第5章刚体力学

1、1 2 5-1 5-1 刚体的运动刚体的运动 刚体：物体上任意两点之间的距离保持不变。 在力的作用下不发生形变的物体在力的作用下不发生形变的物体 刚体是任意两质元间距离保持不变的特殊质点系 3 平动 刚体在运动过程中，其上任意两点的连线 始终保持平行。 可以用质点动力学的方法 来处理刚体的平动问题。 注： 5-1-1 刚体的平动 4 转动： 刚体上所有质点都绕同一直线做圆周运动。 这条直线称为转轴。 定轴转动： 转轴固定不动的转动。 5-1-2 刚体的定轴转动 5 z i mi r d i v 角速度: td d 0,沿z轴正方向； 0,沿z轴正方向； 0,沿z轴负方向。 6 5-2 5-2

2、刚体的定轴转动刚体的定轴转动 力矩的定义： FrM 绕定轴转动的力矩分量： 大小为： z O k F r z F F FrM z sin rFM z 5-2-1 力矩 7 质点系对z轴的角动量定理： iiiiz mr t Mv d d ii rv )( d d 2 iiiz rm t M 2 iir mJ , z O i m i F i r i v 令 单位：kgm2 J 为刚体对Oz轴的转动惯量。 5-2-2 转动定理 8 t JM z d d 或JM z 刚体在做定轴转动时，刚体的角加速度与它 所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯 量成反比。 转动定理： JM z amF 比较： 转动惯

3、量转动惯量J是刚体转动惯性的量度是刚体转动惯性的量度 9 转动惯量转动惯量J是刚体转动惯性的量度是刚体转动惯性的量度 2 iir mJ 对于质量连续分布的刚体： VV VrmrJdd 22 SS SrmrJdd 22 （质量面分布） LL lrmrJdd 22 （质量线分布） （质量体分布） 5-2-3 转动惯量 10 设物体的总质量为m，刚体对给定轴的转动惯量为J， 则定义物体对该转轴的回转半径rG为： m J r G 2 G mrJ 回转半径 结论： 刚体的转动惯量与刚体的形状、大小、质量的分布 以及转轴的位置有关。 G r z 11 x z 例1 计算质量为m,长为l 的细棒绕一端的转动

4、惯量. mrJd 2 解 x l m xmddd 22 xr ll x l m x l m xJ 0 3 0 2 3 1 d 2 3 1 mlJ dx dm x O C 2 2 2 d l l C x l m xJ 2 12 1 mlJ C 12 r dro R 例2 一质量为m,半径为R的均匀圆盘,求对通过盘 中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。 解rrmd2d mrJd 2 rr d2 3 R rrJ 0 3d 2 2 4 2 1 2 mR R 13 m R Jz z 平行轴定理 若刚体对过质心的轴的转动惯量为JC ，则刚体对与 该轴相距为d 的平行轴z的转动惯量Jz是 2 mdJJ Cz J

5、C C 2 2 1 mRJC 22 2 1 mRmRJ z 2 2 3 mR 14 垂直轴定理 无穷小厚度的薄板对与它垂直的坐标轴的转动惯量， 等于薄板对板面内另两互相垂直轴的转动惯量之和。 z O y x yxz JJJ 2 2 1 mRJ z yx JJ 2 4 1 mRJ x 圆盘： 15 例3 计算钟摆的转动惯量.(已知:摆锤质量为m,半 径为r,摆杆质量也为m,长度为2r) r O 解摆杆转动惯量： 2 2 1 3 4 2 3 1 mrrmJ 摆锤转动惯量： 2 2 22 2 2 19 3 2 1 mrrmmrmdJJ C 222 21 6 65 2 19 3 4 mrmrmrJJJ

6、 16 例4 质量为m0的实心滑轮,半径为R.一根细绳绕在滑轮 上,一端挂一质量为m的物体.求(1)物体的加速度;(2) 滑轮角加速度;(3)绳子的张力. 解 0 2 2 mm mg a g mm mm F 0 0 2 T m0 m mg FT Rmm mg )2( 2 0 maFmg T 2 0 2 1 RmRF T Ra 联立解得： 17 例5 如图,质量mA物体放在光滑桌面上,用轻绳绕过 质量为mC的定滑轮与质量mB的物体连接.定滑轮半径 R,绳与滑轮无相对滑动,不计轴处摩擦.开始时所有 物体和定滑轮静止. 然后物体开始下落.求下落过程 中mB的加速度,AC、BC间绳的张力. 解 A B

