理论力学003理力-平面一般力系

1、1 2 第三章第三章 平面任意力系平面任意力系 平面任意力系平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一 点又不相互平行的力系，叫平面任意力系平面任意力系。 例例 力系向一点简化力系向一点简化：把未知力系（平面任意力系）变成已知 力系（平面汇交力系和平面力偶系） 3 第三章第三章 平面任意力系平面任意力系 31 力线平移定理力线平移定理 32 平面任意力系向一点简化平面任意力系向一点简化 33 平面任意力系的简化结果平面任意力系的简化结果 合力矩定理合力矩定理 34 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 35 平面平行力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程 3

2、6 静定与静不定问题的概念静定与静不定问题的概念物体系统的平衡物体系统的平衡 37 平面简单桁架的内力分析平面简单桁架的内力分析 平面任意力系习题课平面任意力系习题课 4 3-1 3-1 力线平移定理力线平移定理 力的平移定理力的平移定理：可以把作用在刚体上点A的力 平行移到任一 点B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶 的矩等于原来的力 对新作用点B的矩。F F 证证 力力 力系力系），力偶（力FFF FFF , , F 5 力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力 力力+力偶力偶 （例断丝锥）（例断丝锥） 力平移的条件是附加一个力偶力平移的条件是附加一个力偶

3、m，且，且 m 与与 d 有关，有关，m=Fd 力线平移定理是力系简化的理论基础。力线平移定理是力系简化的理论基础。 说明说明： 6 3-2 3-2 平面任意力系向一点简化平面任意力系向一点简化 任意力系（一般力系）任意力系（一般力系）向一点简化 向一点简化 汇交力系 汇交力系+力偶系力偶系 （未知力系） （已知力系） 汇交力系 力 ， R(主矢主矢) ， (作用在简化中心) 力 偶 系 力偶 ，MO (主矩主矩) ， (作用在该平面上) 7 大小大小： 主矢主矢 方向方向： 简化中心简化中心 (与简化中心位置无关) 因主矢等于各力的矢量和 R iFFFFR321主矢 )()()( 21 32

4、1 iOOO O FmFmFm mmmM 主矩 22 22 )()(YXRRR yx X Y R R x y 11 tgtg （移动效应（移动效应） 8 大小大小： 主矩主矩MO 方向方向： 方向规定 + 简化中心简化中心： (与简化中心有关) （因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和） )( iOO FmM （转动效应转动效应） 固定端（插入端）约束固定端（插入端）约束 雨 搭 车 刀 9 固定端（插入端）约束固定端（插入端）约束 说明：说明： 认为认为Fi这群力在同一平面内这群力在同一平面内; 将将Fi向向A点简化得一力和一点简化得一力和一 力偶力偶; RA方向不定可用正交分力方向不定可用正

5、交分力YA, XA表示表示; YA, XA, MA为固定端约束反力为固定端约束反力; YA, XA限制物体平动限制物体平动, MA为限为限 制转动。制转动。 10 3-3 3-3 平面任意力系的简化结果平面任意力系的简化结果 合力矩定理合力矩定理 简化结果：主矢 ，主矩 MO ，下面分别讨论。 =0，MO0，即简化结果为一合力偶 MO=M ，此时 刚体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体 平面内任意移动，故这时主矩与简化中心O无关。 R =0， MO =0，则力系平衡，下节专门讨论。 R R R 0，MO =0，即简化为一个作用于简化中心的合力。这 时简化结果就是合力（这个力系的合力）

6、， 。 （ 此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零） RR 11 R 0，MO 0，为最一般的情况。此种情况还可以继续可以继续 简化为一个合力简化为一个合力 。 R 合力合力 的大小等于原力系的主矢的大小等于原力系的主矢 合力合力 的作用线位置的作用线位置 R M d O R R 12 结论结论： )( 1 n i iOO FmM )()(主矩 OO MdRRm )()( 1 n i iOO FmRM 平面任意力系的简化结果平面任意力系的简化结果 ：合力偶合力偶MO ； 合力合力 合力矩定理合力矩定理：由于主矩 而合力对O点的矩 合力矩定理 由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。

7、即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系 中各力对于同一点之矩的代数和。中各力对于同一点之矩的代数和。 R 13 3-4 3-4 平面任意力系的平衡条件与平衡方程平面任意力系的平衡条件与平衡方程 由于 =0 为力平衡 MO=0 为力偶也平衡 R 所以 平面任意力系平衡的充要条件为平面任意力系平衡的充要条件为： 力系的主矢力系的主矢 和主矩和主矩 MO 都等于零都等于零，即： 0)()( 22 YXR 0)( iOO FmM R 14 0X 0)( iA Fm 0)( iB Fm 二矩式二矩式 条件：条件：x 轴不轴不AB 连线连线 0)(

