第一章数制与码制 逻辑代数基础

1、第一,二章 数字系统设计数字系统设计I I 教材和参考书：教材和参考书： 1 1、数字电子技术基础数字电子技术基础 阎阎 石石 主编主编 2 2、脉冲电路脉冲电路 何小艇何小艇 主编主编 3 3、FPGAFPGA原理、设计和应用原理、设计和应用赵雅兴主编赵雅兴主编 4 4、数字系统设计和数字系统设计和Verilog HDLVerilog HDL王金明主编王金明主编 第一,二章 第2页 第一章第一章 逻辑代数基础逻辑代数基础 概述概述 - -数制数制 - -编码编码 三种基本运算三种基本运算 基本公式和常用公式基本公式和常用公式 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法 公式化简法公式化简法 卡

2、诺图化简法卡诺图化简法 具有无关项的具有无关项的逻辑函数化简逻辑函数化简 第一,二章 数字信号和模拟信号数字信号和模拟信号 模拟信号：表示模拟量的信号，如：热电偶的电压信号(温度变化 时，电压随之改变)。 数字信号：表示数字量的电信号 1.1 概述 1.1.1数字量和模拟量数字量和模拟量 模拟量：模拟量： 在时间上和数量上都是连续的物理量， 如：温度、压力、距离和时间等。 数字量：数字量： 在时间上和数量上都是离散的物理量， 如：自动生产线上的零件记录量，台阶的阶数 第一,二章 第4页 1.1.2 1.1.2 数制和编码数制和编码 1.十进制： 日常生活和工作最常使用的进位计数制，在十进制中，

3、每一 位有09十个数码，所以计数的基数和是十。超过9的数必须用 多位表示，其中低位与相邻高位的关系是“逢十进一”。例： i i 10kD十进制数的一般形式十进制数的一般形式： i i NkD 同样可得同样可得,N,N进制数的一般形式进制数的一般形式： Ni为第为第i i位的位的权权；ki为第为第i i位的系数；位的系数；N为计数为计数基数基数。 一、数制一、数制 143.75=11024101310071015102 第一,二章 第5页 i i 2kD i i 16kD i i 8kD 十六进制十六进制中有16个数字：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、 B、C、D、E、F；每位的权为

4、16的幂 二进制中有2个数字：0、1；每位的权为2的幂 101.11=122021120121122 2.2.二进制二进制： 同一个数值的二进制表示比十进制位数多，故常采用八进制 和十六进制。 3 .3 .二进制的缩写形式：二进制的缩写形式：八进制和十六进制八进制和十六进制 八进制八进制中有8个数字：0、1、2、3、4、5、6、7；每位的权 为8的幂 第一,二章 第6页 1 1 . .非十进制换成十进制非十进制换成十进制 2 2 . .十进制换成其他进制十进制换成其他进制 方法：整数部分采用基数除法，小数部分采用基数乘法整数部分采用基数除法，小数部分采用基数乘法。 例1： (1011.01)2

5、 =1*23+0*22+1*21+1*20 +0*2-1+1*2-2 = (11.25)10 二、数制转换：二、数制转换： 例2： (463)8 = 4*82+6*81+3*80 =(307)10 例3： (2FA.2)16=2*162+15*161+10*160 + 2*16-1 =(762.125)10 第一,二章 第7页 1731 2 86 低位 高位 余数 0.8125 2 (1).6250 2 (1).2500 2 (0).5000 2 (1).0000 高位 低位 (173)10=(10101101)2(0.8125)10=(0.1101)2 例例4 4：(173.8125)10=

6、（？）2 2 43 21 10 5 2 2 2 2 2 2 12 0 0 1 1 0 1 0 1 =(10101101.1101)2 第一,二章 第8页 54 33 616 16 0 低位 高位 余数 0.39 16 (6).24 16 (3).84 16 (13).44 16 (7).04 高位 低位 (54)10=(36)16(0.39)10=(0.63D7)16 例例5 5：(54.39)(54.39)10 10=( =(？) )16 16 =(36.63D7)=(36.63D7)16 16 第一,二章 第9页 3.二进制八进制之间的转换 方法：方法：3 3位二进制数刚好等于位二进制数刚