7、 A m B m C R C m 隔离物体受力分析 A gmA 1 N 1 T 1 T 2 T B gmB 2 T a C 18 对mA： 对mB： amT A 1 amTgm BB 2 对定滑轮mC： 2 12 2 1 RmRTRT c 联立解得 Ra CBA B mmm gm a )( 2 2 CBA BA mmm gmm T )( 2 2 1 CBA BCA mmm gmmm T )( 2 )2( 2 19 dsinddrFsFA z O d sd P F r ddMA 力矩对刚体所作的功： 0 dMA sinFrM 力矩： M t M t A P d d d d 功率： 5-3 5-3

8、 力矩的功力矩的功 转动动能转动动能 5-3-1 力矩的功 20 5-3-2 转动动能 第i个质元的动能： 2 22 2 1 2 1 iiiii rmmEv k 整个刚体的转动动能： 2 2 2 1 iii rmEE kk 2 2 )( 2 1 iir m 2 2 1 JE k z mi i r i v 21 元功：ddMA 由转动定理 t JM d d dd d d dJ t JA 有 2 1 d JA 2 1 2 2 2 1 2 1 JJ 刚体绕定轴转动的动能定理 ：合外力矩对刚体所做的功等 于刚体转动动能的增量。 5-3-3 刚体定轴转动的动能定理 22 例6 一飞轮转动惯量为J,现有一

9、制动力矩M = -k 作用在其上,使得飞轮的转动角速度由0减小到0/2, 问在此过程中所需的时间和制动力矩所做功各是多 少？ 解制动力矩所做的功等于 飞轮转动动能的增量： 2 0 2 0 20 8 3 2 1 ) 2 ( 2 1 JJ JA 转动定理： t JM d d t J k d d t t J k 0 2 d d0 0 2ln k J t 积分： 23 5-4 5-4 刚体的功和能刚体的功和能 刚体的重力势能： C O x y i m i h C h c mgh i m i h i m mg i gh i mEp 即刚体的重力势能相当于质量集中在刚体 质心的重力势能。 24 刚体的机械

10、能： CCC mghJmE 22 2 1 2 1 v 功能原理： 12 EEAA 非保内外 机械能守恒定律： 12 EE 0 非保内外 AA 25 例7 质量为m,长为l 的均质细杆,转轴在O点，距A端 l/3 处。今使棒从静止开始由水平位置绕O点转动，求 杆转到竖直位置时A点的速度。 解 2 mdJJ CO 2 2 2 9 1 612 1 ml l mmlJO 2 2 1 6 O J l mg C O B A 机械能守恒： l g3 33 gll A v E Ep p=0=0 26 方法二 t JM d d d d 9 1 d d 9 1 cos 6 22 ml t ml l mg dcos

11、 2 3 d l g ddcos 2 3 2 00 l g l g l g 2 3 sin 2 3 2 12 0 2 l g3 0 C O B A 27 例8 A、B两盘无摩擦转动,绳与圆盘间无相对滑动. 已知A、B半径分别为R1,R2,A、B、C质量分别为 m1,m2,m,求:重物C由静止下降h时的速度v. 系统机械能守恒：解 2 22 2 11 2 2 1 2 1 2 1 JJmmghv 2211 RRv 2 111 2 1 RmJ mmm mgh 2 2 21 v 2 222 2 1 RmJ 28 5-5 5-5 刚体的平面运动刚体的平面运动 刚体平面运动随质心的平动 绕过质心垂直平面轴

12、的转动 平动质心运动定理 c Fma cxx maF cyy maF 转动转动定理 cc JM C a C R 纯滚动条件（无滑滚动） Rac 29 例9 如图,质量为m的均匀细杆,杆长为l,用两根轻 质细绳A、B水平悬挂.问当绳被剪断的瞬间,绳上 的张力有多大? A B A B C maTmg C mg T 解质心运动定理： 过质心C轴，利用转动定理： 2 12 1 2 ml l T 2 l aCmgT 4 1 30 例10 一半径为R,质量均匀分布并为m的刚性小球, 放在有摩擦的水平面上,在如图所示的外力F作用下, 作无滑动滚动,设力的作用线到质心的垂直距离为d, 求摩擦力f 的大小方向.

