例析数形结合思想在一次函数中的应用（可编辑）

1、例析数形结合思想在一次函数中的应用 例析数形结合思想在一次函数中的应用宁波市曙光中学 陈怡颖 数与形,是两个最古老,最基本的研究对象,数是形的抽象概括,形是数的直观表现。在数学中我们把数与形结合起来研究数学问题的方法叫做数形结合。数形结合,就是把问题的数量关系转化为图形的性质,把图形性质转化为数量关系,从而使复杂的问题简单化,抽象的问题具体化。它主要有两个方面:以“数”解“形”,以“形”助“数”。 一次函数是初中数学的一个重点,数形结合思想在一次函数中的应用也是中考命题的一个热点。本文结合教学实践,谈谈数形结合思想在一次函数解题中的几个应用。 以“数”解“形”?把复杂的过程简单化 函数图象形象

2、地展示了函数的性质,为我们研究数量关系提供了“形”的基础,因此在这类一次函数的问题中,我们应抓住特殊的点,及其所表示的实际意义,从而把复杂的过程简单化,把几何的问题代数化。 例1,如图所示,在x轴上有五个点,它们的横坐标依次为1,2,3,4,5.分别过这些点作x轴的垂线与三条直线yax,y(a+1)x,y(a+2)x相交,其中a0.则图中阴影部分的面积是() a.12.5b.25c.12.5ad.25a 分析:此题初看比较复杂,从几何的角度解题,首先想到的是平移,但图中阴影部分的梯形和空白部分的梯形是不全等的,无法通过平移转移到同一个三角形中;如果把图中8条直线15个交点坐标都求出来,计算量太

3、大,不可行。但仔细分析可以发现,这些梯形的顶点都在一次函数图象上,因此它们满足函数解析式,而这三个一次函数解析式又是有联系的,以最右边的阴影部分梯形为例,虽然它与下面的空白部分梯形并不全等,但它们的上底都是4,下底都是5,可由当自变量分别为4和5所对应的函数值确定,梯形的高为1,因此它们的面积是相等的。其余阴影部分的面积亦同理可得。因此这里阴影部分的面积就是,直线yax,y(a+1)x,x5所围成的三角形面积。,故选a。 解此题的关键在于,把不规则的图形转化为规则的图形,光从“形”的角度无法从平移实现,那么就要借助“数”,通过一次函数图象上的点满足解析式,以及点的横纵坐标所表示的实际意义解出梯

4、形的底和高。 例2,如图,已知一次函数ykx+b的图象经过a(-2,-1),b(1,3)两点,并且交x轴于点c,交y轴于点d. (1)求一次函数解析式; (2)求线段cd的长; (3)求aob的度数。 分析:(1)是基础题,根据两点确定一条直线,用待定系数法把a,b两点代入即可得函数解析式。(2)要求cd的长,可根据c,d两点的坐标所表示的几何意义得到线段od,oc的长度,通过解直角三角形来解决。在(3)中,aob是个钝角三角形,直接求aob的度数比较复杂,可以转化为求它的补角。且题中各点的坐标已知,可以用坐标的几何意义求线段的长度,由勾股定理的逆定理将边的条件转化为角的条件。 解:(1)把a

5、(-2,-1),b(1,3)代入ykx+b,得 (2)令x0,y, 令y0,x, 由勾股定理可得,cd (3)取点a关于原点的对称点e(2,1),则点a,o,e在同一直线上, 由勾股定理可得,oe,be,ob eob是等腰直角三角形 boe45,aob135。 此题难度在于第(3)小题,当面对这样一个不规则的三角形的时候,求角度,“形”的角度显得一筹莫展,此时如果能用好平面直角坐标系这个大环境,熟知点的横纵坐标所表示的几何意义,用“数”的途径求得边长,再通过勾股定理这座桥梁,求出角的度数。 总结:在一次函数中,沟通“数”与“形”的就是图象,根据图象上的点坐标满足解析式,找到横纵坐标之间的联系,

6、过点向坐标轴作垂线,坐标又能应用于构造直角三角形,易求线段的长度,图形的面积等几何量,从而将不规则的图形、难求的数量关系转化成规则的、易求的,将复杂的过程简单化。 以“形”助“数”?把抽象的问题具体化 很多问题,仅从代数角度考虑,很难入手,如果借助图象的直观性将抽象的数学概念、复杂的数量关系具体化,形象化,给人以直观的感受,那么很多难题都将迎刃而解。在数学学习过程中,通过以“形”助“数”,突出图的形象思维,促进形象思维和抽象思维的有机结合,往往会收到事半功倍的效果。 例3,如图,直线l1?yx+1与直线l2?ymx+n相交于点p(a,2),则关于x的不等式x+1mx+n的解为_ 分析:由两直线

7、相交于点p,可得,a1,但直线l2?ymx+n上已知的点只有一个,无法确定其解析式,因此无法从解不等式的方向解此题。我们需要充分利用一次函数图象的性质,观察不等式,可以发现,不等式的左边,x+1,恰好是直线l1的函数值,即直线l1上点的纵坐标;不等式的右边,mx+n,是直线l2的函数值,即直线l2上点的纵坐标;因此,原不等式的解,就是去寻找能使l1的纵坐标大于等于l2的纵坐标的点所对应的横坐标。由图象易知,当x1时满足,即不等式的解为x1。 本题中,运用一次函数的图象和性质,把数和形巧妙的结合起来,把“数”的问题求解不等式转化为“形”的问题寻找纵坐标符合题意的点,大大减少了计算量,提高解题速度

