反对称矩阵的性质及应用毕业论文

1、本 科 毕 业 论 文论文题目： 反对称矩阵的性质及应用 学生姓名： 200800820244 学号： * 专业： 信息与计算科学 指导教师： 肖新玲 学 院： 数学科学学院 2012 年 5 月 20 日 毕业论文（设计）内容介绍论文（设计）题 目 反对称矩阵的性质及应用选题时间2011.11完成时间2012.5论文（设计）字数6530关 键 词 反对称矩阵；性质；秩；特征值论文（设计）题目的来源、理论和实践意义：反对称矩阵是矩阵论中经常用到的特殊矩阵，在高等代数和线性代数中占有重要的地位。学习反对称矩阵有助于更全面地掌握矩阵的相关知识，有助于对高等代数、线性代数和其它后继课程的学习研究。论

2、文（设计）的主要内容及创新点：本文主要描述反对称矩阵的定义，研究反对称矩阵的性质及应用.包括反对称矩阵的基本性质，反对称矩阵秩的性质，特征值及特征向量的性质以及反对称矩阵在求矩阵特征值及秩，线性变换和欧式空间问题中的应用等。本文中例子的分析及归纳出的注意事项和小结即是本文的创新点附：论文（设计）本人签名： 年 月 日 目 录中文摘要：1英文摘要11.引言22反对称矩阵的基本性质22.1反对称矩阵的定义22.2反对称矩阵的基本性质及证明32.3基本性质的应用举例63.反对称矩阵秩的性质83.1反对称矩阵的秩的性质及证明83.2秩的性质的应用举例94.反对称矩阵特征值的性质104.1 反对称矩阵特

3、征值的性质及证明104.2特征值性质的应用举例105.反对称矩阵在欧式空间线性变换上的应用举例116.总结11参考文献12 反对称矩阵的性质及应用摘要：矩阵是高等数学中一个极其重要的概念并且有广泛的应用，如线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.这就使矩阵成为线性代数的一个主要研究对象.作为矩阵的一种特殊类型，反对称矩阵有很多特殊性质，是研究线性空间和线性变换问题的有利工具。本文主要描述反对称矩阵的定义，研究反对称矩阵的性质及应用.包括反对称矩阵的基本性质，反对称矩阵秩的性质，特征值的性质以及反对称矩阵在求矩阵特征值及秩，线性

4、变换和欧式空间问题中的应用等.关键词：反对称矩阵；性质；秩；特征值 abstract: matrix is a very important concepts in higher mathematics and its application is extensive, such as some important properties of linear equations is reflected in the nature of its coefficient matrix and augmented matrix, and the process of solution of equa

5、tions is to the process of transform these matrices,which makes the matrix become a main object of study of linear algebra. as a special type of matrix, antisymmetric matrix has a lot of the special nature which makes it become a powerful tool in study problem of the linear space and linear transfor

6、mation. the article mainly elaborates the definitions of antisymmetric matrix and discusses properties and applications of it, including the basic properties of antisymmetric matrices, the properties of antisymmetric matrix rank, the properties of characteristic value,and the applications of antisym

7、metric matrix in the solution of matrix eigenvalue and rank of matrix, linear transformations and euclidean space problems etc.keywords: antisymmetric matrix; nature; rank; characteristic value1.引言 反对称矩阵是矩阵论中经常用到的特殊矩阵，在高等代数和线性代数中占有重要的地位。学习反对称矩阵有助于更全面地掌握矩阵的相关知识，有助于对高等代数、线性代数和其它后继课程的学习研究，也为读者系统地学习矩阵论提

8、供参考。反对称矩阵在高等代数和线性代数中占有很重要的地位，因此，很多学者都对反对称矩阵做了比较深入的研究。如张海山在反对称矩阵的若干性质一文中，详细地介绍了反对称矩阵的基本性质、秩的性质和特征值与特征向量的性质；谢良金在反对称矩阵行列式的性质一文中对反对称矩阵的行列式性质提出了自己的独到见解；贾周与上官灵喜合写的关于反对称矩阵，讨论了反对称矩阵的行列式、特征值、合同标准型一级秩等方面的性质和一些重要结果；何承源关注对反对称矩阵，发表了反对称矩阵的性质和证明。虽然前人对这方面的内容都做了些研究，时至今日，进一步开展这方面的研究将大有可为。2反对称矩阵的基本性质 在我们的学习中发现，对称矩阵中的特

