IIR和FIR数字滤波器的设计及其结构研究

1、目录目录 一.数字滤波器设计的意义.1 二.iir 数字滤波器.1 2.1 iir 数字滤波器的设计与方法.1 2.2iir 数字滤波器的两种设计方法.3 2.2.1 脉冲响应不变法.3 2.2.2 双线性变换法简介.4 2.2.3 脉冲响应不变法与双线性变换法的优缺点比较.6 三.线性相位 fir 数字滤波器.6 3.1 线性相位 fir 数字滤波器的基本特性.7 3.2 利用窗函数法设计线性相位 fir 数字滤波器.7 3.3 利用频率取样法设计线性相位 fir 数字滤波器.9 3.4 窗函数法与频率取样法的比较.10 四.iir 和 fir 数字滤波器的基本结构.10 4.1iir 数字

2、滤波器基本结构.10 4.1.2iir 系统的直接实现形式.11 4.1.2iir 系统的级联实现形式.11 4.1.3iir 系统的并联实现形式.12 4.2fir 数字滤波器基本结构.12 4.2.1fir 系统的直接实现形式.12 4.2.2fir 系统的级联实现形式.12 五.iir 和 fir 数字滤波器的比较.13 5.1iir 数字滤波器的主要优点.13 5.2iir 数字滤波器的主要缺点.13 5.3fir 数字滤波器的主要优点.13 5.4fir 数字滤波器的主要缺点.13 六.数字滤波器比较概括性总结.14 参考文献.14 摘要 数字滤波器是指输入、输出均为数字信号，通过数

3、值运算处理改变输入信 号所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器件和程序。经典 数字滤波器从滤波特性上分类，可以分成低通、高通、带通和带阻等滤波器。 根据数字滤波器冲激响应的时域特性，可以分成无限脉冲响应数字滤波器(简称 iir)和有限脉冲响应数字滤波器(简称 fir)，iir 和 fir 数字滤波器的设计方法 及其结构各不相同。 关键字：数字滤波器，iir，fir 一数字滤波器设计的意义 在数字信号处理中,fir 数字滤波器是最常用的单元之一。它用于将输入信 号 xn的频率特性进行特定的修改,转换成另外的输出序列 yn，与 iir 滤波 器相比较，在设计和实现上 fir 滤波器具

4、有如下优越性: 1、相位响应可为严格的线性，因此它不存在延迟失真，只有固定的时间延迟。 2、由于不存在稳定性问题，所以设计相对简单。 3、只包含实数算法，不涉及复数算法，不需要递推运算。 另外，也应看到，iir 滤波器虽然设计简单，但主要是用于设计具有分段 常数特性的滤波器，如低通、高通、带通和带阻等，往往脱离不了模拟滤波器 的格局。而 fir 滤波器则要灵活的多，尤其是他易于适应某些特殊应用，如构 成数字微分器或希尔伯特变换器等，因而有更大的适应性和广阔的应用领域。 二iir 数字滤波器 2.1 iir 数字滤波器的设计与方法 数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性时不变系统。数字滤波实质上是

5、一 种运算过程，实现对信号的运算处理。输入数字信号（数字序列）通过特定的 运算转变为输出的数字序列，因此，数字滤波器本质上是一个完成特定运算的 数字计算过程，也可以理解为是一台计算机。描述离散系统输出与输入关系的 卷积和差分方程只是给数字信号滤波器提供运算规则，使其按照这个规则完成 对输入数据的处理。时域离散系统的频域特性为: （2-1）)()()( jejwjw ehexey 其中、分别是数字滤波器的输出序列和输入序列的频域特性)( jw ey)( jw ex （或称为频谱特性）, 是数字滤波器的单位取样响应的频谱，又称为数)( je eh 字滤波器的频域响应。输入序列的频谱经过滤波后,因此

