第4章__梁理论与实例

1、2021-7-424-1 机房纪律 1、穿鞋套穿鞋套方可进入机房；方可进入机房； 2、将带进机房的、将带进机房的生活垃圾生活垃圾，在下课后放回指定垃圾桶；，在下课后放回指定垃圾桶； 3、保持自己、保持自己机器周围的的卫生机器周围的的卫生； 4、上课期间严禁玩游戏，放学时请退出程序，关闭主机与、上课期间严禁玩游戏，放学时请退出程序，关闭主机与 显示器；显示器；确认完全关机后，在离开机房确认完全关机后，在离开机房！ 5、班长安排班级同学进行、班长安排班级同学进行机房卫生清理机房卫生清理。 2021-7-424-2 你你可能可能 需要约束需要约束Y方向上的一个点方向上的一个点 - 但这样做会在约束点

2、位置产生但这样做会在约束点位置产生 应力奇异应力奇异. 2021-7-424-3 如果你将整个左边边界的垂直自由度全部约束，可能会如果你将整个左边边界的垂直自由度全部约束，可能会 更好些，但人为阻碍更好些，但人为阻碍“泊松效应泊松效应”（即，一个方向上的应（即，一个方向上的应 力引起其它方向上的应变），造成应力场局部失真。力引起其它方向上的应变），造成应力场局部失真。 2021-7-424-4 2021-7-424-5 优化的基本知识 2021-7-424-6 2021-7-424-7 基本概念 2021-7-424-8 2021-7-424-9 2021-7-424-10 2021-7-42

3、4-11 2021-7-424-12 2021-7-413 第四章 梁理论与实例 2021-7-424-14 n4.1梁理论 n4.2ANSYS梁单元 n4.3位移函数推导梁单元的有限元格式 n4.4梁结构的静力学分析实例 2021-7-424-15 4.1梁理论 n杆件是指轴线杆件是指轴线(长度方向长度方向)尺寸远比横向尺寸远比横向(垂自于轴线方向垂自于轴线方向)尺寸尺寸 大得多的构件大得多的构件。梁柱杆件是指同时承受弯矩(或横向力)和轴力 作用的构件，其中以承受弯矩为主的构件称为梁，而以承受轴 向压力为主的构件称为柱。所以，梁柱受力分析的理论基础是 相同的，均基于梁理论。梁理论一般分为 E

4、uler-Bernoulli梁理梁理 论论和Timoshenko 梁理论梁理论两种。 2021-7-424-16 2021-7-424-17 nEuler-Bernoulli梁理论即经典梁理论(也称工程梁理论)，建立在如 下假定的基础上: 1)变形前垂直于梁中心线的平截面，在梁受载荷而弯曲变形时仍然保 持为平面; 2)变形后的横截面仍垂直于中性层; 3)横截面上没有任何伸长或缩短，即这些平面为刚性平面。 2021-7-424-18 n在满足这些条件时，梁的弯曲变形可通过梁中心线的变形表示， 相当于可用一条空间曲线来代表一根梁。应用这种梁理论可大大 减少变量数目，简化计算工作量，一般情况下也能得

5、到满意的结 果，因此，在实际中得到广泛应用。ANSYS中的弹性梁单元 Beam3/4、塑性梁单元beam23、非均匀变截面梁单元beam54/44及 薄壁塑性梁单元 beam24都是基于这一理论开发的。 nEuler-Bernoulli梁理论没有考虑横向剪切变形横向剪切变形的影响，而对于短而 粗的梁，这个影响显然不应被忽略。 2021-7-424-19 nTimoshenko梁理论正是针对这一问题而提出的。该理论仍然保留 了前面的基本假定，即平截面假定平截面假定，但认为梁变形后由于横向剪 力所产生的剪切变形引起梁的附加挠度，使原来垂直于中面的截 面变形后不再与其垂直。值得一提的是，这种假定的存

6、在实际上 暗含了剪应力和剪应变在截面上均匀分布的假定，这与截面实际 的剪应力及剪应变分布显然并不相符，因此通常的做法是引入不 均匀程度校正因子加以修正。 2021-7-424-20 n不同的学者针对各种梁截面形状提出了多种修正方案，如对矩形 泊松比。在梁单元中引入剪切变形影响的方案有两种： 一种是在经典梁单元的基础上引入剪切变形； 另一种是建立挠度和截面转角各自独立插值的截面梁取，其中为 材料的梁单元。 虽然这两种方案都是基于 Timoshenko梁理论的，但人们常常习惯 于把后一种方案建立的梁单元称为 Timoshenko 梁单元。 在 ANSYS 中的6种梁单元 ( Beam3/ 4、be

7、am23、beam54/44、beam24) 都可用定义实常数的方法按第一种方案考虑剪切变形的影响，而 直接应用方案二开发的则是beam188/ 189单元。 2021-7-424-21 4.2 ANSYS梁单元 nANSYS提供了多种梁单元库以适应不同的需要，它们的特点和适 用范围各不相同。了解这些单元之间的异同，有助于正确选择单 元类型和得到较为理想的计算结果。其中beam44为4-D 渐变非对 称截面梁，beam188和beam189为4-D有限应变梁，ANSYS的梁单 元在非线性分析方面具有先进性独特优势。 2021-7-424-22 1. 3D真实描述 梁单元在空间上是一维的线单元，