8、 iA Fm 0)( iB Fm 0)( iC Fm 三矩式三矩式 条件：条件：A、B、C 不在同一直线上不在同一直线上 上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。 0X 0 Y 0)( iO Fm 一矩式一矩式 15 例例1 已知：P，a ， 求：A、B两点的支座反力。 解解： 选AB梁研究； 画受力图（以后注明 解除约束，可把支反 力直接画在整体结构 的原图上）； 列平衡方程： 0)( iA Fm由 3 2 , 032 P NaNaP BB 0X0AX 0Y 3 , 0 P YPNY ABB 解除约束 16 例例2 悬臂吊车如图 a) 所示。A、B、C

9、处均为铰接。AB梁自 重W14 kN，载荷重Wl0 kN，BC杆自重不计，有关尺寸如 图 a) 所示。求BC杆所受的力和铰A处的约束反力。 17 解解 (1) 选AB梁为研究对象，画出分离体图。在AB梁上主动力 有W1，和W；约束反力有支座A处的反力FAx和FAy；由于BC为 二力杆，故B处反力为FBC，该力系为平面一般力系，受力图如 图 b)所示。 (2) 列平衡方程并求解。选取坐标轴如图 b)所示。为避免 解联立方程，在列平衡方程时尽可能做到一个方程中只包含一 个未知量，并且先列出能解出未知量的方程，于是有 Fx=0， Fy=0， 1.MA(F)=0， 045cos o BCAx FF 0

10、45sin 1 o WWFF BCAy 04345sin6 1 o WWFBC 解得：kN3 .12kN33. 5kN67. 8 BCAyAx FFF， 18 例例3 自重W100 kN的T形刚架ABD，置于铅垂面内，载 荷如图 a)所示。已知M20 kNm，F400 kN，q20 kN/m， Ll m。求固定端A处的约束反力。 19 解解 (1) 取T形刚架为研究对象，其上作用有主动力W、F、 M和线性分布载荷。将线性分布载荷化为一合力，其大小等于 线性分布载荷的面积，即F1q3L230 kN，其作用线作 用于三角形分布载荷的几何中心，即距点A为L处。约束反力 有FAx，FAy和MA。其受力

11、与坐标如图 b)所示。 (2) 列平衡方程： Fx=0， Fy=0， MA(F)=0， 060sin o 1 FFF Ax 060cos o FWFAy 060sin360cos oo 1 FLFLLFMMA 解得： kN2 .789kN100kN4 .316 AAyAx MFF， 20 设有F1, F2 Fn 各平行力系， 向O点简化得： 合力作用线的位置为： 平衡的充要条件为 主矢 =0 主矩MO =0 F xF R M x iiO R R FRR O 主矢 iiiOO xFFmM)(主矩 3-5 3-5 平面平行力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程 平面平行力系平面平行力系：各力的作用线

12、在同一平面内且相互平行的力系， 叫平面平行力系。 21 所以 平面平行力系的 平衡方程为： 0)( iA Fm 0)( iB Fm 二矩式二矩式 条件：条件：AB连线不能平行连线不能平行 于力的作用线于力的作用线 0Y 0)( iO Fm 一矩式一矩式 实质上是各力在x 轴上的投影 恒等于零，即 恒成立 ，所以只有两个独立方 程，只能求解两个独立的未知 数。 0X 22 0, 0 A XX由 02 2 ; 0)( aPm a aqaR Fm B A 0Y0PqaRY BA )kN(12202 8 .0 16 2 8 .020 2 2 P a mqa R B )kN(24128 .02020 B

13、A RqaPY 例例4 已知：P=20kN, m=16kNm， q=20kN/m， a=0.8m， 求：A、B的支反力。 解：研究AB梁 解得： 23 例例5 塔式起重机如图所示。机架自重W1500 kN，其作 用线至右轨的距离e0.5 m，最大起重量W2250 kN，其作用 线至右轨的距离L10 m，轨道AB的间距b4 m，平衡重W到 左轨的距离a6 m。若W=300 kN，W2250 kN，求轨道A、B 对两轮的反力。 24 解解 取起重机为研究对象。画出受力图如图所示，该力系为 一平面平行力系。其平衡方程为 Fy=0， MB(F)=0， 解得 0 12 WWWFF BA 0)( 21 L