6、，)( jw ex)()( jejw ehex 只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的， 适当选择，使得滤波)( je eh 后的满足设计的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。)()( jejw ehex 数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性，可分为两种，即无限长冲激 响应(iir)数字滤波器和有限长冲激响应(fir)数字滤波器。iir 数字滤波器的 特征是，具有无限持续时间冲激响应，需要用递归模型 来实现，其差分方程 为： ， （2-2）) 1() 1()( 10 nybnxany n i i n i i 系统函数为：， （2-3） n k k k m r r r za zb zh 1

7、0 1 )( 设计iir滤波器的任务就是寻求一个物理上可实现的系统函数，使其频)(zh 率响应满足所希望得到的频域指标，即符合给定的通带截止频率、阻带截)(zh 止频率、通带衰减系数和阻带衰减系数。 iir数字滤波器是一种离散时间系统，其系统函数为 ， （2-4） )( )( 1 )( 1 0 zx zy zh n k k k m k k k za zb 假设mn，当mn时,系统函数可以看作一个iir的子系统和一个(m-n)的fir 子系统的级联。iir数字滤波器的设计实际上是求解滤波器的系数和 ， akbk 它是数学上的一种逼近问题，即在规定意义上（通常采用最小均方误差准则） 去逼近系统的特

8、性。如果在s平面上去逼近，就得到模拟滤波器；如果在z平面 上去逼近，就得到数字滤波器。 2.2iir 数字滤波器的两种设计方法 2.2.1 脉冲响应不变法 利用模拟滤波器来设计数字滤波器，也就是使数字滤波器能模仿模拟滤波器 的特性，这种模仿可以从不同的角度出发。脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲 响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列模仿模拟滤波器的冲激响应)(nh ，即将进行等间隔采样，使正好等于ha(t)的采样值，满足： )(ths)(ths)(nh )()(nthnh s 如果令是的拉普拉斯变换，为的z变换，利用采样序)(sha)(tha)(zh)(zh 列的z变换与模拟信号的拉普拉斯变换

9、的关系得 (2-5) 2 ( 1 )(x 1 | )( -k -k a ez st k t jsx t jks t zx as 可看出，脉冲响应不变法将模拟滤波器的 s 平面变换成数字滤波器的 z 平面， 这个从s到z的变换是从 s 平面变换到 z 平面的标准变换关系式。脉冲 st ez 响应不变法的映射关系如图 1-1 所示： 图 1-1 脉冲响应不变法的映射关系 由（2-5）式，数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应间的关系为 ， (2-6) 2 (h 1 )( a t kw j t eh k jw 这就是说，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。正如 采样定理所讨论的，

10、只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频 率以内时，即 j 3/ t / t -3/ t -/ t o o-11 jimz rez z s ， (2-7) 0)(jha 2t | s 才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应， 而不产生混叠失真，即 , (2-8)( 1 )( t w jh t eh a jw |w| 但是，任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的，变换后就会 产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真，这时数字滤波器 的频响就不同于原模拟滤波器的频响，而带有一定的失真。当模拟滤波器的频 率响应在折叠频率以上处衰减越大、越快时

11、，变换后频率响应混叠失真就越小。 这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。脉冲响应 不变法中的频响混叠现象如图 1-2 所示： 图 1-2 脉冲响应不变法中的频响混叠现象 对某一模拟滤波器的单位冲激响应ha(t)进行采样，采样频率为fs，若使fs 增加，即令采样时间间隔（t=1/fs）减小，则系统频率响应各周期延拓分量之 间相距更远，因而可减小频率响应的混叠效应。 2.2.2 双线性变换法简介 脉冲响应不变法的主要缺点是产生频率响应的混叠失真。这是因为从 s 平面 到平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点，可以采用非线性频 率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到

12、-/t/t之间，再用z=est 转换到 z 平面上。也就是说，第一步先将整个 s 平面压缩映射到 s1平面的- /t/t一条横带里；第二步再通过标准变换关系z=es1t将此横带变换到整 -3-2 - )j( a h o o -23t )(ejh t 2 t t t 2 - 个z平面上去。这样就使 s 平面与z平面建立了一一对应的单值关系，消除了 多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图 1-3 所示。 图 1-3 双线性变换的映射关系 为了将 s 平面的整个虚轴 j压缩到 s1 平面 j1 轴上的到段t/t/ 上，可以通过以下的正切变换实现 ， （2-) 2 tan( 2 1t t 9