9、殊类型反对称矩阵经常出现，以下首先介绍其基本概念。2.1反对称矩阵的定义定义 设a,若at=-a,则称a为反对称矩阵（也称斜对称矩阵）。当a为实对称矩阵时，反对称矩阵就称为实反对称矩阵。显然，反对称矩阵a=（）的元素有如下特征:命题1.1 设n阶矩阵a=（），如果，则a是一个反对称矩阵。 下面就反对称矩阵的一些基本性质展开讨论：2.2反对称矩阵的基本性质及证明性质1： 任一nn矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和。证明： 设a为nn矩阵，a=（a+at）+ (a-at),由于（a+at）t=（at+(at)t）=at+a,则a+at是对称矩阵，即（a+at）是对称矩阵，（a-at）t=（a

10、t-a）=- (a-at),则（a-at）是反对称矩阵。性质2： 若a是反对称矩阵，则其主对角线上元素全为零。证明： 由定义1可知成立。性质3： 设a,b为n阶反对称矩阵，k为常数，为正整数，则：（1） ，ka，ab-ba为反对称矩阵。（2） ab为对称矩阵的充要条件为ab=ba。（3） 当为奇数时，为反对称矩阵；当为偶数时，为对称矩阵。证明： 利用对称矩阵与反对称矩阵的定义直接验证即可。性质4： 设a是任一n阶矩阵，则a-at必为反对称矩阵。证明： 因为（a-at）t=at-a=- (a-at)，所以a-at为反对称矩阵。性质5： 设a是奇数阶的反对称矩阵，则|a|=0.证明: 因为|a|=

11、|at|=|-a|=-|a|， 所以|a|=0.性质6: 设a 是n阶反对称矩阵，b是n阶对称矩阵，则ab+ba是n阶反对称矩阵。证明： 由定义直接验证即可。性质7： 设a是n阶实矩阵，则a是反对称矩阵的充要条件是对任意n维列向量x，均有xtax=0.证明： 充分性:令，取x=+，其中表示第i个分量是1，其余分量为0的n元列向量。则xtax=(+)a (+)=a+ a + a+a = a + a = + =0.所以， =- ，i，j=1，2，,n.从而a为反对称矩阵。必要性:因为a是反对称矩阵，所以xtax=xt（-a）x=-（xtax）t=-xtax，从而xtax=0。性质8： 设a为n阶反

12、对称矩阵，a*为其伴随矩阵，则n为偶数时，a*为反对称矩阵；n为奇数时，a*为对称矩阵。证明： 由伴随矩阵定义可知（a*）t=(at)*,且对任意数k，有（ka）*=kn-1a*。又a为反对称矩阵，所以（a*）t=(at)*=(-a)*=(-1)n-1a*,从而，当n为奇数时，（a*）t=a*，即a为对称矩阵。从而，当a为偶数时，（a*）t=-a*，即a为反对称矩阵。性质9： 若a为反对称矩阵，则a与如下形式的矩阵合同： (*)证明: 因为a是一个反对称矩阵，可设 现在对n用数学归纳法来证明。（1） 当n=1时，结论显然成立。当n=2时,若，结论显然也成立。 若取，则，所以a与合同。（2） 假

13、定对于阶数小于n时的反对称矩阵，结论成立。 现在证明对n（n3）的反对称矩阵a结论也成立。10 若a的第一行全为零，即（0，, ）=（0,0，,0）时，则，此处b是n-1阶反对称矩阵。由归纳假定可知，存在一n-1阶可逆矩阵q使： 令，则 再令，此处是n-1阶单位矩阵，则 取，则 具有（*）的形式。20 若矩阵a的第一行不全为零，不妨设.这时我们可对a施行如下的初等变换：以乘以a的第一行，再以乘以a的第一列，把和-化为1和-1，然后以-（j=3，4，,n）乘以第二行分别加到第3,4，,n行，又以（j=3，4，,n）乘第二列分别加到第3,4，,n列，得到与a合同的矩阵 此处b是n-2阶的反对称矩阵

14、，即存在着可逆矩阵q1使 因b是n-2阶的反对称矩阵，按归纳假定，存在着n-2阶可逆矩阵s1，使 令此处是2阶单位矩阵，则令,于是具有矩阵（*）的形式。2.3基本性质的应用举例根据上面讨论，下面举例说明：例1. 设a为n阶可逆反对称矩阵，则n为偶数，且a-1也是反对称矩阵。证明： 由性质5可知，n为偶数。因为a-1=a*/|a|，由性质8和性质4可知a-1也是反对称矩阵。注意：一个n阶反对称矩阵可逆的必要条件是n为偶数。n为偶数是n阶反对称矩阵可逆的必要条件而非充分条件，例如零矩阵是反对称矩阵，其行列式为0，因而不可逆，特别地，当n为偶数时，是不可逆的。例2. 设a是n阶可逆的反对称矩阵，是n

