流体力学(热能)第5章 不可压缩流体动力学基础

1、第七章第七章 不可压缩流体动力学基础不可压缩流体动力学基础 本章讨论三元流动，主要内容是有关流体运动的基本概念和基本原理，本章讨论三元流动，主要内容是有关流体运动的基本概念和基本原理， 以及不可压缩流体流动的基本方程。以及不可压缩流体流动的基本方程。 积分形式的基本方程用于解决控制面上的流动参数问题。积分形式的基本方程用于解决控制面上的流动参数问题。 微分方程可用于解决流微分方程可用于解决流 动参数在流场中的分布问题。动参数在流场中的分布问题。 平移运动 旋转运动 线变形、 变形运动 角变形 dx A B D C E F M uy ux dy 7-1 流体微团运动的分析流体微团运动的分析 一、

2、运动形式一、运动形式 1、流体微团、流体微团：指体积微小，随流体一起运动的一团流体物质。与流体质点不：指体积微小，随流体一起运动的一团流体物质。与流体质点不 同，虽体积微小，但包含无数个流体质点。各质点间存在着相对位置的变化。同，虽体积微小，但包含无数个流体质点。各质点间存在着相对位置的变化。 2、基本运动形式、基本运动形式 二、运动分析二、运动分析 以二元流动的情况为例，研究几种以二元流动的情况为例，研究几种 基本运动形式的速度表达式。基本运动形式的速度表达式。 如图，方形流动微团如图，方形流动微团 x u MABCD 2 dx x u u x x y u 2 dx x u u y y 2

3、dy y u u x x 2 dy y u u y y 2 dx x u u x x 2 dx x u u y y 2 dy y u u x x 2 dy y u u y y x u y u z u 各侧边中点各侧边中点A、B、C、D的流速分量分别为的流速分量分别为 1、平移运动速度、平移运动速度 2、线变形速度、线变形速度 x u dxdt dxdt x u x x x X方向线变形速度方向线变形速度 dx x ux A、C两点速度差值：两点速度差值： 差值为正，发生伸长变形。差值为正，发生伸长变形。 x ux x y uy y z uz z A B D C E F M )( 2 1 )(

4、2 1 )( 2 1 z u y u x u z u y u x u y z x zx y x y z 222 zyx zyx kji 大小 x z y 3、旋转角速度、旋转角速度 逆时针为正逆时针为正 对角线对角线EMF的旋转角速度定义为的旋转角速度定义为 整个流体微团在整个流体微团在oxy平面上的旋转角速度。平面上的旋转角速度。 方向：右手定则方向：右手定则 )( 2 1 )( 2 1 y u x u y u x u x u x u x y x yy z y z )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 y u x u x u z u z u y u x y z zx y y z x 4、

5、角变形速度、角变形速度 z 直角边直角边AMC（或（或BMD）与对角线）与对角线EMF的夹角的变形速度定义的夹角的变形速度定义 为流体微团的角变形速度，记为为流体微团的角变形速度，记为 ，表示在，表示在xoy平面上的角变形速度。平面上的角变形速度。 三元流动：三元流动： 的下标表示发生角变形的所在平面的法线方向。的下标表示发生角变形的所在平面的法线方向。 三、亥姆霍兹速度分解定理三、亥姆霍兹速度分解定理 （了解）（了解） 设流体微团内某点设流体微团内某点M0(x,y,z),速度为速度为 、 、 ， 则邻边则邻边M0的另一点的另一点M (x+dx,y+dy,z+dz)的速度为的速度为 展开展开

6、.，变换整理得，变换整理得 0 x u 0y u 0z u xxx duuu 0 yyy duuu 0 zzz duuu 0 x du dzdydxdzdyuu yzxyzxx 0 dxdzdydxdzuu zxyzxyy 0 dydxdzdydxuu xyzxyzz 0 平移旋转线变形 角变形 0y u 0 x u 0z u 0 M M kji zyx 2 z u y u y z x x u z u zx y y u x u x y z tzyx,2 涡量场 x z y 7-2 有旋流动有旋流动 0 zyx x y z 无旋流动：无旋流动： （详见第（详见第8章）章） 有旋流动有旋流动 ：

7、、 、 至少有一个不等于零。至少有一个不等于零。 涡量：涡量： 涡线，涡线方程，涡量连续性方程涡线，涡线方程，涡量连续性方程 涡通量：斯托克斯方程，汤姆逊定理涡通量：斯托克斯方程，汤姆逊定理 1、涡量、涡量 u 0 zyx z y x 0)(u ：哈米尔顿算子，矢性微分算子 zyx dzdydx 3、涡线，、涡线， 涡线方程涡线方程 涡线：表示某一瞬时流体质点旋转角速度向量方向的曲线。涡线：表示某一瞬时流体质点旋转角速度向量方向的曲线。 2、涡量连续性微分方程、涡量连续性微分方程 二、涡通量二、涡通量 涡量在涡量在 投影为投影为 ，则，则 为涡通量。为涡通量。 n n dA A n 1、定义：