7、好等于1 1位八进制数位八进制数 （一）二进制转换成八进制（一）二进制转换成八进制 例例6 6 二进制：（二进制：（110011101.011110011101.011）2 2= =（110 011 101.011110 011 101.011）2 2 = =（635.3635.3）8 8 例例7 7 二进制：二进制： （10011101.0110011101.01）2 2= =（010 011 101.010010 011 101.010）2 2 = = （ （235.2235.2）8 8 （二）八进制转换成二进制（二）八进制转换成二进制 例例8 8 八进制：（八进制：（345.1345.1

8、） 8 8 = =（011 100 101.001011 100 101.001）2 2 第一,二章 第10页 4.4.二进制十六进制相互转换二进制十六进制相互转换 方法：方法：4 4位二进制数刚好等于位二进制数刚好等于1 1位十六进制数位十六进制数 例例9 9 二进制：二进制： （111101000.011111101000.011）2 2 = = （ 0001 1110 1000.01100001 1110 1000.0110）2 2 = =（1E8.61E8.6）16 16 （二）十六进制转换成二进制（二）十六进制转换成二进制 例例10 10 十六进制：（十六进制：（AF.26AF.26

9、）16 16 = =（1010 1111.0010 01101010 1111.0010 0110）2 2 （一）二进制转换成十六进制一）二进制转换成十六进制 第一,二章 第11页 三、编码三、编码 十进制 8.4.2.1BCD 码 2.4.2.1 码 余 3 码 余 3 格雷码 0 0000 0000 0011 0010 1 0001 0001 0100 0110 2 0010 0010 0101 0111 3 0011 0011 0110 0101 4 0100 0100 0111 0100 5 0101 1011 1000 1100 6 0110 1100 1001 1101 7 011

10、1 1101 1010 1111 8 1000 1110 1011 1110 9 1001 1111 1100 1010 3 .3 .编码方法：编码方法：常用常用BCDBCD码如下表所示。码如下表所示。 1 1 . . 定义：定义：用二进制数表示文字、符号等信息的过程。用二进制数表示文字、符号等信息的过程。 2 . BCD2 . BCD码码（二十进制编码）：（二十进制编码）： 用用4 4位二进制数码表示十进制数的位二进制数码表示十进制数的 0 09 9十个数字的编码方法。十个数字的编码方法。 第一,二章 第12页 (1) 8421 BCD码码 十进制 8.4.2.1 码 0 0000 1 00

11、01 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 9 1001 特点：特点： 每个码组的二进制值与所表示 的十进制一致（直观）； 各位权值依次为8、4、2、1； 1010、1011、1100、1101、 1110和1111为禁用码组。 第一,二章 第13页 (2) 2421 BCD码码 十进制 2.4.2.1 码 0 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 1011 6 1100 7 1101 8 1110 9 1111 特点：特点： 各位权值依次为2、4、2、1。 0与9、1与84与5互为反码， 便于减法（便

12、于对9求补）。 第一,二章 第14页 (3) 余余3码码 特点：特点： 十进制 余 3 码 0 0011 1 0100 2 0101 3 0110 4 0111 5 1000 6 1001 7 1010 8 1011 9 1100 例11 ：5+8 便于加法（自动进位） 。 0与9、1与84与5互为反码， 便于减法（便于对9求补）； 无权码；每个码组的二进制值与所 表示的十进制大3。 8421BCD 0101 (5) +1000 (8) 1101 (禁用码）禁用码） （1）0011 + 0110 （修正修正） 进位 结论：结论：用电路实现时，余用电路实现时，余3码加法码加法速度速度快（快（ 进

13、位快进位快)。 (1)0011 1000 （5） +1011 （8） 进位 余余3码码 但本位也需修正。但本位也需修正。 第一,二章 第15页 (4) 余余3 3循环码循环码 无权码；每个码组的循环码值与所表 示的十进制（循环码）大3。 相邻码组（包括0与9）只有一个码元 发生变化。 十进制 余 3 循环码 0 0010 1 0110 2 0111 3 0101 4 0100 5 1100 6 1101 7 1111 8 1110 9 1010 例12 ：分别用各种BCD码表示 （11011001）2 （11011001）2=1316+9=217 =（10 0001 0111）8421BCD