13、 C R F d f 解 质心运动定理 c mafF )5/2( 2 mRJfRFd 转动定理 Rac RdRf7/)52(求得 d2R/5时，f方向向右 31 例11 质量为m、半径为R的圆柱体,无滑动地从倾 角为的斜坡上滚下,求圆柱体质心的加速度. C gm c a N F f F x y 质心运动定理 C maFmg f sin 解 转动定理 2 f 2 1 mRJRF RaC ac与 关系 三式联立解得 3sin2gaC3sinmgFf (静摩擦力) 32 质点对z轴的角动量为 z i L O x y i m i r i R i v 5-6 5-6 刚体的角动量守恒定律刚体的角动量守恒

14、定律 5-6-1 刚体对轴的角动量 33 iiir mv 2 iir m iz L 刚体对Oz轴的角动量为 i ii i ii i izz rmrmLL)( 22 JLz 结论：作定轴转动的刚体对转轴的角动量等于刚体对同 一转轴的转动惯量与角速度的乘积。 34 5-6-2 刚体对轴的角动量定理 t J t JM z d )d( d d 两边乘以dt，并积分 112212 2 1 dJJLLtM zz t t z 刚体对轴的角动量定理：在某一时间段内，作用在刚体上 的外力之冲量矩等于刚体的角动量增量。 转动定理： t L M z z d d 或 刚体对轴角动量定理 微分形式 35 12 2 1

15、dLLtM t t z 刚体对定轴的角动量定理 0 z M当 时 刚体对定轴的角动量守恒定律： 当刚体所受的外力对转轴的力矩之代数和为零时，刚体对 该转轴的角动量保持不变。 注意：该定律不但适用于刚体，同样也适用于绕定轴转 动的任意物体系统。 5-6-3 刚体对定轴的角动量守恒定律 JLz恒量 36 说明： 1. 物体绕定轴转动时角动量守恒是指转动惯量和角速 度的乘积不变。 2. 几个物体组成的系统，绕 一公共轴转动，则对该公共转 轴的合外力矩为零时，该系统 对此轴的总角动量守恒 i ii J 恒量 37 常平架上的回转仪,可以作定向装置 若M=0,则J =常量,而刚体的J不变,故的大小、 方

16、向均保持不变。 o 38 例12 长为l的均质细杆,一端悬于O点铅直下垂.一单 摆也悬于O点,摆线长也为l,摆球质量为m.现将单摆 拉到水平位置后由静止释放,摆球在A处与直杆作完 全弹性碰撞后恰好静止.试求: 细杆的质量m0; 碰撞后细杆摆动的最大角度. 解 l m l A O 角动量守恒 00 mmmm JJ 系统的动能守恒 2 2 00 2 1 2 1 mmmm JJ 39 0 mm JJ解得 2 0 2 3 1 lmml 系统的机械能守恒，有 )cos1 ( 2 0 l gmmgl 3 1 cos 3 1 arccos5.70 mm3 0 40 例13 长为L，质量为M的杆可绕支点O自由

17、转动.一 质量为m,速度为v0的子弹射入棒下端内.若棒偏转 角为30.问子弹的初速度为多少? 解角动量守恒： 22 0 3 1 mLMLmLv 机械能守恒： 30cos1 2 30cos1 3 1 2 1 222 L MgmgLmLML LmMmM g m 3232 6 1 0 v v 30 l o 41 例14 质量为M,长为2l的均质细棒,在竖直平面内可绕 中心轴转动.开始棒处于水平位置,一质量为m的小球 以速度v0垂直落到棒的一端上.设为弹性碰撞.求碰后 小球的回跳速度v以及棒的角速度. O v0 解 lmJlmvv 0 由系统角动量守恒 机械能守恒 222 0 2 1 2 1 2 1

18、Jmmvv 0 3 3 vv mM mM lmM m )3( 6 0 v 42 例15 质量为m0的均质方形薄板，边长L，可绕过其竖 直边的固定轴OO转动。现有一速度为v 、质量m的小 球沿垂直于板面的方向，撞在板的边缘上，碰撞为弹 性碰撞。试问碰撞后板和小球将怎样运动？ 解由系统角动量守恒 JLmLm 1 vv 由于是弹性碰撞，碰撞前后机械能守恒。 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 Jmmvv 薄板转动惯量为： 2 0 4 0 2 3 1 3 Lm L LdxxJ L 43 由上三式可得小球碰后的速度为： 0 0 1 3 )3( mm mm v v 薄板碰后的角速度为： Lmm mv 0 3 6 讨论： 当3m m0时，v1与v同向； 当3m m0时，v1与v反向； 44 质点运动与刚体定轴转动对照质点运动与刚体定轴转动对照 质点运动质点运动刚体定轴刚体定轴转