8、、定义： A1 A2 A n n dxdydzdxdydzdAAdJ A z A y A x A n A 对有旋转流动，在同一瞬间，通过同一涡管的各截面的涡通量相等。对有旋转流动，在同一瞬间，通过同一涡管的各截面的涡通量相等。 dAdA A n A n 21 dzudyudxusdu zy s x s dA dAdAdA dxdy y u x u dzdx x u z u dydz z u y u dzudyudxu A n zzyyx A x A x y zx y z zy s x 2、涡通量的计算、涡通量的计算 （1）速度环量：流速沿封闭曲线）速度环量：流速沿封闭曲线s的积分。的积分。s正

9、向为逆时针方向。正向为逆时针方向。 斯托克斯公式：斯托克斯公式： As J 0 dt d n s为流场中任意封闭曲线为流场中任意封闭曲线 A是是S所围成的曲面所围成的曲面 是曲面是曲面A的外法线单位向量。的外法线单位向量。 结论：沿任意封闭曲线结论：沿任意封闭曲线S的速度环量等于通过以该曲线的速度环量等于通过以该曲线 为边界的曲面为边界的曲面A的涡通量。的涡通量。 斯托克斯定理斯托克斯定理 （2）汤姆逊定理）汤姆逊定理 （了解）（了解） 在理想流体的涡量场中，如果质量力具有单值的势函数，那么沿在理想流体的涡量场中，如果质量力具有单值的势函数，那么沿 由流体质点所组成的封闭曲线的速度环量不随时间

10、而变。即：由流体质点所组成的封闭曲线的速度环量不随时间而变。即： 推论：质量力具有单值势函数的理想流体的流动，如果在某一推论：质量力具有单值势函数的理想流体的流动，如果在某一 时刻是有旋流，那么此前、此后也是有旋流。如果为无旋流，时刻是有旋流，那么此前、此后也是有旋流。如果为无旋流， 那么此前、此后也是无旋流。那么此前、此后也是无旋流。 自学：自学：P186例例7-2 0 z u y u x u z y x dxdydzdt x u dydzdt dx x u udydzdt dx x u u x x x x x ) 2 () 2 ( 7-3 不可压缩流体连续性微分方程不可压缩流体连续性微分方

11、程 净流体体积净流体体积=流出流入流出流入 2、分析推导：微元分析法、分析推导：微元分析法 依据质量守恒定律，取微小平行六面体，中心依据质量守恒定律，取微小平行六面体，中心M（x,y,z)， ux、uy、uz， x方向，方向，dt时间时间 0 z u r u r u r u zrr （柱面坐标形式）（柱面坐标形式） 1、方程：、方程： 同理同理y方向：方向：dxdydzdt y u y z方向：方向：dxdydzdt z u z 根据不可压缩连续性条件，根据不可压缩连续性条件，dt时间内，时间内，x、y、z方向方向 流出流出- -流入流入=0 0 0)( z u y u x u dxdydzd

12、t z u y u x u z y x z y x 0 z u r u r u r u zrr cossin sincos sincos uuu uuu zzryrx ry rx cossin sincos yx yxr uuu uuu 柱面坐标系：柱面坐标系： 柱面坐标与直角坐标换算关系：柱面坐标与直角坐标换算关系：190 图图7-7 3、应用、应用 （1）方程对恒定流、非恒流都适用，是判断流动连续性的条件。）方程对恒定流、非恒流都适用，是判断流动连续性的条件。 （2）是以后运动微分方程求解的一个条件。）是以后运动微分方程求解的一个条件。 例例1：p1907-6 例例2：判断下列流场是否满足

13、不可压缩流体的连续性方程：判断下列流场是否满足不可压缩流体的连续性方程 （1） （2） 解：解： 满足。满足。 22 )2(xyyuxxyu yx 2sin2 1 2cos2ru r rur 02cos4 1 2cos2 1 2cos2 22 rrz u r u r u r u zrr （3）此式给出了流体通过某固定点时，流体的三个速度分量之间的关系。）此式给出了流体通过某固定点时，流体的三个速度分量之间的关系。 表明对不可压缩流体，单位时间内流入与流出某空间点的流体体积之差为表明对不可压缩流体，单位时间内流入与流出某空间点的流体体积之差为 零，即体积（质量）守恒。零，即体积（质量）守恒。 x