13、） 当1 由经过 0 变化到时，由-经过 0 变化到+，也即映t/t/ 射了整个 j轴。将式（2-9）写成 ， 2 2 1 1 1 1 2 2 . 2 t j j t j j e t e e t e t j 将此关系解析延拓到整个 s 平面和 s1 平面，令，则得sj1sj ， （2-10） ts e e e t s st 1 1 12 1 再将 s1 平面通过以下标准变换关系映射到 z 平面 1 ts e z 从而得到 s 平面和 z 平面的单值映射关系为： （2-11） 1 1 1 12 z z t s o -11 z jimz rez / t j1 1 -/ t s1s j oo （2-

14、12） s t s t z 2 1 2 1 式（2-11）与式（2-12）是 s 平面与 z 平面之间的单值映射关系，这种变换 都是两个线性函数之比，因此称为双线性变换 式（2-9）与式（2-10）的双线性变换符合映射变换应满足的两点要求。 首先,把，可得 jw ez （2-13） js 即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆。 其次，将代入式（2-13） ，得js j t j t z 2 2 因此 （2-14） 22 22 ) 2 ( ) t 2 ( |z| t 由此看出，当0 时，|z|0 时，|z|1。也就是说，s 平面的左 半平面映射到 z 平面的单位圆内，s 平面的右半平面映射到

15、 z 平面的单位圆外， s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆上。因此，稳定的模拟滤波器经双线性变 换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。 2.2.3 脉冲响应不变法与双线性变换法的优缺点比较 从以上讨论可以看出，脉冲响应不变法使得数字滤波器的单位脉冲响应完全 模仿模拟滤波器的单位冲激响应，也就是时域逼近良好，而且模拟频率 和数 字频率 之间呈线性关系=t；最大缺点是有频率响应的混叠效应。 双线性变换法与脉冲响应不变法相比，其主要的优点是避免了频率响应的混叠 现象。这是因为 s 平面与 z 平面是单值的一一对应关系。s 平面整个 j轴单 值地对应于 z 平面单位圆一周，即频率轴是单值变换关系。

16、但是双线性变换的这个特点是靠频率的严重非线性关系而得到的，由于这种 频率之间的非线性变换关系，导致一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后 得到非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位了；而且这种非线性 关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型的，即某一频率段的幅频响 应近似等于某一常数。 三线性相位 fir 数字滤波器 3.1 线性相位 fir 数字滤波器的基本特性 单位抽样响应 h(n)是有限长的，因此 fir 数字滤波器一定是稳定的。经延 时，h(n)总可变成因果序列，所以 fir 数字滤波器总可以由因果系统实现。h(n)为 有限长，可以用 fft 实现 fir 数字滤波器。fi

17、r 的系统函数是 z-1 的多项式， 故 iir 的方法不适用。fir 的相位特性可以是线性的，因此，它有更广泛的应 用。 3.2 利用窗函数法设计线性相位 fir 数字滤波器 用窗函数设计滤波器首先要对滤波器提出性能指标。一般是给定一个理想的 频率响应，使所设计的 fir 滤波器的频率响应去逼近所要求的 () () 理想的滤波器的相应。窗函数法设计的任务在于寻找一个可实现(有 () 限长单位脉冲响应)的传递函数。 （3- ()= 1 = 0 () - 1） 去逼近。我们知道，一个理想的频率响应的傅理叶变换 ()() （3-2） () = 1 2 2 0 () 所得到的理想单位脉冲响应往往是一

