2973.抗旱方案的制定

1、抗旱方案的制定摘要2010年以来，我国西南地区干旱范围不断扩大，逐步从云南扩展到四川、贵州、广西西部等地。我们秉着将所学致以所用的初衷，制定了抗旱方案。通过对该题进行分析、讨论、假设、计算等常规数学方法的运用和上网查阅相关抗旱救灾方法的资料及matlab软件、lingo软件和excel 等运用解决了前三年所需的产水量，在既定的产水量和费用最少的前提下，所需打井的个数，最终得到：在从2010年开始，连续三年，政府每年最多可提供60万元用于该村打井和铺设20公里长的管道的条件下，为了保证该村从2010至2014年这五年间每年分别能至少获得150、160、170、180、190万吨水。我们通过合理的

2、推理与计算可得到需打6口井，才能满足上述条件，并使整个计划的总开支最少为169万元。关键词：总开支、可供水量、铺设管道、matlab软件、产水量递减率、excel一、问题重述 自7月份以来，麒麟区气候异常，连续多月降水偏少，4个多月气温偏高，出现了罕见的夏秋冬连旱天气，库塘蓄水严重不足，生产、生活和生态供用水形势十分严峻。面对这种情况，各级部门提出了一系列方案，在解决供水方面。位于我国西南地区的某个偏远贫困村，年平均降水量不足20mm，是典型的缺水地区。过去村民的日常生活和农业生产用水一方面靠的是每家每户自行建造的小蓄水池，用来屯积每逢下雨时获得的雨水，另一方面是利用村里现有的四口水井。由于近

3、年来环境破坏，经常是一连数月滴雨不下，这些小蓄水池的功能完全丧失。而现有的四口水井经过多年使用后，年产水量也在逐渐减少，在表1中给出它们在近9年来的产水量粗略统计数字。2009年以来，由于水井的水远远不能满足需要，不仅各种农业生产全部停止，而且大量的村民每天要被迫翻山越岭到相隔十几里外去背水来维持日常生活。 为此，今年政府打算着手帮助该村解决用水难的问题。从两方面考虑，一是地质专家经过勘察，在该村附近又找到了8个可供打井的位置，它们的地质构造不同，因而每个位置打井的费用和预计的年产水量也不同，详见表2，而且预计每口水井的年产水量还会以平均每年10%左右的速率减少。二是从长远考虑，可以通过铺设管

4、道的办法从相隔20公里外的地方把河水引入该村。铺设管道的费用为（万元），其中表示每年的可供水量（万吨/年），表示管道长度（公里）。铺设管道从开工到完成需要三年时间，且每年投资铺设管道的费用为万元的整数倍。要求完成之后，每年能够通过管道至少提供100万吨水。 政府从2010年开始，连续三年，每年最多可提供60万元用于该村打井和铺设管道，为了保证该村从2010至2014年这五年间每年分别能至少获得150、160、170、180、190万吨水，请作出一个从2010年起三年的打井和铺设管道计划，以使整个计划的总开支尽量节省（不考虑小蓄水池的作用和利息的因素在内）。表1 现有各水井在近几年的产水量（万吨

5、）年份产水量编号2001200220032004200520062007200820091号井32.231.329.728.627.526.125.323.722.72号井21.515.911.88.76.54.83.52.62.03号井27.925.823.821.619.517.415.513.311.24号井46.232.626.723.020.018.917.516.3表2 10个位置打井费用（万元）和当年产水量（万吨）编号12345678打井费用57546553当年产水2536321531282212二、问题分析我国西南部的村民的日常生活和农业生产用水一方面：靠的是每家每户自行建造的