14、zxyxx p , zzzyzx p , yzyyyx p , 3个压应力 6个切应力 xz xx p xy x y z 7-4 粘性流体的运动微分方程粘性流体的运动微分方程 纳维纳维斯托克斯方程斯托克斯方程 一、粘性流体的内应力一、粘性流体的内应力 粘性流体运动时，所受表面应力包括法向应力和切应力。粘性流体运动时，所受表面应力包括法向应力和切应力。 流场内任一点的应力可表示为流场内任一点的应力可表示为 二、以应力表示的运动微分方程（根据牛顿第二定律）二、以应力表示的运动微分方程（根据牛顿第二定律） dt du zyx p X xzx yx xx 11 dt du xzy p Y yxyzyy

15、y 11 dt du yxz p Z z yz xzzz 11 （7-4-1） 讨论讨论：加上连续性方程，：加上连续性方程，4个方程，个方程，12个未知量，无法求解。个未知量，无法求解。 需找其它关系式，这些其它关系即是应力与变形速度的关系。需找其它关系式，这些其它关系即是应力与变形速度的关系。 dt d x u y u dt d y x z 2 1、切应力与角变形速度的关系、切应力与角变形速度的关系 因此三元流动的牛顿内摩擦定律可以写成如下形式：因此三元流动的牛顿内摩擦定律可以写成如下形式： 由牛顿内摩擦定律：由牛顿内摩擦定律： xoy平面上平面上: 三、应力与变形速度的关系三、应力与变形速

16、度的关系 )( )( )( z u y u z u x u x u y u y z yzzy xz xzzx y x yxxy 式（式（7-5-1） 式（式（7-5-1） 即广义牛顿摩擦定律，使式（即广义牛顿摩擦定律，使式（7-4-1）中的）中的12个未知数消去个未知数消去6个。个。 2、法向应力和线变形速度的关系、法向应力和线变形速度的关系 在流体微团的法线方向上的线变形速度，使法向应力（压应力）的大在流体微团的法线方向上的线变形速度，使法向应力（压应力）的大 小与理想流体相比有所改变，产生附加压应力。小与理想流体相比有所改变，产生附加压应力。 可以证明，对于不可压缩流体，附加法应力与线变形

17、速度的关系可以证明，对于不可压缩流体，附加法应力与线变形速度的关系: z u y u x u z zz y yy x xx 2 2 2 )( 3 1 zzyyxx pppp z u pp y u pp x u pp z tzz y tyy x txx 2 2 2 （1） (7-5-3) （2）平均压应力）平均压应力 定义点压强定义点压强： (7-5-4) 式中，式中， 、 、 表示法向应力，表示法向应力， 表示压强，表示压强， 表示理想流体压强。表示理想流体压强。 xx p yy p zz p p t p （3） )( 3 2 )( 3 1 z u y u x u ppppp z y x tz

18、zyyxx (7-5-5) 代入（代入（7-5-4） （4） )( 3 2 2 )( 3 2 2 )( 3 2 2 z u y u x u z u pp z u y u x u y u pp z u y u x u x u pp z y xz zz z y x y yy z y xx xx （7-5-6） tzzyyxx pppp 0 z u y u x u z y x 0),( zyx uuzyuu 0 z u y u x u z y x tzzyyxx pppp a）对于理想流体）对于理想流体 b）不可压缩流体）不可压缩流体 c ） 对于均匀流对于均匀流 流速沿流线是常数流速沿流线是常数

19、d ）对于粘性流体方程）对于粘性流体方程 、 、 三个未知数变为一个三个未知数变为一个 ，原则上方程已可求解，原则上方程已可求解 了。了。 xx p yy p zz pp （7-5-6）式讨论：）式讨论： t pp 四、四、 N-S方程方程 把（把（7-5-1）式和（）式和（7-5-6）式代入（）式代入（7-4-1）式，消去应力）式，消去应力 对不可压缩流体有对不可压缩流体有 代入得代入得 展开展开 当地加速度当地加速度 位移加速度位移加速度 0 z u y u x u z y x dt du z u y u x u z p Z dt du z u y u x u y p Y dt du z

20、u y u x u x p X zzzz yyyy xxxx )( 1 )( 1 )( 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z u u y u u x u u t u dt du x z x y x x xx （7-6-1） z u u y u u x u u t u z u y u x u z p Z z u u y u u x u u t u z u y u x u y p Y z u u y u u x u u t u z u y u x u x p X z z z y z x zzzz y z y y y x yyyy x z x y x x x

21、xxx )( 1 )( 1 )( 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 （7-6-3） 1、N-S方程方程 柱坐标系：柱坐标系：P1977-6-4式式 2、讨论：、讨论： （1）与连续性方程联立，）与连续性方程联立，4个未知数、个未知数、4个方程，原则上可求解速个方程，原则上可求解速 度分量和压强。度分量和压强。 N-S方程是不可压缩流体最普遍的运动微分方程。方程是不可压缩流体最普遍的运动微分方程。 （2）二阶非线性非齐次的偏微分方程组，难以求出精确解。只对）二阶非线性非齐次的偏微分方程组，难以求出精确解。只对 一些较简单的情况求出精确解。大多数问题是借助

