2.1空间直线.ppt课件

1、第六节 一、空间直线方程一、空间直线方程 二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 空间直线及其方程 第七章 一、空间直线方程一、空间直线方程 x y z o 0 1111 DzCyBxA 0 2222 DzCyBxA 1 2 L 因此其一般式方程 1. 1. 一般式方程一般式方程 直线可视为两平面交线， (不唯一) 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 ),( 0000 zyxM 2. 对称式方程对称式方程 故有 说明说明: 某些分母为零时某些分母为零时, 其分子也理解为零其分子也理解为零. m xx 0 0 0 yy xx 设直线上的动点为 那么 ),(z

2、yxM n yy 0 p zz 0 此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程) 直线方程为 s 已知直线上一点),( 0000 zyxM ),(zyxM 例如, 当,0, 0时pnm 和它的方向向量 , ),(pnms sMM/ 0 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 3. 参数式方程参数式方程 设 得参数式方程 : t p zz n yy m xx 000 tmxx 0 tnyy 0 tpzz 0 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例1.1.用对称式及参数式表示直线用对称式及参数式表示直线 解解: :先在直线上找一点先在直线上找一点. . 0432 01 zyx zyx 63 2 zy

3、 zy 再求直线的方向向量 2,0zy 令 x = 1, 解方程组 ,得 交已知直线的两平面的法向量为 是直线上一点 .)2,0, 1(故 .s , ) 1, 1, 1 ( 1 n)3, 1,2( 2 n 21 ns,ns 21 nns 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 故所给直线的对称式方程为 参数式方程为 tz ty tx 32 41 t 4 1x 1 y 3 2 z 解题思路解题思路: :先找直线上一点; 再找直线的方向向量. )3, 1,4( 21 nns 312 111 kji 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 2 L 1 L 二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系 1. 两直

4、线的夹角两直线的夹角 则两直线夹角 满 足 21 , LL 设直线 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角) 的方向向量分别为 212121 ppnnmm 2 1 2 1 2 1 pnm 2 2 2 2 2 2 pnm ),(, ),( 22221111 pnmspnms 21 21 cos ss ss 1 s 2 s 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 特别有特别有: 21 ) 1(LL 21 /)2(LL 0 212121 ppnnmm 2 1 2 1 2 1 p p n n m m 21 ss 21 /ss 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例2. 2. 求以下两直线的夹角求以

5、下两直线的夹角 解解: : 直线直线 直线 二直线夹角 的余弦为 (参考P332 例2 ) 1 3 41 1 : 1 zyx L 02 02 : 2 zx yx L cos 2 2 从而 4 的方向向量为 1 L 的方向向量为 2 L) 1,2,2( ) 1(1)2()4(21 222 1)4(1 222 ) 1()2(2 ) 1,4, 1 ( 1 s 201 011 2 kji s 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 当直线与平面垂直时,规定其夹角 线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角; L 2. 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时, 设直线 L 的方向向量为 平面 的法向

6、量为 则直线与平面夹角 满足 . 2 222222 CBApnm pCnBmA 直线和它在平面上的投影直 ),(pnms ),(CBAn ),cos(sinns ns ns s n 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 特别有特别有: : L) 1( /)2(L0pCnBmA p C n B m A ns/ ns 解解: : 取已知平面的法向量取已知平面的法向量 421 zyx 则直线的对称式方程为 0432zyx 直的直线方程. 为所求直线的方向向量. 132 垂 ) 1,3,2(n n 例例3. 求过点求过点(1,2 , 4) 且与平面且与平面 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 1. 空间

7、直线方程空间直线方程 一般式 对称式 参数式 0 0 2222 1111 DzCyBxA DzCyBxA tpzz tnyy tmxx 0 0 0 p zz n yy m xx 000 )0( 222 pnm 内容小结内容小结 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 , 1 1 1 1 1 1 1 p zz n yy m xx L ： 直线 0 212121 ppnnmm , 2 2 2 2 2 2 2 p zz n yy m xx L ： 2 1 2 1 2 1 p p n n m m 2. 线与线的关系线与线的关系 直线 夹角公式: ),( 1111 pnms ),( 2222 pnms 0

8、21 ss 21 LL 21 / LL0 21 ss 21 21 cos ss ss 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 , 0DzCyBxA C p B n A m 平面 : L L / 夹角公式： 0CpBnAm sin , p zz n yy m xx 3. 面与线间的关系面与线间的关系 直线 L : ),(CBAn ),(pnms 0 ns 0ns ns ns L 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 作业作业 P335 3，4，5，7，9 P335 题2, 10 习题课 目录 上页 下页 返回 完毕 思考与练习思考与练习 )1 ,2, 1(A , 1 1 23 1 : 1 zyx L

9、i L设直线 解：解： , 2 上在因原点LO 12 : 2 z y x L相交,求此直线方程 . 的方向向量为 过 A 点及 的平 2 L 面的法向量为则所求直线的方向向量 方法方法1 利用叉积利用叉积. ),2, 1( isi , n, 1 nss 所以 OAsn 2 121 112 kji kji333 一直线过点 且垂直于直线 又和直线 备用题备用题 n O A 2 L 2 s 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 设所求直线与的交点为 5 1 2 2 3 1 zyx 12 0 0 0 z y x 0000 ,2yzyx 待求直线的方向向量 方法方法2 利用所求直线与利用所求直线与L2 的交点的交点 . 即 故所求直线方程为 2 L),( 000 zyxB 则有 2 L ) 1 , 2 , 1 (A nss 1 333 123 kji )523(3kji ),( 000 zyxB 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 0) 1()2(2) 1(3 000 zyx 7 8 , 7 16 , 7 8 000 zxy 5 1 2 2 3