18、个无限长序列。对经过适 ()() 当的加权、截断处理才得到一个所需要的有限长脉冲响应序列。对应不同的加 权、截断，就有不同的窗函数。所要寻找的滤波器脉冲响应就等于理想脉冲响 应和窗函数的乘积。即，由此可见，窗函数的性质就决定 () = ()() 了滤波器的品质。 以下是几种常用的窗函数： 1.矩形窗： () = () 2.hanning 窗： () = 0.51 cos( 2 1)() 3.hamming 窗： () = 0.54 0.46( 2 1)() 4.blackman 窗： () = 0.42 0.5cos( 2 1) + 0.08( 4 1)() 5.kaiser 窗： () =

19、0( 1 ( 2 1) - 1 2) 0() 窗函数法设计线性相位 fir 滤波器可以按如下步骤进行： 1确定数字滤波器的性能要求。确定各临界频率和滤波器单位脉冲响应 长度 n。 2.根据性能要求和 n 值，合理地选择单位脉冲响应 h(n)有奇偶对称性，从而 确定理想频率响应的幅频特性和相位特性。 () 3.用傅里叶反变换公式，求得理想单位脉冲响应。 () 4.选择适当的窗函数 w(n)根据式求得所设计的 fir 滤波 () = ()() 器单位脉冲响应。 5.用傅理叶变换求得其频率响应，分析它的幅频特性，若不满足要求， () 可适当改变窗函数形式或长度 n，重复上述过程，直至得到结果如 3-

20、1,3-2,3- 3 所示： 3-1 滤波器的增益响应 3-2滤波前后的频域图 3-3信号滤波前后时域图 3.3 利用频率取样法设计线性相位 fir 数字滤波器 频率取样法是从频域出发 ，对理想的频响 )( jw d eh进行等间隔取样，以有 限个频响采样去近似理想频响应)( jw eh。在实际使用时，为了设计线性相位的 fir 滤波器，采样值 h(k)要满足一定的约束条件，具有线性相位 fir 滤波器， 其单位采样响应函数 h(n)是实序列，且满足 h(n)=(h-1-n)，由此得到幅频和 相频特性就是对 h(k)的约束。频率采样法就是根据频域采样理论，由滤波特性 指标构造希望逼近的滤波器频

21、响函数 hd(ej)，对其在0,2上采样得到: （3-3） 1, 1 , 0 2 nkehkh k n j dd 然后，就可求出单位脉冲响应 h(n)，或是系统函数 h(z)。这样， h(n)或是 h(z)就是滤波器的设计结果。 （3-4） 把给出的理想频率响应进行取样，通过 i 滤波器 t 从频谱样点直接求得有限脉 冲响应。其设计过程如下 1, 1 , 0 1 1 1, 1 , 0 1 0 1 nk zw kh n z zh nnkhidftnh n k k n n l l )()()()(h 2 jdtftidtft n k j d ehnhkhe k 频率取样法的关键是正确确定数字频域系

22、统函数 h(k)在 0，2 内的 n 个样点，其约束条件为 h(k)=h(n-k) （m）=- (n-m) 0kn-1 3.4 窗函数法与频率取样法的比较 窗函数法是从时域进行设计，而频率采样法是从频域进行设计。窗函数法由 于简单、物理意义清晰，因而得到了较为广泛的应用，其设计的基本思想是： 首先根据技术指标要求，选取合适的阶数 n 和窗函数的类型 w(n)，使其幅频 特性逼近理想滤波器幅频特性。其次，因为理想滤波器的 hd(n)是无限长的， 所以需要对 hd(n) 进行截断，数学上称这种方法为窗函数法。 频率采样法的优点是可以在频域直接设计，并且适合最优化设计；缺点是采 样频率只能等于 的整

23、数倍，因而不能确保截止频率 的自由取值，要想实现自 由地选择截止频率，必须增加采样点数 n，但是这又使计算量加大。 四iir 和 fir 数字滤波器的基本结构 4.1iir 数字滤波器基本结构 iir 滤波器的单位脉冲响应 h(n)为无限长序列，系统函数 h(z)在有限 z 平 面上存在极点，其运算结构的特点是含有反馈环路，即在结构上是递归型的。 在给定滤波特性的情况下，iir 滤波器所用的项更少，此外，iir 滤波器还能实 现窄带频响。iir 滤波器的实现结构并不唯一，同一系统函数(或差分方程)可 以有各种不同的结构形式。基本结构主要有三种，即直接型、级联型和并联型。 4.1.24.1.2i