8、单元特性和截面属性是相互独立的， 通过指定截面编号，一维的梁单元就可以描述真实的三维空间结构，并 且ANSYS可以以三维的形式显示分析结果。ANSYS提供了11种常用的 截面形状，并允许用户定制截面形状，用户可以利用二维建模的方式创 建新截面，并可以把定制的截面形状保存在截面形状库中。 2. 变截面梁 ANSYS允许定义任意截面形状，允许单元的每一端具有不同的不对称几何 形状，并允许其端节点从梁的中心轴偏移。 3. 梁单元的预应力 ANSYS的梁单元可以考虑预应力产生的应力刚化效应。所谓应力刚化效应 对于梁单元来说就是轴向应力引起的垂直轴向的刚度变化。 2021-7-424-23 4. 复合材

9、料截面 ANSYS可以定义任意几何形状由多个各向同性材料组成的横截面，可以 用来模拟层状复合材料梁，长纤维增强复合材料梁和传感器等。 5. 考虑剪切变形和翘曲的影响 ANSYS的梁单元基于Timoshenko梁理论，在平面假设的基础上可以考虑 剪切变形的影响。ANSYS的梁单元还可以考虑非圆截面梁扭转时产生 的翘曲影响，这时每个端节点有7个自由度，包括3个平动，3个转动和 一个翘曲自由度。Shell188和Shell189单元不仅能模拟直梁的弯曲剪切 响应，而且能模拟横向扭转屈曲行为(特征屈曲和非线性崩塌)。 6. 支持非线性材料本构模型 ANSYS的梁单元支持弹性(线弹性和非线性弹性)，塑性

10、和蠕变等材料本构 模型。 2021-7-424-24 4.3 位移函数推导梁单元的有限元格式位移函数推导梁单元的有限元格式 n梁的有限元单元可以用直接刚度法直接刚度法和虚功原理虚功原理两种。而杆的分析 主要采用直接刚度法，梁的分析主要采用虚功原理进行分析。下 面是对虚功原理的有限元分析的一般过程进行介绍。 2021-7-424-25 2021-7-424-26 n写出单元的位移、节点力向量 1 1 1 2 2 2 e ze e z w w 1 1 1 2 2 2 y e ze e y z F MF F FF M ， 2021-7-424-27 n选择适当的位移函数 23 1234 2 234

11、23 waa xa xa x aa xa x 1 23 2 2 3 4 ( , ) ( , ) 1 0123 w x yf x ya a axxx axx a 2021-7-424-28 23 11213 141 2 123 141 23 waa xa xa x aa xa x 23 21223242 2 223242 23 waa xa xa x aa xa x 23 11 111 2 12 11 23 23 222 2 24 22 1 0123 1 0123 waxxx axx waxxx axx e Aa 1 e Aa 1 ( , ) ( , )( , ) e w x yf x yaf

12、x yA A 2021-7-424-29 n求解得 1 1 1 2 2 1212 121 3 4 3 2 32 2 w a a a wwL wwL L a L 12121212 23 1234 23 11 23 23232323 11 232232 1122 2 234 112 22 1122 11 32 3 232 1 23 22 ww w waa xa xa x wxxx LL xxxxx wwLw xxx wx LLLL w LL L w NNNN LL ww aa xa x wwNNN 222w N 2021-7-424-30 11221122 11221122 ww ww www w

13、w NNNN NNNN 1122 12 1 1 22 2 1 ww ww NNNNw NN w wNN e N 型函数矩阵 N 2021-7-424-31 n以形函数（以形函数（Shape Function）为试探函数）为试探函数 3 2 2 3 2 1 232 L x)xL( ; f L x)(Lx)(L f 22 34 22 (Lx) x( Lx)x f; f LL 形函数f1代表左侧节点的位移函数，f2代表右侧节点的位移函 数，f3代表左侧节点的斜率函数，f4代表右侧节点的斜率函数。 1 n i i i vc x 2021-7-424-32 n求单元应变-单元位移-节点位移间的关系 23

14、232323 11 232232 112 22 11222 32232 ( , )1 ww xxxxxxxx x yyvy wxw NNNN LLLLLLLL y ww e B 应变（转换矩阵） 1122ww NyNNNB 2021-7-424-33 n求应力-应变-节点位移的关系 ( , ) ( , ) ee x yEx yE BS 1122ww NENyNNS 2021-7-424-34 n节点力与节点位移关系 * * * d d d eTeeTTe T ee T FBE BV BE BV V 11221122 11221122 11221122 2 0 0 d d dd d eTe T

15、e l T wwww wwww www e e e w l T NNNNNNNN NNNN FBE BV yEyV E yAx E NNNN NNNNNNNIx K N 2021-7-424-35 n节点位移与应力的关系 将所有的式子整合起来得到下面的矩阵形式 22 11 11 22 11 3 22 22 22 22 22 0000 01260126 064062 0000 01260126 062064 x y zz x y zz ALAL Fu II FLL MLLLL EI FuL ALAL FII LL M LLLL 2021-7-424-36 22 11 11 22 11 3 22 22 22 22 22 0000 01260126 064062 0000 01260126 062064 x