .共线定理：a b a/b。当 0时,11 .基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。r12 .向量的模：若a(x, y),则 | a| x22 ar 2 r|a| ， |ar -rr 2b| .(a b)213 .数量积与夹角公式:r|a|r| b | coscosr ra b-rr-|a| |b|14 .平行与垂直：a/bxy2r x2y1; ar ra b 0x1x2 y1y 2 0题型1.基本概念

3、判断正误：(1)共线向量就是在同一条直线上的向量。(2)若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。(3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。(4)四边形uurabc虚平行四边形的条件是 abuuurcd 。uur uuur(5)若ab cd ,则a b、c、d四点构成平行四边形。(6)若a与b共线,r rr rb与c共线，则a与c共线。r r(8)若 ma na ,则 m n。r r(9)若a与b不共线，则：与b都不是零向量。r r r r r rrr r(10)若 ab | a | |b |,贝u a / /b。( 11)若 | ab| | a题型2.向量的加减运算r1 .设a表示“向东走

4、8km”rr rb表示“向北走6knf ,则| a b |uuu uuiruuur uur uuuu2 .化简(ab mb) (bo bc) omuuu uuu uuu3 .已知| oa | 5 , |ob | 3,则| ab |的最大值和最小值分别为 uuur uuur uuruur r uuur r uuuuuur4 .已知ac为ab与ad的和向量，且 ac a, bd b ,则ab , aduuur5 .已知点c在线段ab上，且ac题型3.向量的数乘运算3uuuruuur3 ab,则 acuuu uunuuubc , ab bc orr r rr r1 .计算：2(2a5b3c)3( 2

5、a3b2c) rr, r2 .已知 a (1, 4),b(3,8),则 3a题型4.根据图形由已知向量求未知向量1.已知在 abc中，d是bc的中点，请用向量uur umrab, acuuur表示ad 。r r r r(7)若 ma mb ,则 a b。r uuin uuurb ,求 a*口 ad ouuur r uuin2.在平行四边形 abcd中，已知 ac a, bd题型5.向量的坐标运算 uur1 .已知ab (4,5) , a(2,3),则点b的坐标是。 uuur2 .已知pq ( 3, 5) , p(3,7),则点q的坐标是。 rrr3 .若物体受三个力f1(1,2) , f2(

6、2,3), f3( 1, 4),则合力的坐标为4.已知 a (3,4)(5,2),求 a b, a b, 3a 2b。r5 .已知 a(1,2), b(3,2)，向量 a (x2,xuur3y 2)与ab相等，求x,y的值。uuruuir6 .已知 ab (2,3), bc (m,n),uuurcduur(1,4),则 da7.已知o是坐标原点， a(2, 1),b(uuu uur4,8),且 ab 3bcr uuur0 ,求oc的坐标。题型6.判断两个向量能否作为一组基底ur ur1 .已知e,是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底:uriu iruua. e1色和已2b.1

7、rhm3ei 2e2 和 4e2ur6ec.ir uu ure1 3e2 和 e2ur3。uu uuurd. e2和 e2e2.已知(3,4),能与a构成基底的是a 3 404 3a. (-, ) b. (,-)5 55 5c.(45)d.(1,43)题型7.结合三角函数求向量坐标uur1.已知o是坐标原点，点 a在第二象限，|oa | 2xoa 150,uuu求oa的坐标。uuu -uuu2 .已知o是原点，点 a在第一象限，|oa| 4v3 , xoa 60,求oa的坐标。题型8.求数量积rrrr1.已知1a1 3,2| 4,且a与b的夹角为60,求(1)a b,a (a b),r1 r

8、rr,r、，rr、(3) (a-b) b, (4)(2ab) (a3b)。2rr, r r r r r r r2.已知 a (2, 6),b ( 8,10),求(1) |a|,|b|, (2) a b , (3) a (2a b),r r r r(4) (2a b) (a 3b)。题型9.求向量的夹角12,求a与b的夹角。r r r r 已知 |a | 8,|b | 3, a brr2 .已知 a (j3,1),b( 2j3,2),求 a与 b 的夹角。3 .已知 a(1,0), b(0,1), c(2,5),求 cos bac。题型10.求向量的模r_rr . rrr_r_r1 .已知 |a

9、| 3,|b|4,且 a 与 b的夹角为 60,求(1) |ab|, 12a3b |。rr, r rr rr 1 r2 .已知 a (2, 6),b ( 8,10),求(1)山|，3, (5) |a b|,(6)1ab|。2r rr rr r3 .已知 |a| 1,|b| 2, |3a 2b | 3,求 13a b|。rrr a题型11.求单位向量【与a平行的单位向量：e-a-】|a|,r . r 1 1.与a （12,5）平行的单位向量是2. 与m （ 1,1）平行的单位向量是。2题型12.向量的平行与垂直, r , 一、 1.已知 a (1,2),向量ka b与arr rb （ 3,2）,

10、 （1） k为何值时，向量ka b与a 3b垂直？ （2） k为何值时r3b平行？.r 一 . 一， 一2.已知a是非零向量,题型13.三点共线问题1.已知 a(0, 2),b(2,2), c(3,4),求证:a,b,c三点共线。uuu . 2 r r uur2 .设 ab (a 5b), bc 2r r uuirr r2a 8b,cd 3(a b),求证： a b、d 三点共线。uur r r uur3 .已知 ab a 2b, bcr r uurrr5a 6b,cd 7a 2b,则一定共线的三点是4 .已知 a(1, 3), b(8, 1),若点 c(2a 1,a2)在直线ab上，求a的值

11、。uuu uuu uult5 .已知四个点的坐标 o(0,0) , a(3,4) , b( 1,2) , c(1,1),是否存在常数t ,使oa tob oc成立？题型14.判断多边形的形状uuu ruuurruuuruuir1 .若ab 3e, cd 5e,且| ad | | bc |,则四边形的形状是 2 .已知 a(1,0), b(4,3) , c(2,4), d(0,2),证明四边形 abcd是梯形。3 .已知a( 2,1) , b(6, 3) , c(0,5),求证：abc是直角三角形。4 .在平面直角坐标系内,uur uuu uuuroa ( 1,8),ob ( 4,1),oc (

12、1,3),求证：abc是等腰直角三角形。r.rrr 一 fr ,、r rra ba c ,且 bc ,求证：a(bc)。题型15.平面向量的综合应用rr r1 .已知a (1,0), b (2,1),当k为何值时，向量ka b与a 3b平行?r rr2 .已知a (j3, j5),且a b , | b | 2 ,求b的坐标。r r rr rr3 .已知a与b同向，b (1,2),则a b 10,求a的坐标。rrrrrrrr5.已知 a (m,3) , b4 .已知a(1,2), b(3,1), c(5,4),则 c a bo(2, 1) , (1)若a与b的夹角为钝角，求 m的范围;rr6.已知 a (6,2) , b ( 3,m),(2)若a与b的夹角为锐角，求m的范围。当m为