14、WeWbFbaW A kN5 .987kN5 .62 BA FF， 讨论：为了保证起重机安全工作，设计时需要考虑两种翻倒 情况。 (1) 当满载时，为了使起重机不绕B点翻倒，考虑平衡的临 界状况FA0，这时列MB(F)0的平衡方程，可求出平衡重 的最小值Wmin275 kN ， 25 (2) 当空载时，为了使起重机不绕A点翻倒，考虑平衡的临 界状况FB0，这时列MA(F)0的平衡方程，可求出平衡重 的最大值Wmax375 kN 。实际工作时不允许处于极限状态，需 使其安全工作，平衡重应在这两者之间，即WminWWmax。 26 3-6 3-6 静定与静不定问题的概念静定与静不定问题的概念 物体

15、系统的平衡物体系统的平衡 一、静定与静不定问题的概念一、静定与静不定问题的概念 我们学过：我们学过： 平面汇交力系 两个独立方程，只能求两个独立未知数。 一个独立方程，只能求一个独立未知数。 三个独立方程，只能求三个独立未知数。 0X 0Y 0 i m 0X 0Y 0)( iO Fm 力偶系 平面 任意力系 当：独立方程数目独立方程数目未知数数目时，是静定问题（可求解）未知数数目时，是静定问题（可求解） 独立方程数目独立方程数目 未知力数目为静定问题 独立方程数 = 未知力数目为静不定问题 五、物系平衡五、物系平衡 物系平衡时，物系中每个构件都平衡， 解物系问题的方法常是：由整体由整体 局部局

16、部 单体单体 52 六、解题步骤与技巧六、解题步骤与技巧 解题步骤解题步骤 解题技巧解题技巧 选研究对象选研究对象 选坐标轴最好是未知力选坐标轴最好是未知力 投影轴；投影轴； 画受力图（受力分析）画受力图（受力分析） 取矩点最好选在未知力的交叉点上；取矩点最好选在未知力的交叉点上； 选坐标、取矩点、列选坐标、取矩点、列 充分发挥二力杆的直观性；充分发挥二力杆的直观性； 平衡方程。平衡方程。 解方程求出未知数解方程求出未知数 灵活使用合力矩定理。灵活使用合力矩定理。 七、注意问题七、注意问题 力偶在坐标轴上投影不存在；力偶在坐标轴上投影不存在； 力偶矩力偶矩M =常数，它与坐标轴与取矩点的选择无

17、关。常数，它与坐标轴与取矩点的选择无关。 53 解解： 选整体研究 ； 受力如图； 选坐标Bxy； 列方程为： 解方程得 ： 0X; 0BX 0 B m0DEPM B )mN(100011000 B M 0Y; 0 PYB PYB 例例1 已知各杆均铰接，B端插入地内，P=1000N， AE=BE=CE=DE=1m，杆重不计。 求AC 杆内力？B点的反力？ 八、例题分析八、例题分析 54 受力如图 取E为矩心，列方程 解方程求未知数 045sin, 0 EDPCESm o CAE )N(1414 1707. 0 11000 45sin CE EDP S o CA 再研究CD杆 55 例例2 已

18、知已知:P=100N, AC=1.6m,BC=0.9m,CD=EC=1.2m,AD=2m 且AB水平, ED铅垂,BD垂直于 斜面。 求 ?和支座反力？ 解解： 研究整体； 画受力图； 选坐标，列方程： BD S 02 . 15 . 2, 0 PYm AB 0sincossin , 0 PYXX AA 5 3 2 2 . 1 cos ; 5 4 2 6 . 1 sin AD CD AD AC 而 N48 ;N136 : AA YX解得 56 再研究AB杆，受力如图 0sin , 0 ACYCBSm ABC 由 N7 .106 5 4 9 . 0 6 . 1)48( sin : BC ACY S A B 解得 57 （a） （b） 例例3 图 a)所示的组合梁由AC和CD组成，不计自重。已知 F20 kN，q10 kN/m，M20 kNm，l1 m。试求插入端 A和滚动支座B处的约束反力。 58 解解 (1) 先取整体为研究对象。在其上作用有主动力F、M、 q和插入端A和滚动支座B处的约束反力FAx、FAy、MA和FB。列 出平衡方程 Fx0， (a) Fy0， (b) MA(F)0， (c) 以上三个方程包含四个未知量，必须再补充方程才能求解。 030sin60cos oo FFF BAx