15、维列向量，则是可逆矩阵的充要条件是k0.证明： 因a是n阶反对称矩阵，由题1知a-1也是反对称矩阵。根据性质7有=0.又a是可逆的，故=，所以=,因此可逆=0 k0.例3. 设a且a为反对称矩阵，求证i+a可逆，且u=(a+i)-1(a-i)为正交阵。证法1： 若|i+a|=0，则齐次线性方程组（i+a）x=0必有非零解x，即（i+a）x=0。于是，xt(i+a)x=0 (1).由于a为实反对称矩阵，故xt ax=0.所以由（1）可知xt x=0 矛盾。故i+a必可逆。uut=（a+i）-1(a-i)(a-i) t (a+i) -1 t =（a+i）-1(a-i)(-a-i)(a+i) -1

16、t =（a+i）-1(i-a)(i+a)(a+i) -1 t =（a+i）-1(i+a)(i-a)(at+i)-1 =(i-a)(i-a)-1=i.故u为正交阵。证法2： 因a是实反对称矩阵，故a的特征根为0或纯虚数，从而-1不是a的特征根，即|-i-a|0，从而，|i+a|0,即i+a可逆。 关于u为正交阵的证明同证法1.小结：（1）求一个a矩阵是否可逆有两种方法，一种是ax=0只有零解，另一种是|a| 0。（2）在求反对称矩阵的相关题目时，性质7，即a为实反对称矩阵，故xt ax=0经常被用到.3.反对称矩阵秩的性质3.1反对称矩阵的秩的性质及证明引理12： 设a为n阶矩阵（n2），那么秩

17、（a*）=性质10： 设a是n阶反对称矩阵，且a中有一个r阶主子式0，且含的r+2阶主子式均为零，则r（a）=r.证明： 因反对称矩阵的任一主子阵仍为反对称矩阵，故当a有一个r阶主子式0时，r必为偶数，从而a的任r+1阶主子式全为0.不妨设位于a的左上角（否则可同时调换行与相应的列，使之位于左上角，这不影响行列式的值为0与否），记加a中第i行与第j列元素所成的加边行列式为=.考虑r+2阶主子式c=.|c|是含的一个r+2阶主子式，据已知，|c|=0，进而知r（c*）1，故c*的2阶主子式=0-=0，但与均是a的含的r+1阶主子式，都为0；另一方面，=-；故|2=0=0.这样，a的含的任一加边子

18、式全为0，所以r（a）=r.性质11: 设a是反对称矩阵，若a的所有r+1阶与r+2阶主子式均为0，则r（a）r.证明: 对r用数学归纳法。 当r=0时，即已知a的对角元与2阶主子式均为0，所以对任何的i，j，,但，所以时结论成立。假设r=k时，结论成立，即当a的所有k+1阶与k+2阶主子式均为0时，r（a）k.则当r=k+1时，已知a的所有k+2阶与k+3阶主子式均为0，此时若a的所有k+1阶主子式也均为0，则由归纳法假设可得：r（a）kk+1;如果a有一个k+1阶主子式0,则由已知条件知：所有含的k+2阶与k+3阶主子式均为0，于是r（a）=k+1，结论成立。由归纳法原理，结论对r0的整数

19、成立。性质12： 设a是秩为r的反对称矩阵，则a至少有一个r阶主子式不为0.证明： 因为r（a）=r，所以a的所有r+1阶子式全为0，当然a的所有r+1阶主子式也全为0，此时若a的所有r阶主子式全为0，则可知：r（a）r-1，矛盾，因此a至少有一个r阶主子式不为0.3.2秩的性质的应用举例例4 f上两个n阶反对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩。证明： 设a,b是数域f上两个n阶反对称矩阵。 充分性： 若秩a=秩b，根据性质9，存在可逆矩阵p和q，使ptap=c,qtbq=c1.此处c和c1是具有形式(*)的矩阵。因秩(a)=秩(b)，所以c和c1主对角线上的分块的块数必相同，即c=c1。这

20、样a与c合同，而c与b合同，根据合同的传递性，a与b合同。必要性: 若a,b合同，根据性质9，a必与具有（*）形式的矩阵c合同，这样，秩（a）=秩（c）=秩(b).注：合同矩阵有相同的秩。根据合同的定义可直接的出。例5 求证：若a为反对称矩阵，则秩（a）为偶数。证明： 设秩（a）=r，由性质12可知a必有一个r阶主子式不为0，但a的任一主子式仍为反对称矩阵，因此r为偶数。例6 设a为n阶实可逆反对称矩阵，b为n元实列向量，则秩=n.分析：本题涉及到反对称矩阵、秩，应先考虑反对称矩阵秩的相关性质，由以上性质可知应用性质12。a为实可逆反对称矩阵，故n为偶数且|a|0。要证秩=n，只需证=0即可。