8、和解题准确率。 在一次函数的学习中,这种根据函数图象的性质和图象中的特殊的点来解决代数问题应用非常广泛,比如两直线的交点坐标和二元一次方程之间的关系;一元一次不等式和函数图象的关系。总之,在求解代数问题的过程中,用“形”的眼光看问题,能带给我们不一般的收获。 例4,已知x,y为正实数,且满足一次函数y4-x的关系,求的最小值。 分析:本题是一个含有根式的代数式求最值问题,问题非常抽象,从代数的角度无从下手,但是观察代数式的形式,我们不难发现可以看成一个直角边长为x,1的直角三角形的斜边,可看成是直角边长为y,4的直角三角形的斜边,这样我们可以想办法构造两个直角三角形,并且x,y之间满足x+y4

9、的关系。 作法:(1)如图,作长为4的线段ab,过a,b两点在ab的同侧作垂线ac,bd,使ac1,bd2; (2)设p为ab上的一个动点,pax,pby,则有x+y4。连结pc,pd,则pc, pd 我们惊喜地发现,这个无从下手的代数问题就转化成了,在线段ab上找一点p,使得pc+pd最短这样一个几何问题了,这类问题我们非常熟悉,?用对称点求最短路程。 (3)作点c关于直线ab的对称点c1,连结dc1交ab于点p,则点p即为所求。 根据两点之间,线段最短。线段c1d的长度即为所求的最小值。构造rtdmc1,dm2+13,mc14,则dc15,即的最小值为5 解本题的关键在于,观察代数式的特点

10、,在中学数学中,勾股定理涉及到了这样的关系,通过构造直角三角形实现“以形助数”,另一方面,x和y是两个变量,所以在图形的构造中,用一个动点实现两条线段长度的变化。这样,从几何的角度来看待最小值问题,即最短路程问题,就大大降低了难度,体现了几何的直观性。 总结:“以形助数”就是把代数问题通过观察和证明转化为几何问题,用几何的方法加以解决,几何法使原本抽象的过程具体化,形象化,还可减少计算量。在这一过程中,如何转化是问题的关键,这就需要一双“慧眼”观察代数问题中的形式、特点,结合已有的性质、定理,化繁为简。这是一个长期的,贯穿于整个数学学习过程中的,积累的过程,要做到“脑中有形,心中有数”。 “数

11、”“形”结合?把实际的问题模型化 函数的魅力在于,它可以把现实生活中比较复杂的、变化的问题通过函数模型加以解决。从数的角度,函数就像一部机器,对于每一个不同的情况所对应的自变量,通过函数的“加工”就能找到对应的函数值。从形的角度,函数图象可以直观的确定一元一次不等式的解、二元一次方程组的解。因此,在遇到情境复杂的实际问题时,需要把数和形结合起来,建立函数模型加以解决。 例5,某家电信公司提供了两种方案的移动通讯服务的收费标准,如下表:a方案b方案每月基本服务费30元50元每月免费通话时间120分200分超出后每分收费0.4元0.4元如果请你选择其中一种方案,应如何选择? 分析:本题是较优方案选

12、择问题,在初中数学中比较常见,这类问题通常可以通过函数的模型加以解决。通话的费用与通话的时间有关,因此先建立通话费用y关于通话时间x的函数关系。接下来有两种解法,从“数”的角度,化归为解一元一次不等式或方程来求解;从“形”的角度,画出各个函数的图象,求出交点坐标,分析每一段图象的位置来比较方案的优劣。 解:设每月通话时间为x分,a方案通话费用为y1,b方案通话费用为y2,则 在同一坐标系中画出函数图象,如图 观察图象可得, 当时,此时应选择a方案 。 当x170时,两种方案都一样。 当x170时,此时应选择b方案。 例6,在一天中,时针、分针能重合几次,分别在什么时间? 分析:此题是现实生活中

13、非常熟悉的问题,由于时针和分针同时在转动,学生在解题的中难以想象这一过程,如果将这一过程用一次函数模型来刻画,以钟面圆心到12点这条线段为基准,建立时针、分针这两个变量与基准线所夹角之间的函数关系,然后用函数图象加以解决,就能达到化繁为简的效果。 解:以0?12时为例,从0时开始,为了研究方便,将分针与分针起始位置op(如图)的夹角记为y1,时针与op的夹角记为y2度(夹角是指不大于平角的角),旋转时间记为x分钟,绘制函数图象。 在时针和分针与op的交角y随时间x变化的函数图象中,我们可以很容易得到结论,两函数图象的交点c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m为所求的时针与分针重合的情况,另

14、外的交点则是时针与分针关于直线op对称,即所夹角度相等但在op的两侧,不合题意。因此,在0?12时内,时针与分针有11次重合,那么一天中共有22次。更进一步的,在什么时间时针与分针重合,这个问题可以转化为求这些交点的横坐标,由图象可得y1,y2关于x的函数解析式,交点坐标可通过联立方程组得到。 解得交点的近似坐标:c(0,0) d(65.38,35.28) e(130.85,65.11) f(196.32,97.93) m(261.79,130.76) g(327.26,163.59) h(392.73,163.59) i(458.18,130.76) j(523.61,97.93) k(589.09,65.11) l(654.55,35.28) 总结:在实际的应用问题当中,情境比较复杂,变化的量多,让人理不清头绪,这个时候,找出题目要研究的变量对象,在多个变量之间寻找一个有关联的自变量,建立函