江西省师范大学附属中学九江第一中学高三上学期期中考试理科数学试题及答案

1、2016届江西师大附中、九江一中第一次联考数学（理）试题命题人：刘建华本试卷分为第i卷（选择题）和第ii卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第i卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意.）1.设，则 ( )abcd2正项等比数列中，是方程的两根，则的值是a2 b3 c4 d53.函数满足，则的值为（ ）a. b. c. d. 4曲线在点处的切线为若直线与，轴的交点分别为，则（其中为坐标原点）的面积为（ ）a bc2d5设命题甲：关于的不等式有解，命题乙：设函数 在区间上恒为正值，那么甲是乙的（ ）

2、a充分不必要条件b必要不充分条件 c充要条件d既不充分也不必要条件6已知三点不在同一条直线上，是平面内一定点，是内的一动点，若，则直线一定过的（ ）a重心b垂心c外心d内心7已知函数（）的导函数为，若存在使得成立，则实数的取值范围为（ ）abc d8由的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到的图象，则为（ ）abcd9已知实数变量满足且目标函数的最大值为8，则实数 的值为( )a.b.c.2d.110.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）abc2d11已知椭圆和双曲线焦点相同，且离心率互为倒数，它们的公共焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当时，

3、则椭圆的离心率为（ ）a.b.c.d.12设函数在上存在导数，有，在上，若，则实数的取值范围为（ ）abcd 第ii卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 已知双曲线（，）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为 14. dabc中，|cosacb=|coscab=，且=0，则ab长为 15. 正实数满足，则的最小值为 16. 四棱锥底面是一个棱长为2的菱形，且dab=60，各侧面和底面所成角均为60，则此棱锥内切球体积为 三、解答题（本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知正项等比数列满足成等差数列,且.（）求数列的

4、通项公式;（）设,求数列的前项和.18.某校在2 015年11月份的高三期中考试后,随机地抽取了50名学生的数学成绩并进行了分析，结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间.现将结果按如下方式分为6组，第一组80，90），第二组,.第六组,得到如右图所示的频率分布直方图.（）试估计该校数学的平均成绩（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；（）这50名学生中成绩在120分（含120分）以上的同学中任意抽取3人，该3人在130分（含130分）以上的人数记为，求的分布列和期望19.如图, 已知四边形和均为直角梯形，且，平面平面,（）证明：ag平面bde;（）求平面和平面所成锐二面角的余弦值

5、.20.如图，已知椭圆的离心率为，其左、右顶点分别为.过点的直线与该椭圆相交于两点（）求椭圆的方程；（）设直线与的斜率分别为.试问：是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由21.已知函数(其中,且为常数)（）若对于任意的,都有成立,求的取值范围;（）在（）的条件下,若方程在上有且只有一个实根,求的取值范围.abcdeo请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时用2b铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，ac为o的直径，d为的中点，e为bc的中点（）求证：deab；

6、（）求证：acbc2adcd （23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），点是曲线上的动点，点在曲线上，且满足.（）求曲线的普通方程；（）以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线与曲线、分别交于、两点，求.（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设不等式的解集为,.（）证明：；（）比较与的大小.评分参考1.b 2.a 3.c 4.c 5.b 6.a 7.c 8.b 9.d 10.d 11.a 12.b 13. 14. 15.9 16.解析:11. a 在椭圆中 ，在双曲线中所以，即，则所以，由题知，则椭圆离心率12.