21、证明：是n+1阶反对称矩阵，因为n+1为奇数，所以=0.又因为=+=0，又因为，根据性质12，所以秩=n.4.反对称矩阵特征值的性质4.1 反对称矩阵特征值的性质及证明性质13： 实的反对称矩阵的特征值为纯虚数或零。证明： 设a是实反对称矩阵，为特征向量，则，即：得：,.所以，为纯虚数或零。性质14： 设是反对称矩阵a的特征值，则也是a的特征值。证明： 由于是反对称矩阵a的特征值，所以.,从而，其中n是a的阶，所以也是a的特征值。性质15: 若实矩阵a为反对称矩阵，则可逆。证明： 由性质13可知不是a的特征值，所以，所以可逆。4.2特征值性质的应用举例例7. 设a是n阶实反对称矩阵，b是n阶可

22、逆实对称矩阵，且ab=ba，则a+b是可逆矩阵。分析： 要求a+b可逆，就需求证|a+b|0，又a+b=b(e+b-1a),则只需求证|e+b-1a|0，即-1不是b-1a的特征值，由反对称矩阵特征值相关性质即可求证。证明： 由ab=ba及b可逆知：ab-1=b-1a，又a反对称，b对称，故（ab-1）t=（b-1）tat=-b-1a=-ab-1,所以ab-1=b-1a是实反对称矩阵，从而知b-1a的特征值是0或纯虚数，当然-1不是b-1a的特征值，故|e+b-1a|0.于是|a+b|=|b+a|=|b(e+b-1a)|=|b|e+b-1a|0,因此a+b是可逆矩阵。由例3和例7可知，应注意：

23、有关特征值方面的问题，-1不是a的特征值，则|e+a|0经常用到。5.反对称矩阵在欧式空间线性变换上的应用举例用反对称矩阵研究线性变换:例8. 欧式空间中的线性变换a:称为反对称变换，若.证明：反对称当且仅当在一组标准正交基的矩阵是反对称矩阵.证 充分性：设a=是线性变换在标准正交基，,下的矩阵，且反对称，即，任给,v，记=(，,)x,=( ，,)y，则有a=(，,)ax, a=( ，,)ay，那么，所以为反对称变换.必要性：设是反对称变换，且，其中矩阵a=， ( ，,)为的标准正交基，那么，.因此(a,)=,(,a)=，所以=(,a)=-(a,)=-.即知为反对称矩阵.小结：有本例题可知，若

24、求证一线性变换是反对称变换，只需要求出其在（1，0，,0）,(0,1,0,0),(0,0,1)下的矩阵是反对称矩阵即可。6.总结本文从基础理论和实际应用方面讨论了反对称矩阵的基本性质，给出反对称矩阵有关秩及特征值方面的性质，并引入了相关应用，对此我们要仔细琢磨和思考，努力掌握好反对称矩阵的相关问题.参考文献1北京大学数学系.高等代数m.北京：高等教育出版社，1998.180-185，215-236，296-319.2刘玉森，苏仲阳.高等代数应试训练m.北京：地质出版社，1995.205-255，401-431.3白迷伟.高等代数选进m.哈尔滨：黑龙江教育出版社,2000.123-182.262

25、-269.4樊恽，钱吉林，岑嘉评等。代数学词典m.武汉：华中师范大学出版社，1994.21-116.5张海山.反对称矩阵的若干性质.甘肃教育学院学报（自然科学版），2003，17（3），14-17.6贾周，上官灵喜.关于反对称矩阵.南阳师范学院学报.2007，6（12），18-22.7曾瑞海.反对称矩阵的秩.山西师范大学学报（自然科学版），2007，21（2），44-46. 13 山东师范大学本科毕业论文（设计）选题审批表学院：数学科学学院(章)系别/教研室：应用数学教研室时间：2011年10月25日课题情况题目名称反对称矩阵的性质及应用课题性质a基础研究 b基础应用研究 c应用研究教师姓名肖