6、小蓄水池，用来屯积每逢下雨时获得的雨水，另一方面：是利用村里现有的四口水井。而现有的四口水井经过多年使用后，年产水量也在逐渐减少，递减数据如表一。通过上面对该村四口井年产水量的的分析，可得出：在20012009年之间的变化的规律，它的出水量在逐年递减，并且它递减的规律大体上是一致的。因此，我们对于抗旱方案的制定有一个大体的布局。通过对上述数据的分析，对每口井的出水量进行求平均值，用平均值来推算2010、2011、2012、2013、2014年的产水量，计算结果如下表三所示。我们再用matlab作图，画出它的变化规律图（如图一所示）。政府打算着手帮助该村解决用水难的问题。从两方面考虑。一是：地质

7、专家经过勘察，在该村附近又找到了8个可供打井的位置，它们的地质构造不同，因而每个位置打井的费用和预计的年产水量也不同，而且预计每口水井的年产水量还会以平均每年10%左右的速率减少。二是：从长远考虑，可以通过铺设管道的办法从相隔20公里外的地方把河水引入该村。政府在三年内预计投资180万元来打井和铺设管道。也就是说，政府每年最多投资60万元中，前两年的全部用完，而第三年有结余。我们通过对每年打井的数目以及它相关的费用，可计算它费用的结余，用结余来修管道。在第三年可修完全部所规定的管道。从而可计算出，三年中打井和铺设管道的所花费的总费用的最小。应用excel可以算出每年的递减率、2010，2011

8、，2012，2013，2014每年的产水量、打的井数、2010,2011,2013铺设管道的长度、剩余的款数。应用lingo软件建立目标函数和约束条件对它进行求解。三、条件假设1. 不考虑小蓄水池的作用和利息的因素在内。2.从2001年到2009年的四口井的平均递减率大致不变。3.不考虑人口增长对供水量的影响。4.假定在管道运输水中没有损耗。5.假设政府拨款及时，全额到款。四符号说明：每年的可供水量（万吨/年）1：表示第一年可供水量（万吨/年）；q2 : 表示在第一年的基础上第二年所需水量（万吨/年）；q3: 表示在前两年的基础上第三年所需水量（万吨/年）；：管道长度（公里）：每年的递减率：四

9、口井的年产水量，（其中i=1，2，3，4，j=1,2,，9）：平均递减率:年数：年产水量（j=1，2，5）:四口井每年产水量的总和：新打井的递减率：新打井的年产水量铺设管道的费用:最小花费：打新井所需的费用五模型的建立与求解模型一： 通过表一中四口井九年的产水量分析，我们用matlab编程做图可以得出产水量的变化图形（相关程序见附录二）：图一 20012009年的年产水量的变化图其中：黄色的线代表的是一号井的产水量，粉色的线代表的是二号井的产水量，蓝绿色的线代表的是三号井的产水量，红色的线代表的是四号井的产水量。由图知每年产水量的递减率的值差不多相等，由此可以用excel算出它们的平均变化量。

10、模型二.通过模型一对平均递减率的分析，可以得出四口井五年的产水量，我们可以建立数学模型；各井每年的产水量的递减率：前9年每口井的平均递减率： 通过上述两式再结合表一中的数值，我们可推算每口井每年的递减率及平均递减率的数值，通过excel计算得到如下图所示的值：年份2001200220032004200520062007200820091号井的产量3231.329.728.627.526.125.323.722.71号井的递减速率0.970.950.960.9615380.94910.96930.9370.9582号井的产量2215.911.88.76.54.83.52.622号井的递减速率0.

11、740.740.740.7471260.73850.72920.7430.7693号井的产量2825.823.821.619.517.415.513.311.23号井的递减速率0.920.920.910.9027780.89230.89080.8580.8424号井的产量046.232.626.7232018.917.516.34号井的递减速率0.710.820.8614230.86960.9450.9260.931 从以上表格中，我们可以很清晰的看到它们的递减率的变化。通过以上的平均递减率，我们可推出2010，2011，2012，2013，2014这5年中的产水量。 我们对以后每年的产水量用