7、 b 令，函数为奇函数，时，函数在为减函数，又由题可知，所以函数在上为减函数，所以 则，.即17.已知正项等比数列满足成等差数列,且. （）求数列的通项公式; （）设,求数列的前项和.【解析】（）设正项等比数列的公比为由,因为,所以.又因为成等差数列,所以所以数列的通项公式为.（）(方法一)依题意得,则由-得所以数列的前项和(方法二)因为,所以18.某校在2 015年11月份的高三期中考试后,随机地抽取了50名学生的数学成绩并进行了分析，结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间.现将结果按如下方式分为6组，第一组80，90），第二组,.第六组,得到如右图所示的频率分布直方图.（）试估

8、计该校数学的平均成绩（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；（）这50名学生中成绩在120分（含120分）以上的同学中任意抽取3人，该3人在130分（含130分）以上的人数记为，求的分布列和期望【解析】（）根据频率分布直方图，得:成绩在120，130）的频率为1（0.0110+0.02410+0.0310+0.01610+0.00810）=10.88=0.12； 2分所以估计该校全体学生的数学平均成绩为850.1+950.24+1050.3+1150.16+1250.12+1350.08=8.5+22.8+31.5+18.4+15+10.8=107，所以该校的数学平均成绩为107； 4分（）

9、根据频率分布直方图得，这50人中成绩在130分以上（包括130分）的有0.0850=4人，而在的学生共有 5分所以的可能取值为0、1、2、3， 6分所以p（=0）=， p（=1）=， p（=2）=， p（=3）=； 10分所以x的分布列为 数学期望值为=0+1+2+3=1.2 12分19.如图, 已知四边形和均为直角梯形，且，平面平面,（）证明：ag平面bde;（）求平面和平面所成锐二面角的余弦值.【解析】由平面，平面, 平面bceg, .2分 根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，可得.3分（）设平面bde的法向量为，则 即 ， ，平面bde的一个法向量为.5分 ， ，ag平面bde. .7

10、分（）设平面的法向量为，平面和平面所成锐二面角为.8分因为,由得，.10分平面的一个法向量为，.故平面和平面所成锐二面角的余弦值为.12分20. 如图，已知椭圆的离心率为，其左、右顶点分别为.过点的直线与该椭圆相交于两点 （）求椭圆的方程； （）设直线与的斜率分别为.试问：是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由【解析】（）依题意可知. 所以椭圆的方程为: 4分 （）(方法一)设直线的方程为,直线的方程为. 5分联立方程组 7分解得点的坐标为同理,可解得点的坐标为 9分由三点共线,得化简有. 11分已知同号,所以.故存在,使得成立. 12分(方法二)当直线垂直于轴时,点的坐标分

11、别为所以此时直线与的斜率分别为有. 6分由此猜想:存在满足条件.下面证明猜想正确.当直线不垂直于轴时,设直线的方程为,又设.联立方程组 8分 11分由此可得猜想正确.故存在,使得成立. 12分21. 已知函数(其中,且为常数) （）若对于任意的,都有成立,求的取值范围; （）在（）的条件下若方程在上有且只有一个实根,求的取值范围.【解析】（）由知 1分 当时,对于恒成立,在上单调递增 ,此时命题成立; 3分 当时,在上单调递减,在上单调递增, 当时,有.这与题设矛盾,不合. 故的取值范围是 5分 （）依题意,设,原题即为若在上有且只有一个零点,求的取值范围.显然函数与的单调性是一致的. 当时,

12、因为函数在区间上递减,上递增,所以在上的最小值为,由于,要使在上有且只有一个零点,需满足或,解得或; 7分 当时,因为函数在上单调递增,且,所以此时在上有且只有一个零点; 9分 当时,因为函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,又因为,所以当时,总有,所以在上必有零点,又因为在上单调递增,从而当时,在上有且只有一个零点. 11分 综上所述,当或或时,方程在上有且只有一个实根. 12分 请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时用2b铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑abcdeo（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图

13、所示，ac为o的直径，d为的中点，e为bc的中点（）求证：deab； （）求证：acbc2adcd 【证明】： （）连接oe，因为d为的中点，e为bc的中点，所以oed三点共线 2分因为e为bc的中点且o为ac的中点，所以oeab，故deab. 5分（）因为d为的中点，所以baddac，又baddcbdacdcb又因为addc，decedacecd 8分adcdacce 2adcdac2ce 2adcdacbc10分（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），点是曲线上的动点，点在曲线上，且满足. （）求曲线的普通方程； （）以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线与