24、ir 系统的直接实现形式 对于 iir 系统 ， (4-1) m or n k rnxrbknykany)()()()()( 1 1)0(b 相应的 z 变换可写成 (4-2) m r r n k k m r r z z z rbzw ka rbzx zy 0 1 0 )()( )(1 ( )()( )( 信号流图如图 4.1 所示。 图 4.1 iir 系统的直接实现 4.1.2iir 系统的级联实现形式 将 h(z)的分子分母多项式分成一阶或二阶多项式的连乘。若 nm，n 为偶 数，则可将 h(z)分成 n/2 个二阶多项式的连乘，若 n 为奇数，则子系统的数目 应为(n+1)/2，其中包

25、含一个一阶子系统。级联型结构中每一个一阶网络决定一 个零点、一个极点，每一个二阶网络决定一对零点、一对极点。二阶子系统信 号流图如图 4.2 所示。 图 4.2 二阶子系统信号流图 4.1.3iir 系统的并联实现形式 将 h(z)分解为各因式之和，则每个子系统有着共同的输入 x(n)，而其输出 (n)yi 之和便是系统的总输出 y(n)。并联型结构中，每一个一阶网络决定一个实 数极点，每一个二阶网络决定一对共轭极点。由于并联结构的每一个子系统都 是独立的，不受其它子系统系数量化误差及乘法舍入误差的影响，因此是所述 三种结构中误差最不敏感的结构形式。 4.2fir 数字滤波器基本结构 有限脉冲

26、响应系统的单位脉冲响应 h(n)为有限长序列，系统函数 h(z)在有 限 z 平面上不存在极点，其运算结构中没有反馈支路。fir 滤波器的实现形式 通常有以下几种：直接型，级联型，多相实现和线性相位 fir 滤波器结构。 4.2.1fir 系统的直接实现形式 直接型结构的输入输出关系如下： (4-3) 通常在这种结构中需要 n+1 个乘法器和 n 个两输入加法器来实现。其结构图如 4-3 所示： 图 4.3 直接型结构 4.2.2fir 系统的级联实现形式 级联型结构的输入输出关系如下： (4-4) 高阶 fir 传输函数可以由一阶或二阶传输函数级联实现，它是通过对式(4-5)进 行因式分解得

27、到的。 (4-5) 其中，当 n 为偶数时，k=n/2；当 n 是奇数时，k=(n+1)/2 且 =0。由于级联形 式是规范型结构，所以需要用 n 个两输入的加法器和 n+1 个乘法器来实现 n 阶 有限脉冲响应传递函数。其结构图如 4-4 所示： 图 4.4 级联型结构 五、iir 和 fir 数字滤波器的比较 5.1iir 数字滤波器的主要优点是： (1)设计方法简单。通常只要将技术指标代入设计方程组就可以设计出原型 滤波器，然后再利用相应的变换公式求得所需要的滤波器系统函数的系数。 (2)在满足一定技术要求和幅频响应的情况下，iir 数字滤波器设计成为具 有递归运算的环节。所以它的阶次一般比 fir 数字滤波器低，所用的存储单元 少，滤波器体积也小。 5.2iir 数字滤波器的主要缺点是： (1)只能设计出有限频段的低、高、带通和带阻等选频滤波器。除幅频特性 可以满足技术要求外，它们的相频特性往往是非线性的，这就会使信号产生失 真。 (2)由于 iir 数字滤波器采用了递归型结构，系统存在极点，因此设计系统 函数时，必须把所有的极点放在单位圆内，否则系统不稳定。而且有限字长效 应所带来的运算误差，可能会使得系统