26、新玲职称讲师学位硕士课题来源a.科研 b.生产 c.教学 d.其它 e.学生自拟成果类别a.论文 b.设计主要研究内容与研究目标矩阵是高等数学中一个极其重要的概念，是线性代数的一个主要研究对象。作为矩阵的一种特殊类型，反对称矩阵有很多特殊性质并且有广泛的应用。本文主要描述反对称矩阵的定义，研究反对称矩阵的性质及应用.包括反对称矩阵的基本性质，反对称矩阵秩的性质，特征值的性质以及反对称矩阵在求矩阵特征值及秩，线性变换和欧式空间问题中的应用等. 指导教师签字： 年 月 日 选题学生签字： 年 月 日系所或教研室审题意见负责人签字: 年 月 日学院审批意见学院学位分委员会主任签字: 年 月 日山东师

27、范大学本科毕业论文（设计）开题报告 论文题目：反对称矩阵的性质及应用 学院名称：数学科学学院 专 业：信息与计算科学 学生姓名：石汝静 学 号： 200800820244 指导教师： 肖新玲 2011年 11 月 16 日一、选题的性质 研究型 二、选题的目的和意义矩阵是高等数学中一个极其重要的概念，是线性代数的一个主要研究对象。作为矩阵的一种特殊类型，反对称矩阵有很多特殊性质并且有广泛的应用。学习反对称矩阵有助于更全面地掌握矩阵的相关知识，有助于对高等代数、线性代数和其它后继课程的学习研究，本文打算从基本的常用的性质以及有关秩、特征值方面的性质来研究反对称矩阵，并用一些典型例子加以说明，为读

28、者系统地学习矩阵论提供参考。三、与本课题相关的国内外研究现状，预计可能有所创新的方面反对称矩阵在高等代数和线性代数中占有很重要的地位，因此，很多学者都对反对称矩阵做了比较深入的研究。如张海山在反对称矩阵的若干性质一文中，详细地介绍了反对称矩阵的基本性质、秩的性质和特征值与特征向量的性质；谢良金在反对称矩阵行列式的性质一文中对反对称矩阵的行列式性质提出了自己的独到见解；贾周与上官灵喜合写的关于反对称矩阵，讨论了反对称矩阵的行列式、特征值、合同标准型一级秩等方面的性质和一些重要结果；何承源关注对反对称矩阵，发表了反对称矩阵的性质和证明。以往的有关反对称矩阵的文章都是理论行的文章，本文的创新点在于在

29、介绍反对称矩阵性质的基础上预加上一些典型例题及注意事项和总结，使读者在学习的基础上学会如何正确适当的利用。四、课题研究的可行性分析1.大学期间，我们学习了高等代数这门课程，矩阵式极其重要的内容。反对称矩阵作为矩阵的一种类型，研究起来有一定的基础。2.指导教师非常热情的指导。3课题研究前期准备工作充分。4.小组成员团结一致，互相学习，互相帮组。5.该课题有广泛的应用，贴近学生实际，有实用效果，可供同学参考。五、课题研究的策略、方法和步骤本文综合运用了数学方法，探索性研究法等多种方法对该论文进行了分析。本文首先给出反对称矩阵的概念，然后对反对称矩阵的性质从基本常用的、秩、特征值方面对反对称矩阵的性

30、质进行分析，通过分析举例说明性质的应用。六、预期成果形式描述预期形成6000字左右的论文七、指导教师意见指导教师签字：年 月 日八、学院学位分委员会意见 学院学位分委员会主任签字： 年 月 日山东师范大学本科毕业论文（设计）教师指导记录表学院：_数学科学学院_ 系别： _信息与计算科学_ 专业：_信息与计算科学论文（设计）题目：反对称矩阵的性质及应用学生姓名石汝静学号200800820244指导教师肖新玲职称讲师计划完成时间：2012-5-18指导情况纪录（含指导时间、指导内容）1、2011年11月15日，对论文的选题，选题的角度，选题的高度，所选课题应该涵盖的范围及研究内容等注意问题作了一个

31、详尽的解释，并对论文的结构框架也有了大体的安排；2、2012年3月2日，写出论文草稿；3、2012年3月22日，打印出初稿，对文章中层次不分明，结构内容有交叉的地方提出修改意见；4、2012年4月22日，对论文二稿进行指导，按照意见继续修改；5、2012年5月3日，对论文三稿进行指导，包括：论文格式，对论文补充引言部分，参考文献的引用等；6、2012年5月12日，对论文四稿进行指导，对论文的格式提出进一步要求，包括格式、 中英文摘要、标点符号的使用等；7、2012年5月18日，对论文定稿前做认真审核工作，强调表格填写中的注意事项。 指导教师签字： 学生签字：学院学位分委员会主任签字： 年 月 日注：本科论文（设计）的指导应不少于5次，如表格空间不足可另附页。指导教师意见（包括选题的意义，资料收集或实验方法、数据处理等方面的能力，论证或实验是否合理，主要观点或结果是否