14、=（10 0001 1101）2421BCD =（0101 0100 1010）余3码 =（0111 0110 1111）余3循环码 特点：特点： 第一,二章 第16页 四、格雷码（循环码）四、格雷码（循环码） 四位格雷码如右表： 二进制码 格雷码 B3B2B1B0 R3R2R1R0 0000 0000 0001 0001 0010 0011 0011 0010 0100 0110 0101 0111 0110 0101 0111 0100 1000 1100 1001 1101 1010 1111 1011 1110 1100 1010 1101 1011 1110 1001 1111 10

15、00 1.1.特点：特点：相邻码组（包括0与15）只有 一个码元发生变化 2.2.构成方法：镜像法构成方法：镜像法 1位格雷码 0 1 2位格雷码 0 1镜面 1 0 0 0 1 1 （0） （1） （2） （3） 3位格雷码 00 01 11 10 镜面 10 11 01 00 0 0 0 0 1 1 1 1 （0） （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 第一,二章 第17页 3.3.二进制与格雷码的转换二进制与格雷码的转换 二进制Bn-1 Bn-2B0;格雷码Rn-1 Rn-2R0. （1）二进制-格雷码 100 211 122 11 ; ; ; BBR BBR BBR

16、BR nnn nn 例13：（1011）2=（？）G 1 0 1 1 1110 （1011）2=（1110）G （2）格雷码-二进制 100 211 122 11 ; ; ; BRB BRB BRB RB nnn nn 例14：（1110）G=（？）2 1 1 1 0 1011 （1110）G = （1011）2 第一,二章 第18页 1.2 逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算 变量取值：命题正确1；命题错误 0. 二、逻辑函数二、逻辑函数 定义：复杂的逻辑命题，逻辑函数取值受（输入）逻辑变量控 制。 即Y=F（A,B,C). 一、逻辑变量一、逻辑变量 定义：定义：简单的逻辑命题

17、,内容可对可错，但不能模棱两可。 设定变量：逻辑代数定义的变量，并用字母A、B、C、表示 例：“开关S断开”为逻辑命题。 “开关S可能断开”就不是逻辑命题 第一,二章 第19页 三、逻辑代数中的三种基本运算（与、或、非）三、逻辑代数中的三种基本运算（与、或、非） 1 1、逻辑与（逻辑乘）、逻辑与（逻辑乘）： AB + Y _ 定义： 定义：只有决定事物结果的只有决定事物结果的全部条件全部条件 同时具备时，结果才发生同时具备时，结果才发生。 条件：开关A合上（变量A）、 开关B合上（变量B） 结果：灯Y亮（Y是A、B的函数） 真值表 A B Y 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 表

18、达式： BAY ABY “与”运算规律 111 001 010 000 与门 A B Y AAAAA DBCBADCDBCBA DEBAADCDBCBAC DEBACBADCDBCBAC DEBADBCACBADCDBCBACY 32 4 2 )( 1.6.2常用的公式化简方法常用的公式化简方法 例1： CBCBBABAYCBAACBCCBABA)()( 5 CBACBACBCBABCABA )()()(CBABCACBACBCBABA CACBBA 4, 1 例2： 公式法化简的缺点： 1.难；2.难以判断是否最简。解决方法：解决方法：卡诺图法。卡诺图法。 第一,二章 第44页 CD AB

19、00 01 11 10 00 m0 m1 m3 m2 01 m4 m5 m7 m6 11 m1 2 m1 3 m1 5 m1 4 10 m8 m9 m1 1 m1 0 BC A 00 01 11 10 0 m0 m1 m3 m2 1 m4 m5 m7 m6 图2 三变量的卡诺图 图3 四变量的卡诺图 B A 0 1 0 m0(BA) m1(BA) 1 m2(BA) m3(AB) 图1 二变量的卡诺图 1.7逻辑函数的卡诺图化简法 1.7.1逻辑函数的卡诺图表示法 一、卡诺图 1.结构： C AB 0 1 00 m0 m1 01 m2 m3 11 m6 m7 10 m4 m5 正方形或矩形 格雷