12、以下公式表示：通过用上述公式，并结合四口井的产水量，我们可以算出后几年这四口井的产水量如下表三：表三20102011201220132014平均递减率第一口井的产水量21.73120.80319.91519.06518.2510.957第二口井的产水量1.48651.10480.82110.61030.45360.743第三口井的产水量9.99728.92357.96527.10976.34620.893第四口井的产水量14.10612.20810.5659.14347.9130.865总 量47.32143.03939.26635.92832.963通过对上述数据分析，我们用matlab作图

13、，可得到如下图二所示：（见附表一）图二其中：黄色的线代表的是一号井的产水量，粉色的线代表的是二号井的产水量，蓝绿色的线代表的是三号井的产水量，红色的线代表的是四号井的产水量。模型三编号12345678打井费用57546553当年产水2536321531282212政府从2010年开始，连续三年，每年最多可提供60万元用于该村打井和铺设管道，为了保证该村从2010至2014年这五年间每年分别能至少获得150、160、170、180、190万吨水。为此，我们可建立如下模型： 我们通过excel对它们进行统计学分析，可得到下表中的数值以及它们的花费情况：最小供水量新打井的最小产水量年份新打井的编号总

14、和356812150102.6791045201032312812103160116.960593201128.827.925.210.825117.7170130.73369201225.9225.1122.689.7222.536141.93180142.333553201323.32822.59920.4128.74820.2532.4127.737190155.3724581201420.995220.339118.37087.873218.22529.16114.9633由上表可知2010年可以选用编号为3，5，6，8号井进行打井，其产水量为103万吨；2011是在2010年各个井产

15、水量的基础上以10%的速率递减，则产水量不满足2011年的供水量，则需增加一口编号为1的新井才能满足供水量，其这五口井的总产水量为117.7万吨；2012年产水量不满足2012年的供水量，则需增加编号为2的井，其这六井的总产水量是141.93。在2013年时的供水量由新打井和管道共同供水。新打井供水量为127.737万吨。我们依次类推，可以计算出每年的供水量。打井和铺设管道所需的费用如下：每年政府提供的款打井用的款l6019415.93253605557.958272607536.1091997.668881.559681余款10.779032010年打井的费用为19万元，剩余41万元用来铺设

16、管道。由此公式可以计算出2010年所铺设管道的长度为5.93253公里同理，可计算出2011年打井的费用为5万元，剩余55万元用来铺设管道。计算其长度为7.958272公里；由此可知2013年铺设管道的长度为6.109199公里，花费42.22097万元。综上所述，打井和铺设管道总的最小花费是：由此公式可以计算出最小花费为169.22097万元。余款为：10.77903万元。根据上面可知这十二口井要满足村民的需要可提供39年。（见附表3）模型四：根据已知条件，可以得出：总费用：p1 =0.66q0.51l; p2=， 又因为产水量与费用相关联，从而求产水量q最小及费用p2最小,那么q=，（i=

17、1,2,3）根据三年所需水量的要求，我们可以理出以下等式，150+160+170-=+q3;即： 480-129.6=q1+0.9q1+0.92q1+q2+0.9q2+q3;化简得： 2.71q1+1.9q2+q3=360.4;从而得到：minq=q1+q2+q3; q1150-47.3 q2160-43-102.7*0.9; s.t. q3170-39.3-24.57*0.9-102.7*0.92 q1,q2,q30;利用lingo软件：（见附表4）得出： q1 = 106.3900 q2 = 24.57000 q3 = 25.40000 后的就和上面的模型三、四一样 。六.模型推广从201

18、5年开始到2060年所有井的产水量将接近枯竭，该村的供水量将由管道直接提供。由于经过45年后管道供水量不足以提供该村的生活用水及农业用水等。需重新选则合理的位置进行打井，配合管道提供该村的用水量。七.模型的评价优点：运用matlab做图可以直观的反映出产水量的变化规律，及简单有省时。运用平均思想进行数据的处理。缺点:计算量太大，数据处理不便，计算过程过于繁琐八.参考文献1.matlab实用教程 郑阿奇 2数学建模与数学实验 赵静 但琦3.九-附录 附表一：x=2010:1:2014y1=21.7,20.8,19.9,19.1,18.3plot(x,y1,y)hold onplot(x,y1,o