22、计算机技术求一些较简单的情况求出精确解。大多数问题是借助计算机技术求 出近似解。出近似解。 P198例例7-7 自学自学 例：已知流速场例：已知流速场 试求试求t=0.5时空间点（时空间点（2,5,3）处的流体质点的加速度。）处的流体质点的加速度。 解：解： 0, zyx uxztuyztu 5 .19 22 txzyz z u u y u u x u u t u a x z x y x x x x 25.17 22 tyzxz z u u y u u x u u t u a y z y y y x y y 0 z u u y u u x u u t u a z z z y z x z z 0

23、4.26 222 zyx aaaa 0 z u u y u u x u u t u z p Z z u u y u u x u u t u y p Y z u u y u u x u u t u x p X z z z y z x z y z y y y x y x z x y x x x 1 1 1 0 zyx uuu 0 1 0 1 0 1 z p Z y p Y x p X 7-5 理想流体运动微分方程及其积分理想流体运动微分方程及其积分 分析分析N-S方程方程 1、理想流体、理想流体 （7-7-1） 2、静止时、静止时 得流体平衡微分方程（得流体平衡微分方程（2-7-1a） 3、变换（

24、、变换（7-7-1）式，在方程中第一式的加速度项加）式，在方程中第一式的加速度项加 之后，之后， 整理得：整理得： 同理变换第二式、第三式，得：同理变换第二式、第三式，得： （7-7-2） 恒定流：恒定流： ，并设质量力有势函数，并设质量力有势函数W，则，则 z u u y u u x z x y , )(2) 2 ( 1 2 yzzy x uu u xt u x p X )(2) 2 ( 1 )(2) 2 ( 1 )(2) 2 ( 1 2 2 2 xyyx z zxxz y yzzy x uu u zt u z p Z uu u yt u y p Y uu u xt u x p X 0 t

25、u t u t u z y x zy zy uu up W x 2) 2 ( 2 分别乘以分别乘以dx、dy、dz，相加得，相加得 若若 ， ，则，则 ，理想恒定流能量方程。，理想恒定流能量方程。 xz xz uu up W y 2) 2 ( 2 yx yx uu up W z 2) 2 ( 2 dz uu dy uu dx uu up Wd yx yx xz xz zy zy 222) 2 ( 2 zyx zyx uuu dzdydx up Wd 2) 2 ( 2 gzW0) 2 ( 2 up Wd const 2 2 g up z 所以所以 是导出理想恒定流能量方程的条件。是导出理想恒定流

26、能量方程的条件。 行列式等于零，则任一行全等于零或任两行成比例。行列式等于零，则任一行全等于零或任两行成比例。 讨论：讨论： （1） 流体静止。流体静止。 （2） 流线方程流线方程 同一条流线上同一条流线上 （3） 无旋流无旋流 无旋流空间各点，处处满足能量方程。无旋流空间各点，处处满足能量方程。 （4） 涡线方程涡线方程 涡线上满足理想流体能量方程。涡线上满足理想流体能量方程。 0 zyx zyx uuu dzdydx 0, 0, 0 zyx uuu zyx u dz u dy u dx c g up z 2 2 元流能量方程 0, 0, 0 zyx zyx dzdydx （5） 螺旋流动螺

27、旋流动 （涡线与流线相重合）（涡线与流线相重合） 螺旋流动中，全部流动均满足理想流体能量方程。螺旋流动中，全部流动均满足理想流体能量方程。 k uuu z z y y x x 7-6 流体运动的初始条件和边界条件流体运动的初始条件和边界条件 解二阶偏微分方程，需确定方程的定解条件（初始条件和边界条件）。解二阶偏微分方程，需确定方程的定解条件（初始条件和边界条件）。 目前，计算流体力学已广泛应用于解决工程中的流动问题，如何正确目前，计算流体力学已广泛应用于解决工程中的流动问题，如何正确 合理给出初始条件和边界条件尤为重要。具体条件依赖于具体的流动。合理给出初始条件和边界条件尤为重要。具体条件依赖于具体的流动。 以粘性不可压缩流体流动为例以粘性不可压缩流体流动为例 1、初始条件、初始条件 zyxutzyxuu xxx , 00 若恒定流动，不必给出。若恒定流动，不必给出。 2、边界条件、边界条件 边界包括固体壁面，两种流体介质的分界面，管道的出入口等。边界包括固体壁面，两种流体介质的分界面，管道的出入口等。 （1）固体壁面静止）固体壁面静止 0),( fzyx uuu 固壁无滑移条件固壁无滑移条件 （2