20、码坐标 每个小方格代表1个mi或Mi。 第一,二章 第45页 2.卡诺图特点： （1）优点：几何相邻逻辑相邻 逻辑相邻：两个 mi或Mi只有一个变量发生变化。 发生变化的变量是互补，因此逻辑相邻的mi或Mi是可合并，例：ABC与 是逻辑相邻，可合并AC. CBA CD AB 00 01 11 10 00 m0 m1 m3 m2 01 m4 m5 m7 m6 11 m1 2 m1 3 m1 5 m1 4 10 m8 m9 m1 1 m1 0 几何相邻： 相接： 相对: 相重:五变量和六变量卡诺图时介绍。 （2）缺点：最多只能适用六变量。 )DCAB(和m15（ABCD） 例m13 )(DCBA

21、和m10 )(DCBA例m8 第一,二章 第46页 BAACDDBADCBAY C D A B 00 01 11 10 00 1 01 1 1 11 1 10 1 1 1 1 二、 用卡诺图表示逻辑函数 )15,11,10,9 ,8 ,6,4, 1( m 例： )14,13,12, 7 , 5 , 3 , 2 , 0(M C D A B 00 01 11 10 00 0 0 0 01 0 0 11 0 0 0 10 最小项卡诺图 最大项卡诺图 10 xx=（8，9，10，11） 01x0=（4，6） 1x11=（11，15） m1 第一,二章 第47页 1.7.2 用卡诺图化简逻辑函数 一、合

22、并最小项的规则 1.若两个最小项相邻，则可合并为 一项并消去一个因子。 CA AC DCB BCD DAB 2.若四个最小项相邻并排成矩形组， 则可合并为一项并消去二个因子。 B A C BD DB CB BA 第一,二章 第48页 3.若八个最小项相邻并排成矩形组， 则可合并为一项并消去三个因子。 B C 1 总结：若2n个最小项相邻并排成矩形 组，则可合并为一项并消去n个因子。 二、 卡诺图化简逻辑函数 步骤： 函数的标准形式卡诺图合并最小项最简式 合并最小项（画圈）原则： 1、乘积项个数最少（圈的个数最少） 检查方法：每个圈应包含1个新的最小项 2、乘积项包含的因子最少（最小项可重复使用

23、， 圈尽量大） 3、这些乘积项应包含所有最小项 CBCBCACAY例： )6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 (m CBCABAYBACBCAY 最简式不是唯一 或：或： 第一,二章 第49页 圈法次序： 先圈大圈？ 检查：发现大圈为 冗余。 6个圈，没有冗余。 最简？ 不是！但无法检查。 先弱后强。弱者：只有一种圈法。 原则： 红“1”为强，黑“1”为弱 2.都强：先画一圈，然后先弱后强。 m1的两种圈法 结论：结论：用卡诺图化简，没有多余的圈，不一定最简用卡诺图化简，没有多余的圈，不一定最简。 第一,二章 第50页 CDE AB 000 001 011 010 110 111 10

24、1 100 00 m0 m1 m3 m2 m6 m7 m5 m4 01 m8 m9 m11 m10 m14 m15 m13 m12 11 m24 m25 m27 m26 m31 m30 m29 m28 10 m16 m17 m19 m18 m22 m23 m21 m20 三、五变量的卡诺图 相重：相重：以中心线左右对折， 重 合在一起的最小项相邻，例：m27 与m30、m11与m15 左右可看成两个四变量的卡诺图： m31与m28、m8与m10可看成相对。 两种画法 EBAEBDECBEBAEDBY 六变量的卡诺图不再介绍 第一,二章 第51页 CDBCBDCACBAY 四 最大项卡诺图的化简 原则与最小项卡诺图相同，结果为最简