19、)y2=1.5,1.1,0.8,0.6,0.5plot(x,y2,m)hold onplot(x,y2,.)y3=10.0,8.9,8.0,7.1,6.3plot(x,y3,c)hold onplot(x,y3,*)y4=14.1,12.2,10.6,9.1,7.9plot(x,y4,r)hold onplot(x,y4,+)hold onplot(x,y1,y2,y3,y4,mo)附表二：x=2001:1:2009y1=32.2,31.3,29.7,28.6,27.5,26.1,25.3,23.7,22.7;plot(x,y1,y)hold onplot(x,y1,o)y2=21.5,15.

20、9,11.8,8.7,6.5,4.8,3.5,2.6,2.0;plot(x,y2,m)hold onplot(x,y2,.)y3=27.9,25.8,23.8,21.6,19.5,17.4,15.5,13.3,11.2;plot(x,y3,c)hold onplot(x,y3,*)y4=0.0,46.2,32.6,26.7,23.0,20.0,18.9,17.5,16.3;plot(x,y4,r)hold onplot(x,y4,k+)hold onplot(x,y1,y2,y3,y4,mo)（附表3）速率0.9总和最小供水量3568150102.68201032312812110316011

21、6.96201128.827.925.210.8252117.7170130.73201225.9225.1122.689.7222.536141.93180142.33201323.32822.620.418.74820.2532.4127.737190155.37201420.99520.3418.377.873218.22529.16114.9633201518.89618.3116.537.0858816.402526.244103.467201617.00616.4714.886.37729214.7622523.619693.12027201715.30614.8313.395.7

22、3956313.2860321.2576483.80825201813.77513.3412.055.16560711.9574219.1318875.42742201912.39712.0110.854.64904610.7616817.2186967.88468202011.15810.819.7634.1841419.68551215.4968261.09621202110.0429.7288.7873.7657278.71696113.9471454.9865920229.03778.7557.9083.3891547.84526512.5524249.4879320238.1347.

23、887.1173.0502397.06073811.2971844.5391420247.32067.0926.4062.7452156.35466510.1674640.0852220256.58856.3835.7652.4706945.7191989.15071736.076720265.92975.7445.1882.2236245.1472788.23564532.4690320275.33675.174.672.0012624.632557.41208129.2221320284.8034.6534.2031.8011364.1692956.67087326.2999220294.

24、32274.1883.7821.6210223.7523666.00378523.6699220303.89053.7693.4041.458923.3771295.40340721.3029320313.50143.3923.0641.3130283.0394164.86306619.1726420323.15133.0532.7571.1817252.7354754.3767617.2553720332.83612.7482.4821.0635532.4619273.93908415.5298420342.55252.4732.2330.9571972.2157353.54517513.9

25、768520352.29732.2252.010.8614781.9941613.19065812.5791720362.06752.0031.8090.775331.7947452.87159211.3212520371.86081.8031.6280.6977971.615272.58443310.1891320381.67471.6221.4650.6280171.4537432.325989950721.461.3190.5652151.3083692.0933918.25319220401.35651.3141.1870.5086941.1775321.88

26、40517.42787320411.22091.1831.0680.4578251.0597791.6956466.68508620421.09881.0640.9610.4120420.9538011.5260826.01657720430.98890.9580.8650.3708380.8584211.3734745.41491920440.890.8620.7790.3337540.7725791.2361264.87342720450.8010.7760.7010.3003790.6953211.1125144.38608520460.72090.6980.6310.2703410.6257891.0012623.94747620470.64880.6290.5680.2433070.563210.9011363.55272920480.58390.5660.5110.2189760.5068890.8110223.19745620490.52550.5090.460.1970780.45620.729922.8777120500.4730.4580.4140.1773710.410580.6569282.58993920510.42